Метод сеток для уравнений гиперболического типа
Метод сеток для уравнений гиперболического типа.
Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны длины 
(
). Поперечное сечение 
при для любого момента времени 
удовлетворяет уравнению гиперболического типа вида:
(55)
где 
, и будем искать решение уравнения (55) при заданных начальных и краевых условиях:
, 
, при (56)
при 
(57)
Решим эту задачу методом сеток. Как и в случае параболического уравнения, заменим прямоугольную область и сеточной 
, где 
, 
, 
. Шаг по оси 
- 
, шаг по оси 
- 
.
На сетке приближенно заменим дифференциальное уравнение (55) конечно-разностным аналогом:
Люди также интересуются этой лекцией: РУБЛЁВ Андрей.
(58)
При 
уравнение (58) упрощается и принимает вид:
откуда
(59)
Из уравнения (59) видно, что для получения значений в 
-м слое используются значения в двух предыдущих слоях 
-м и 
-м. Для начала вычислений по формуле (59) также необходимо знать значения и 
на нулевом слое 
. Используя начальное условие 
, можно определить значения на фиктивном слое с номером 
. Для этого заменим производную в условии конечно-разностным соотношением: 
, где 
. Отсюда находим 
. Зная значения на слое , можно начать вычисления. Краевые условия (59) используются для получения значений 
и 
.
