Интерполяционная формула Лагранжа
Интерполяционная формула Лагранжа.
Пусть задана система точек , в которых известны значения функции
. То есть, задана следующая таблица
Установим зависимость одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.
Рассмотрим пример построения интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной системе точек (в общем случае для неравноотстоящих аргументов). Построим некоторый многочлен таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть
. Лагранж предложил строить многочлен
степени в виде:
.
Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка , которой соответствует коэффициент
.
Найдем неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие
:
При :
.
.
Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:
При :
.
.
Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:
.
Значения остальных коэффициентов вычисляются аналогично.
С учетом найденных коэффициентов интерполяционный многочлен Лагранжа запишется в виде
Остаточный член формулы:
,
где - точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы
и точку
.
Пример. По заданной системе точек
| | | |
| 0.5 | 0.707 | 1.0 |
построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:
Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по формулам вида:
Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:
.
Вам также может быть полезна лекция "25 Конечно-разностные методы".
Учитывая, что таблица приведена для функции , вычисленной в контрольных точках
, сравним погрешность вычислений данной функции и построенного многочлена в контрольной точке
:
и
.
Погрешность вычислений, по сравнению с истинным значением, составляет
.
Ниже приведены графики синусоиды и построенного многочлена Лагранжа на заданном интервале. Из графика видно, что многочлена второго порядка достаточно для обеспечения необходимой точности воспроизводимой синусоиды.