Популярные услуги

КМ-3. Важнейшие аспекты теории графов - любой вариант за 3 суток!
Решу любую задачу
Любая задача по линалу
Любая задача по математическому анализу и по интегралам и дифференциальным уравнениям
Повышение уникальности твоей работе
Любая задача по Линейной алгебре и аналитической геометрии
НОМОТЕХ
Любая задача из ТР: Пределы. Дифференцирование и приложения.
Сдам любой тест по дискретке в течение суток на положительную оценку!
Предельные теоремы и математическая статистика
Главная » Лекции » Математика » Численные методы анализа » Численное дифференцирование

Численное дифференцирование

2021-03-09СтудИзба

Численное дифференцирование

Задача:

Дано:  x0, x1, ...,  xn — узлы,

            f0, f1,  ...,  fn — значения f(x) в узлах.

Найти: .

1 способ) Поскольку f(x) » Ln(x), то  (для 1 £ m £ n).

2 способ) Метод неопределенных коэффициентов.

Пусть ,                                    (1)

где ci — коэффициенты, обеспечивающие точность формулы для функций f(x), являющихся многочленами наиболее высокой степени.

Рекомендуемые материалы

Для изготовления двух видов соков используются слива, черника и клубника. Общее количество сливы – 300 кг, черники -270 кг, клубники - 400 кг. На сок 1 вида расход продукта в частях составляет соответственно 2:1:4, на сок 2 вида – соответственно, 3:3
FREE
РК ТФКП. Билет-9. (2017 г. +)
Портфель состоит из двух ценных бумаг А и В, ожидаемая доходность и риск, которых, выраженные в процентах, равны А (14,27), В (37,46). Коэффициент корреляции бумаг равен -1, а его доходность равна 20%. Найти портфель и его риск.
Вариант 7 - ТР №1 - Неопределенный и определенный интегралы
FREE
Вариант 57 - Типовой расчёт
FREE
Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976)

Если произвольный многочлен a0+a1x+...+anxn степени n взят в качестве f(x), то выполняется

 для любых a0,a1,...an.

Равенство возможно только если коэффициенты при aj совпадают, т.е.

 для i = 0,...,n.

Получаем СЛУ с неизвестными c0,...cn, (n+1) неизвестных, (n+1) уравнений.

(Такая же система получается, если в формулу (1) подставлять простые многочлены степени £ n, т.е. 1=x0, x, x2,...,xn).

Главный определитель системы

  

— определитель Вандермонда (транспонированный).

Следовательно, решение c0,...cn существует и единственно.

3 способ) Использование простейших формул численного дифференцирования.

Вывод первой формулы: пусть даны  x0, x1 — узлы,  f0, f1 — значения f(x) в узлах, h = x1 x0 расстояние между узлами.

По определению производной функции в точке .

Þ  , т.е.                (2)

Замечание: , т.е. производная в x1 также вычисляется по формуле (2).

Очевидно, формула точна для многочленов степени 1.

Вывод второй формулы: пусть даны  x0, x1, x2 — узлы,  f0, f1 , f2 — значения f(x) в узлах, h = x1 x0 = x2 x0 расстояние между узлами.

Найдем формулу для производной в средней точке: .

Упростим задачу: пусть -h,0,h – узлы, f0, f1 , f2 — значения.  — искомая формула.

Подставим в нее 1=x0, x, x2. Получим СЛУ:

 Û .

Решение системы , , .

Тогда .

По причине линейности для произвольных узлов x0, x1, xможно использовать те же коэффициенты, следовательно

                               (3)

Формула точна для многочленов степени 2.

Вывод третьей формулы: пусть даны  x0, x1, x2 — узлы,  f0, f1 , f2 — значения f(x) в узлах, h = x1 x0 = x2 x0 расстояние между узлами.

Найдем формулу для второй производной в средней точке: .

Упростим задачу: пусть -h,0,h – узлы, f0, f1 , f2 — значения.  — искомая формула.

Подставим в нее 1=x0, x, x2. Получим СЛУ:

 Û .

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Товарная политика в маркетинге.

Решение системы , , .

Тогда .

По причине линейности для произвольных узлов x0, x1, xможно использовать те же коэффициенты, следовательно

                               (4)

Формула также точна для многочленов степени 2.

Д/З Вывести формулы для вычисления  через  и для  через  методом неопределенных коэффициентов.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5259
Авторов
на СтудИзбе
421
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее