Вынужденные колебания

Вынужденные колебания

Рассмотрим малые колебания в системе при наличии сил трения и при одновременном воздействии вынуждающей силы. Внешние силы меняются по гармоническому закону. Если вывести систему из равновесия, то возникнут внутренние силы:

F_упр= -kx',

F_тр=-γx,

F_вн=F₀cosωt,  

где   F₀  - амплитуда вынуждающей силы.                                                                        

Тогда уравнение движения запишется в виде:

mx'' =F₀cosωt-kx-γx'                                                                                            (1)

Введем обозначения:, α – коэффициент затухания,  - время в течение которого А уменьшается в е раз, , тогда

Рекомендуемые материалы

x''+2αx'+ω₀²x=fcosωt                                                                               (2) 

Это неоднородное дифференциальное уравнение. Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Решать  будем комплексным методом: cosωt→e^iωt (значение действительной части опускаем):

x''+2αx'+ω₀²x=fe^iωt                                                                                                                                   (3)

Пусть в начальный момент тело покоилось. Под действием внешней силы тело смещается из положения равновесия, возникают колебания с собственной частотой. В общем случае внешняя сила имеет другую частоту. Поэтому действие внешней силы не будет согласовано с колебаниями. В таком случае работа, которую будет совершать внешняя сила при достаточно большом промежутке времени, равна нулю. Это значит, если внешняя сила не будет поддерживать собственные колебания, они затухнут. Одновременно в системе развиваются колебания с частотой вынуждающей силы. Амплитуда этих колебаний будет непрерывно расти (Рис1).

А_вн ~ а

А_тр ~ а²

где а – амплитуда.

 

Рисунок 1.

Значит с увеличением а потери энергии на трение будут возрастать быстрее, чем работа, совершаемая внешней силой. Наступит такой момент когда А_тр=А_вн. Дальнейшее увеличение а не будет происходить. Установится стационарный режим в колебаниях. Колебания при этом будут происходить с частотой, равной частоте изменения внешней силы. Процесс установления стационарного режима называется переходным режимом(Рис 2).

Рисунок 2.

Это можно показать на опыте или анализируя общее решение уравнения (2). В установившемся режиме х (смещение из положения равновесия) равно:

x=ae^iωt                                                                                                       (4)

Это решение уравнения. Проверим, удовлетворяет ли оно уравнению:

x'=iωae^iωt                                                                                                  (5),

x''=-ω²ae^iωt                                                                                                (6)

Подставим (4)-(6) в (3), получим:

-ω²ae^iωt+2iωαae^iωt+ω₀ae^iωt=fe^iωt

Сокращаем на e^iωt:

а(ω²-ω₀²)+2iαωa=f

Это уравнение должно быть тождеством, что позволяет найти а (комплексная амплитуда):

                                                                                    (7)

То есть мы нашли решение задачи для установившегося режима колебаний. Нас интересует нормальная амплитуда:

                                                                    (8)

Сдвиг между силой и смещением найдем следующим образом:

                                                                                         (9),

где tgψ – сдвиг фаз установившихся колебаний относительно вынуждающей силы. Заметим, что амплитуда колебаний в данном случае зависит от частот ω₀ и ω. Чтобы исследовать данную функцию, найдем экстремумы А:

В точке экстремума производная равна нулю:

-4ω(ω₀²-ω²)+8α²ω=0

-(ω₀²-ω²)+2α²=0

                                                                                (10),

где ω_р – это резонансная частота, которая соответствует экстремуму функции А при достаточно большом ω (ω→∞), А→0.

Резонансная частота близка к частоте собственных колебаний (обычно трение невелико и α<< ω, то ω≈ ω₀).

Амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, когда частота внешних колебаний совпадает или близка частоте собственных колебаний. Это явление называется резонансом, а построенная кривая – резонансной (Рис. 3).

Рисунок 3.

Будем считать трение малым. Тогда . Это резонансная амплитуда, А_р>>А(0) при малом α.         В качестве характеристики резонансных систем вводят понятие добротности:

                                                                                       (11)

(при малом трении).

Чем выше Q, тем больше резонансная амплитуда и тем уже резонансная кривая.

Рассмотрим,  как меняется фаза колебаний вблизи резонанса (ω≈ω₀):                                                                                                        (12)

При резонансе фаза смещения колебаний отстает от фазы вынуждающей силы на π/2. Благодаря этому достигается резонанс (то есть работа будет максимальной) (Рис 4).

Рисунок 4.

Разобьем период на 4 участка.

Рекомендуем посмотреть лекцию "11 - Основные понятия гидрометеорологии".

S_Авне=F_вне∙dx

На первом участке: F>0, dx>0, =>δA>0.

На втором участке: F<0, dx<0, =>δA>0.

На третьем участке: F<0, dx<0, =>δA>0.

На четвертом участке: F>0, dx>0, =>δA>0.

При сдвиге на (-π/2) внешние силы постоянно совершают положительную работу. Если частота внешних сил меняется, сдвиг фаз не будет (-π/2) и обязательно появятся участки, где работа будет меньше нуля. Общая работа за период станет меньше. Энергия, которая поступает в систему, также станет меньше, значит, амплитуда также уменьшится. Следовательно, резонанс возникает благодаря сдвигу фаз на (-π/2).