Ответы: РК2 Теория (РЛ1 2018)
Описание
Характеристики ответов (шпаргалок)
Список файлов
- __MACOSX
- УМФ РК2 Теория
- ._Пример рк 2.jpg 233 b
- УМФ РК2 Теория
- 1
- 3i-m7emNEas.jpg 101,44 Kb
- 10
- 10_1.jpg 66,12 Kb
- 10_2.jpg 81,61 Kb
- 10_3.jpg 69,94 Kb
- 11
- Snimok1.png 43,71 Kb
- Snimok2.png 54,26 Kb
- Snimok3.png 47,59 Kb
- v_rhuet1.png 55,94 Kb
- v_rhuet2.png 52,22 Kb
- v_rhuet3.png 9,21 Kb
- 2
- 2_1.jpg 130,69 Kb
- 2_2.jpg 120,34 Kb
- 2_3.jpg 119,44 Kb
- 2_4.jpg 96,68 Kb
- 3
- 3.jpg 318,6 Kb
- 4
- AvZMakXvYjU.jpg 97,91 Kb
- IMG_0394.jpg 1,19 Mb
- 5
- 1.jpg 219,08 Kb
- 2.jpg 329,51 Kb
- 3.jpg 392,24 Kb
- 4.jpg 254,04 Kb
- 6
- 1.JPG 37,82 Kb
- 2.jpg 2,45 Mb
- 3.jpg 2,55 Mb
- 4.jpg 2,51 Mb
- 5.jpg 2,56 Mb
- 6.JPG 66,31 Kb
- 7.JPG 61,78 Kb
- 7
- 7.jpg 1,14 Mb
- 8
- IMG_0391.jpg 1,28 Mb
- 9
- 1.jpg 125,03 Kb
- 2.jpg 49,7 Kb
- 3.jpg 112,12 Kb
- 4.jpg 124,89 Kb
- 5.jpg 119,98 Kb
Распознанный текст из изображения:
1з з!з ф)нкпней Г( ) нвзывзетс интеграл
Г(г)=) з 'Г"Л
г ге з — комплексный аргумент, реальная часть которого поло
жз!тельна в — Велюр.
Нам понадобятся следующие свойства гамма. функции* >:
!) Г(!)= 1, Г ~ —,' ) =Ргп.
2) Г(г-1-1)= гГ(з). В ч с и т, ес. и з—
та Г( -1-!)=л!
3) Теорема умножения.
натуральное . о,
Г(з) Г(! — з)= —"
(2.3)
4) Представление в виде контурного интеграла Римана — Хан-
келя
ез — !
(2. 4)
на — Ханксля (2 4) определяет
гамма-функцию всюду на комп
лексной плоскости з При з=
— и, где люб — аелое число,
гамма-функаия имеет полюсы
5) Из формул (23) и (24)
получается полезная лля азль.
нейшего формула
С
г 1, ч. П
= —., 5" '-'" ""
Рс.4!
где т — любой контур на иомпленсной плоскости 1, обходящий точку 1=0 прогна часовой стрелки и копны которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси Например, эта может быть контур, изображенный на рис. 4.1 (!- = !, 4- г (з) .
Заметим, что интеграл Рима. г,
Распознанный текст из изображения:
о.б. Уравнение Лапласа в цилиндре
Поотяьюака зазапп Р. р у юд пуд р .«д. а ур
ь =-о, ое ° -., отз==,. (1)
(1)
,=о, ое (з)
а),о=О, О- (4)
Б 1ап рнукпзу, Уры а ла .а (1) п ар
дз 1д 1 дза дз
д„з „дт „д,з д.
(о)
Таа «а раз а з азаз (,,„ фу «и а а ъ с ат у
(.т ) = (.а).
д зда д
(. )=Л( )а(з),
р . )я(о)) ., я(.)=о г(е)=о.
Распознанный текст из изображения:
б(бн бзя
— — — =1= яс
я я
Нсз а у фу « я( ) Ф(, ) « с рс с с зада сада
) яе я' ля=о, ос с „. )я(о)) с, я( ) =о.
1
б) Ие — ДИ = О, И(;.) = О.
ор .. д у()
1
Обзссрс а сура саа и' — — Яе Дв=б едессе д
Я( ) = Лде(РДУ) 4 ЯР.( Ъ).
У и — Фу Вс«ися . Н .. 1 )Я(О)) с Ус( ) -с р — сб,,а ас.  —.О.
и . у Р» уд я( )=о.
Д. = ( Рбб'), Я„=- Л„.Ус ( — '".),
д Р. -- Уд Фу 1 В «д,я(,) .. Ус(Р„)=О. =Ря..,
3. Рс,~ д, ° у (б), пр д„= (Р,Я а)с „,ес,
ге — (~— ") и =О.
Общссрс е с, урсс с«.,уд м р, зщссус и( )=-о,
4.И, . а е. Р ур «(б)» Д
Н,(с,) = Л„Я„У„(У'— "* ) и '— '" (Ф - ) =.1„У„('— " ) 1 '— '" (:. — ).
Распознанный текст из изображения:
5.9. Уравнение Гельмгольца в шаре
а (а«=а ф . л(ь )фа, =)),, Ш
(2)
)р. г. (1) ф гн
иф . (й
ц гф)
— (р — ') ~-; —,— (»ф'-",) — )' ° -а (о
(, о =и )ор),
а(п) . е( ° )) ., е(-,.))-
Распознанный текст из изображения:
5.8.Уравнение Гельмгеиьца в круге
и » )' = о, ю ., л,)юе) о ю . = ю ), , И )
"и я)=ц"мм)
ю(юлО р,л ню
л Ф
,)о" — ою —.ю, ю)о 2 ).— о)о),
и;Мл" ю,и ° ))о" ил=о, )л)ю)) .
и-о °
оцю)-) Ю ю о.-ь.=а
'и)о) ю ) =к= ' )-.=юлю ) и „.
.'л" ° .и ° Нь'- ')я= о
Распознанный текст из изображения:
с~- ~~ — Г
1) ~=с>
Ъ ~т*'-7 ) 1
~ч '~
~ д О~ О 'р 4ы
Ь Ж~лм ~=~и
х с — се 4Ъ
.ЧсК-
2'
л
~~Щ
й . 3"-=
('~0 ) с)
~-.са- ~
ф ~ Ъ~ ~/~~ -~
~я ') ~ (
).1=~
Ы аЗ мс.'. Фора -Пу ='0
Распознанный текст из изображения:
у>- ц* ®
Ож=бт г~ ~6 у с~) аФ Ь: й МР
', О ~ Т Ж= г-Г 1, -, ~л>- "~ Э
~,= Х,~) у=1~.-, Ж
~д~ ~„сы . 4 е)
р.;„7р Ь~ ~Ф -~~> ~'В
И~с) ~- ~-С~)
— п.ч.~,
~к= ~~-ь> - -ы~
у,=с~ ~ь' Ск~
рГ» Ь7
;~) ~~ ! ~ !)
аЖ=с,~,ь~ ~ с Т„. Г~~
Распознанный текст из изображения:
о~аыылы.ы р.л о.и>
1й Г(А+!) Г(Х+т+1) ), 2 )
А=а
называется функцией Бесселя
с,
л,)
с,
(2.32)
где контуры интегрирования С, и С, имеют вид, изображенный
на рис. 4.4.
Л' (х) = — (Н ~ ' (х) — И~~" (х))
2)
(2 43)
зывается функцией Неймана.
и обозначается У„(х).
Фу а ~' р р
рода называются функции, определяемые интегралами
Н~~ (х) ~ с -~х мл ",ч-ж" Д
(2.3 !)
Распознанный текст из изображения:
«."9, уе джессе.~Л
Ю~ «~+(~-~,!~=о
2~ х -~Х~'Р ~~)~=~
У~ ~г
~'~'-Х ц ~<~
у~ у = в - освсй ~ 1о~а
Т. Й . ~ у ~,; Б;
~ Г Р Г"; Т '"Ф'TЯ"М д~йыТ-8у.яда,.д ~ 1 ~ ~.~ ~
-е~а ж~ й
Щ~~~ ~ ~.- ~~ ~~~~-у
С~о
хГ~к) 2р М
~~ ~ ~) ~ А» ~у 2
Распознанный текст из изображения:
Начнем с задачи Штурма — Лиувилля для кру-
га У~,:
(7.1)
Ли+ 3и = О, (х, у) ~ К„
и — + ри = О, ) а ~ + ~ р ~ у'= О, и ~ О.
дй
(7.2)
1 д ди 1 д~и
Ли= — — ~ +
дг дг г~ д(р2
Введем полярную систему координат (г,~р) с началом в центре
круга Р;,. Напомним, что оператор Лапласа в полярной систе-
ме координат равен
Распознанный текст из изображения:
Собственную функцию будем искать в виде
и(г, ф)=Я(г) Ф(ф) ф О.
(7.3)
Уравнение (7.1) запишем в полярной системе координат, подставим в него (7.3) и разделим переменные. Получим
сИ
» — » — + Л»Ч~
Я (») Ф (ф)
Поскольку собственная функция должна быть периодической по ф с периодом 2л, то для Ф(ф) получаем задачу Штурма — Лиу- вилля
(7.4)
Ф" +иФ =О, 0 (ф(2ч,
Ф (ф) = Ф (ф + 2л),
решение которой имеет вид (см. $8 гл. 111)
Ф (ф) = Ф„(ф) = ~ ' ~ = ~„= и, и = О, 1,
1 81п пф,
(7.5)
Прн каждом ~=п2 получаем задачу для Я(г):
г — ~ г — ~ +(Лг — и ) Я=О, 0(г(а.
2 2
Й~, Й
(7.6)
Функция Я должна удовлетворять граничному условию
я — +рй =О, 1а~ +1р1=,2ьО,
вытекающему из (7.2), и естественному условию ограниченности при г=О
~ К (0) ~ ( оо,
поскольку г=О является особой точкой уравнения (7.6). Следовательно, для определения Я (г) получается задача Штурма— Лиувилля
118
»2~" +»Я'-+(Л»2 — и2) Я=О, 0(г(а, (7.7)
а — +рЯ =О, )а~+ [Я ~йО,
/Я(0)/ (оо, Х~(г) фО. (7.9) Уравнение (7.7) заменой х=фЛ приводится к уравнению Бесселя и-го порядка:
х2у" + ху'+ (х' — а2) у = О.
Поэтому общее решение уравнения (7.7) можно записать в виде
Распознанный текст из изображения:
Я (г) = Я„(г) = С,,7„(р' Л г) + С,И„(~/Л г).
Учитывая неограниченность функции У,(рЛг) при г-~-0 и условие (7.9), находим С~=О. Будем считать С) —— 1, поскольку собственная функция определяется с точностью до числового множителя, который в свою очередь определяется из условия нормировки. Поэтому собственная функция задачи (7.7) — (7.9) имеет вид
Я„(г) = 7„( ~ Л г).
(7.10)
Подставляя (7.10) в граничное условие (7.8), получим дисперсионное уравнение для определения собственных значений Л:
а 1/Л,1„Д/ Ла) + р.)'„( ~Л а) = О. (7.11) где штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу. Обозначим 1(=~Ла. Тогда собственные функции и собственные значения задачи (7.7) — (7.9) можно записать в виде
(л) (~) ' 2
Р„(.) =Х,„— "' ), Л=Л',"'= — '"
а а
(7.12)
где р,(,") — Й-й корень уравнения
и»„(г, (р) =7„(1г Л»("~ г) ~ ' п=О, 1, 2,..., 1=1, 2,...,
(з1п п(р,
(7.14)
( (л) ~ й
а собственные значения равны Л» = ~ — ) Наидем норму
(и) ~й
а
собственной функции (7.14):
а 2л
!!и „!!2=1 ~ и' (г (р)гйп1(р= !!Уп!!2 !!Ф~!!'. (7.15)
о' о
Поскольку норма Ф„(Ф„=соз пр или Ф„= з1п п(р) известна, остается найти !!У„!!.
Чтобы найти !!1„!!, вычислим интеграл
Г= ~ г,'(х) Ь„
где 2,(х) — произвольная цилиндрическая функция. Имеем
1= Л~~(х) х(1х= Л~~(х) д ( — ! = — х~Л~(х) — х~Л,(х) Л (х) дх.
(,2/ 2
119
а1(/„()») + ~аУ„(1») = 0 (7.13)
при фиксированном п=О, 1, 2,....
Таким образом, собственные функции круга имеют вид
Распознанный текст из изображения:
Используя уравнение Бесселя
х'2„+хЯ +(х' — »') Л,=О,
находим
х'Л = — х'2 — хЛ +ч'Л,= — х — (хЛ )+ )'Л,
Их
Поэтому
7= — Л,'(х)+ хЛ, — (хЛ,)йх — ~' Л,Л,дх=
)Х
2 2 2
Итак,
2~(х)хбх= — *(2„(х)-б(1 — — )2„'(х)). (7.!б)
2 Хб
Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы
функции Бесселя для соответствующей краевой задачи:
((7„(('= 1 У,()22х)л3х= — 1 1 (х)хбх=
= — ( 7„(а)х 2) -1- (1 — — ~ .1 (а)7 Х), (7.1?)
Рассмотрим теперь первую, вторую и третью краевые задачи отдельно.
Для задачи Дирихле (а=О, р=1) собственные значения определяются из уравнения (согласно (7.13) )
.7„(12) =О, Х=
Следовательно,
(7.18)
Для задачи Неймана (а=1, р=О) собственные значения опре-
деляются из уравнения
Следовательно,
(7.19)
2 ~ 1~2(77)12 /
Распознанный текст из изображения:
'ц Л-;Ь ~Ям 6и~~еле.ыи с ~ 'ф -~. ~ ~~~Ы~Ф;Йй-
йЯ6ыдлфцдо . ' ~-а 6) ~.~ М ~~4 3~у ф — ~ "~. =сэ ~ ~~Я= И (,2
,( к .д ٠— ~ум~.саррд.м ~ д; ' ~, -'е Ляле-жм)юа .
%;".,'~-~-~у — ~у~~ 1~~~., ~ =а жд ~ 'ре ~ = ~ ~~~ ~-~) ~ф -е (~' ~ ~.~л~.е ~ .у- Лаи.аегм а, ~й= ~ Ъ)= Й-~) ~~ - ~ %6Я -~ ', -~7,."
ф