Ответы: Теория вероятностей и математическая статистика

Случайные события
1. Что понимают под элементарным исходом (элементарным событием)? Дайте определение вероятности по Лапласу (классическое) и укажите на его недостатки. Сформулируйте и докажите свойства вероятности (для вероятности по Лапласу).
2. Элементарный исход и случайное событие. Дать определение операций, определённых для случайных событий.
3. Элементарный исход, пространство элементарных исходов. Дайте геометрическое определение вероятности. Какими специфическими особенностями обладает геометрическая вероятность?
4. Элементарный исход, пространство элементарных исходов. Дайте определение вероятности по Колмогорову (аксиоматическое).
5. Элементарный исход, пространство элементарных исходов. Дать определение попарно несовместных и несовместных в совокупности событий.
6. Элементарный исход, пространство элементарных исходов. Дать определение попарно независимых и независимых в совокупности событий.
7. Дать определение несовместных и независимых случайных событий. Как связаны между собой несовместные и независимые случайные события?
8. Дать определение σ-алгебры, σ-алгебры событий, алгебры событий.
9. Дать определение полной группы событий, гипотезы. Сформулировать и доказать теорему о формуле полной вероятности.
10.Дать определение полной группы событий, гипотезы. Сформулировать и доказать теорему Байеса.
11.Дать определение условной вероятности. Сформулировать и доказать теорему умножения.
12.Что понимают под биномиальной схемой испытаний (схемой Бернулли)? Сформулировать и доказать теорему Бернулли.
13.Что понимают под биномиальной схемой испытаний (схемой Бернулли)? Сформулировать следствия из теоремы Бернулли.
14.Дать определение несовместных событий. Вывести формулу сложения вероятностей для 2-х и для n событий
15.Сформулировать и доказать основные свойства вероятности (6 свойств).
16.Сформулировать и доказать теорему о свойствах условной вероятности.

Случайные величины
1. Что называют скалярной случайной величиной? Дайте определение функции распределения (вероятностей) скалярной случайной величины. Сформулируйте и докажите ее свойства.
2. Что называют скалярной случайной величиной? Дайте определение дискретной скалярной случайной величины и ее ряда распределения. Сформулируйте и докажите теорему о виде функции распределения (вероятностей) дискретной скалярной случайной величины.
3. Какая логическая проблема возникает при введении понятия непрерывной скалярной случайной величины и какое решение этой проблемы можно предложить? Дайте определение непрерывной скалярной случайной величин. Сформулируйте и докажите основные свойства плотности распределения вероятностей скалярной случайной величины.
4. Что называют скалярной случайной величиной? Какая случайная величина называется дискретной? Дайте определение скалярной случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения. Какой вид имеет ее функция распределения вероятностей?
5. Что называют скалярной случайной величиной? Какая случайная величина называется дискретной? Дайте определение скалярной случайной величины, имеющей распределение Пуассона. Какой вид имеет ее функция распределения вероятностей?
6. Дайте определение непрерывной скалярной случайной величин. Дайте определение скалярной случайной величины, имеющей равномерный закон распределения. Какой вид имеет ее функция распределения?
7. Дайте определение непрерывной скалярной случайной величины. Дайте определение нормальной случайной величины. Что называют функцией Лапласа?
8. Дайте определение непрерывной скалярной случайной величин. Дайте определение скалярной случайной величины, имеющей экспоненциальный закон распределения. Какой вид имеет ее функция распределения?
9. Что понимают под n-мерным случайным вектором и его функцией распределения (вероятностей)? Сформулируйте и докажите основные свойства функции распределения (вероятностей) n-мерного случайного вектора
10.Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства плотности распределения вероятностей непрерывного случайного вектора
11.Дайте определение независимых случайных величин. Сформулируйте теоремы о необходимом и достаточном условии независимости для дискретных и для непрерывных случайных величин (для непрерывных с доказательством). Дайте определение независимых в совокупности случайных величин.
12.Дайте определение функции от скалярной случайной величины. Выведите формулы для нахождения функции распределения (вероятностей) и плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Y = 𝜑(X) при известной функции плотности fX(x).
13.Дайте определение функции от двумерной случайной величины. Запишите формулу для нахождения функции распределения (вероятностей) случайной величины Z = ψ(X, Y ) при известной совместной плотности распределения вероятностей fXY (x, y) случайного вектора (X, Y ). Выведите формулу свертки.
14.Дайте определение математического ожидания скалярной случайной величины и приведите его содержательную интерпретацию. Сформулируйте и докажите основные свойства математического ожидания.
15.Дайте определение дисперсии скалярной случайной величины. Сформулируйте и докажите основные свойства дисперсии.
16.Дайте определение ковариации двух скалярных случайных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариации.
17.Дайте определение коэффициента корреляции двух скалярных случайных величин. Сформулируйте основные свойства коэффициента корреляции.
18.Дайте определения сходимости по вероятности. Сформулируйте и докажите теоремы о 1-м и 2-м неравенствах Чебышева.
19.Дайте определения сходимости по вероятности. Дайте определения закона больших чисел (слабого). Сформулируйте и докажите закон больших чисел в форме Чебышева.
20.Сформулируйте центральную предельную теорему (частный случай). Как следует понимать термин «асимптотическая нормальность»? Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа.
21.Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины имеющих распределение: Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное.
22.Дайте определения сходимости по вероятности. Дайте определения закона больших чисел (слабого). Сформулируйте и докажите теорему Бернулли.

Математическая статистика
1. Сформулируйте основную задачу математической статистики. Какое противоречие принципиально присуще математической статистики. Дайте определение генеральной совокупности.
2. Что называют выборкой, случайной выборкой, статистикой? Дайте определение выборочного начального момента k-го порядка. Как принято называть начальный момент первого порядка?
3. Что называют выборкой, случайной выборкой, статистикой? Дайте определение выборочного центрального момента k-го порядка. Как принято называть центральный момент второго порядка?
4. Дайте определение точечной оценки. Дайте определение несмещенной и состоятельной точечных оценок.
5. Дайте определение точечной оценки. Дайте определение несмещенной и эффективной точечных оценок.
6. Дайте определение точечной оценки. Дайте определение эффективной и состоятельной точечных оценок
7. Дайте определения выборочной функции распределения, эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения.
8. Дайте определения функции правдоподобия и оценки максимального правдоподобия. Что такое уравнения правдоподобия?
9. Изложите идею метода максимального правдоподобия построения точечных оценок параметров законов распределения дискретных случайных величин
10.Сформулируйте теорему Рао (неравенство Рао-Крамера).
11.Что называют показателем эффективности по Рао-Крамеру? Какую точечную оценку называют эффективной по Рао-Крамеру?
12. Дайте определение интервальной оценки. Как определяется вероятность совершения ошибки при построении γ-доверительного интервала. Дайте определение центральной статистики.
13.Сформулируйте задачу построения интервальной оценки. Какие допущения используются при ее построении?
14.Сформулируйте задачу построения интервальной оценки. Пусть X ∼ N(m,σ2 ). Укажите вид доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.
15.Сформулируйте задачу построения интервальной оценки. Пусть X ∼ N(m,σ2 ). Укажите вид доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
16.Сформулируйте задачу построения интервальной оценки. Пусть X ∼ N(m, σ2 ). Укажите вид доверительного интервала для дисперсии.
17.Дайте определение статистической и параметрической гипотез. Дайте определение простой и сложной статистических гипотез
18.Что называют критерием проверки статистической гипотезы и как его задают? Что представляет собой решающее правило?
19.Какие ошибки возможны при проверке статистической гипотезы? Что понимают под мощностью и уровнем значимости критерия?
20.Простые параметрические гипотезы: постановка задачи. Какую функцию называют отношением правдоподобия и как определяется критическое множество?
21.Что понимают под размером и функцией мощности критерия при проверке сложных параметрических гипотез?
22.Дайте определение равномерно наиболее мощного критерия. Каким основным свойством обладает этот критерий? Почему?