Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений
Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений.
Пусть задана некоторая непрерывно-дифференцируемая функция . Требуется решить нелинейное или трансцендентное уравнение вида
(31)
Встречающиеся на практике уравнения не удается решить прямыми методами, поэтому для их решения используются итерационные методы. Все итерационные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений вида (31) можно разбить на две группы:
* дискретные схемы решения.
* непрерывные схемы решения.
Дискретные схемы решения были рассмотрены выше. Заметим, что основными недостатками вышеперечисленных методов являются:
· зависимость от начальных условий или от интервала нахождения корня;
· сравнительно низкая скорость сходимости;
Рекомендуемые материалы
· ничего не говорится о правилах перехода от корня к корню уравнения (31) в случае, если их несколько.
При применении непрерывных схем для решения уравнения (31) процесс нахождения корней осуществляется путем решения соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения
(32)
Пусть определена и монотонна при
и существует конечная производная
. Задачу нахождения корней уравнения (31), являющуюся непрерывным аналогом метода простых итераций, можно рассматривать как предел при
решения задачи Коши
(33)
если этот предел существует. Обозначим через решение задачи Коши (33),
- искомое решение уравнения (31). Тогда должно иметь место тождество
. Вводя обозначение для отклонения
и вычитая из (33) последнее уравнение имеем
. (34)
Разлагая в ряд Тейлора в окрестности точки
с сохранением линейных членов
и подставляя полученное выражение в (34), получаем дифференциальное уравнение в отклонениях
, решение которого имеет вид
(35)
Видим, что условием сходимости к корню
является требование
, так как в этом случае
при
, и, следовательно
. Считая, что
монотонна при
, последнее уравнение можно распространить на всю рассматриваемую выше область. Таким образом, условием применения непрерывной схемы метода простых итераций (33) является
(36)
Непрерывные схемы решения обладают более высокой скоростью сходимости и более высокой точностью решения по сравнению с соответствующими дискретными схемами. Но проблема зависимости от начальных условий и отсутствие правил перехода от корня к корню в случае, когда уравнение (31) имеет более одного решения, остается открытой.
Как видно из дифференциального уравнения (33) и уравнения (31) левая часть последнего заменяется производной . Данная замена является грубым приближением решения задачи (33) к решению задачи (31). Это влечёт за собой не только большую погрешность при вычислениях, но и к снижению скорости расчётов.
Перепишем уравнение (31) в виде
(37)
где - малый параметр,
.
Переход от задачи (31) к задаче (37) теоретически обоснован, так как интегральные кривые, являющиеся решением уравнения с малым параметром (37), проходят через все решения уравнения (31). Задача нахождения корней этого уравнения непрерывным сингулярным аналогом метода простых итераций можно рассматривать как предел при и
решения задачи Коши вида
(38)
если этот предел существует.
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше, получим, что решение уравнения (37) в точке будет иметь вид:
Электронная почта (E-Mail) - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
(39)
При этом, так как , то условие сходимости (36) останется прежним.
Полученная модификация классических схем решения не зависит от начальных условий и обладают более высокой точностью решения. Для доказательства более быстрой скорости сходимости предположим, что применение итерационных методов никогда не дает точного решения и вводим точность решения . Моменты нахождения решений с точностью
классическими и модифицированными методами обозначим как
и
. Используя решения (35) и (39), запишем неравенства вида
,
.
Из соотношений видно, что и
. Сопоставляя полученные значения
и
, видим, что
, т.е. скорость сходимости при решении задачи модифицированными методами в
раз выше, чем классическими.