Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений
Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений.
Из исходной системы (7) путем эквивалентных преобразований переходим к системе вида:
(8)
Итерационный процесс, определяемый формулами
, 
можно начать, задав начальное приближение 
. Достаточным условием сходимости итерационного процесса является одно из двух условий:
или 
.
Распишем первое условие:
при 
Рекомендуемые материалы
при 
.
Распишем второе условие:
при 
при 
.
Рассмотрим один из способов приведения системы (7) к виду (8), допускающему сходящиеся итерации.
Пусть задана система второго порядка вида:
.
Требуется привести ее к виду:
.
Умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную 
, второе - на 
, затем сложим их и добавим в обе части уравнения 
. Получим первое уравнение преобразованной системы
где 
.
Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную 
, второе - на 
, затем сложим их и добавим в обе части уравнения 
. Тогда второе уравнение преобразованной системы будет иметь вид
где 
.
Неизвестные постоянные 
определим из достаточных условий сходимости
и 
.
Запишем эти условия более подробно:
Вам также может быть полезна лекция "16 - Интерфейс IEEE-1394 (FireWire)".
Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными для определения постоянных :
.
При таком выборе параметров условия сходимости будут соблюдены, если частные производные функций 
и 
будут изменяться не очень быстро в окрестности точки 
.
Чтобы решить систему, нужно задать начальное приближение 
и вычислить значения производных 
и 
, 
в этой точке. Вычисление осуществляется на каждом 
шаге итераций, при этом 
, 
,.
Метод простых итераций является самоисправляющимся, универсальным и простым для реализации на ЭВМ. Если система имеет большой порядок, то применение данного метода, имеющего медленную скорость сходимости, не рекомендуется. В этом случае, используют метод Ньютона, который имеет более быструю сходимость.
