Первая квадратичная форма поверхности
Первая квадратичная форма поверхности
В первом приближении в окрестности некоторой точки М исследуем дифференциально (бесконечно) малый участок поверхности. Тогда его можно заменить соответственно малым участком плоскости. Определим длину дуги dS, проходящей через точку М. Направление этой линии будет определено, если вдоль нее задано отношение приращений соответствующих криволинейных координат
Пусть 
- приращение радиуса вектора при перемещении из точки М по касательной к дуге dS. Квадрат длины дуги примерно равен квадрату приращения радиуса-вектора, т.е.
В свою очередь
и тогда
Рекомендуемые материалы
где
Величина I называется первой квадратичной формой, а коэффициенты – коэффициентами первой квадратичной формой.
В декартовых координатах, учитывая связь x, y, z с величинами 
, выражения для коэффициентов можно записать в виде
Если координатная сеть ортогональная, последний коэффициент равен нулю.
Зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять:
- углы между пересекающимися кривыми на поверхности;
- длины отрезков кривых;
- площади участков поверхности.
Обратите внимание на лекцию "Доброкачественные опухоли матки".
Например, кривая на поверхности может быть задана в параметрическом виде
Тогда длина отрезка при изменении параметра от значения t0 до t может быть определена по соотношениям
* * *
Поскольку при исследовании деформаций оболочки меняются длины дуг и углы между ними в срединной поверхности, то первая квадратичная форма играет важную роль. С другой стороны, эта форма полностью поверхность не определяет: нарисованная на листе бумаги фигура, например, не меняет свой площади, длин отрезков и углов между элементами этой фигуры, если лист бумаги сгибать самыми разными способами.
