Некоторые сведения из дифференциальной геометрии
Некоторые сведения из дифференциальной геометрии
1. Понятие о естественных осях и естественном трехграннике. Кинематические характеристики движение точки тесно связаны с геометрическими свойствами траектории. Поэтому целесообразно рассматривать движение точки в системе координат, образований главными направлениями пространственной кривой. Как известно из дифференциальной геометрии, в каждой точке кривой есть три взаимно перпендикулярных направления: касательная, главная нормаль и бинормаль, единичные векторы (или орты) которых обозначим соответственно τ,n,b. Орт τ направлен в сторону положительного отсчета дуговых координат s, орт n – в сторону вогнутости траектории, орт b направлен так, чтобы векторы τ,n,b образовали правую систему координат. Указанные оси (касательная, главная нормаль и бинормаль) называются естественными осями. Следовательно, естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой М и образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью.
Соприкасающуюся плоскость в некоторой точке М кривой можно определить также, как предельное положение плоскости, проходящей через касательную в точке М и любую точку кривой М1, когда последняя стремится в пределе к совпадению с точкой М.
При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются.
2. О кривизне кривой. Угол между двумя касательными в двух сколь угодно близких точках М и М1 на кривой называется углом смежности. Обозначим его через Δφ. Отношение Δφ к элементу дуги Δs называется средней кривизной кривой Кс р на отрезке ММ1
KCP=
Предел этого отношения при Δs 0 называется кривизной К кривой в данной точке:
20.1 Особенности изучения культуры и модель будущего А.Маслоу - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
K =
Следует заметить, что в общем случае кривизна кривой не является постоянной величиной и изменяется от точки к точке.
Величина р, обратная кривизне кривой в данной точке М, называется радиусом кривизны кривой в этой точке:
ρ = K= ,
откуда К = .