Ответы: Коллоквиум по математической статистике

Распознанный текст из изображения:

Вариант 01.

~, Сформулировать определения несмещенной и состоятельной Оце Нок.

Сформулировать теорему 0 сВойствах оценок максимального прав-

доподобия,

3. Пусть Х1,..., Х вЂ” случайная выборка из нормального распределения с параметрами ~а, д2). Построить эффективную оценку для неизвестной дисперсии д2~ параметр а известен). Чему равны дисперсия этой оценки и количество информации Фишера о неизвестном параметре~

4. Пусть случайные величины Х1,, Х„независимы, одинаково распределены с плотностью

е 1 ~1 при х>д, 0 при х<д.

р(х;д) =

Докажите, что Т = п11п Х, — полная достаточная статистика. По1<1<п

стройте оптимальную оценку для д.

5. В ~00 независимых испытаниях число положительных исходов Ока—

залось Равным З8. С надежность1о 0.9 постройте асимптотическ11й

доверительный интервал Для неизвестной Вероятности Р

тельногО исхода-

Пуст1, Х Х„, — случайная выборка из нормального Ра

дел~ния %~а а') причем ~~ — извес"1'НОЕ чиСлО

лее мощный критерий уровня О для проверк" пр'

Оо '- О = оо против простой альтер1ш1'ивы Н1 . 'и = 111 '1110 --" 111).

ИС11ользова1'ь этот критерий при о = 9, е = 0.01, 11о =

Л = О'>, О = 1. Вычислить мощность полученно1"О критеР1111.

Распознанный текст из изображения:

Вз,рийнт 10.

Имя

Отчество

Фамилия

'Что называехся квантилью распределения Е(т) уровня о?

Сформулируйте критерий факторизации.

Пусть Х»,Х2 — случайная выборка из нормального распределе-

ния с параметрами (а,ст~). Проверихь несмещенность оценки И

~Х» — Л2~ для стандартного отклонения о, Каким образом можно

получить несмещенную оценку для о, используя И'?

Пусть случайные величины Х»,..., Х„независимы, одинаково распределены по закону Пуассона с неизвестным параметром д. Найти одномерную достаточную статистику и доказать ее полноту. Какие функции параметра О допускают несмещенные оценки? Существует ли несмещенная оценка для 1/В?

5. Для отрасли, .включающей 500 фирм, составлена случайная выбор-

ка из 16 фирм. Выборочное среднее по выборке оказалось равным 75, исправленная выборочная дисперсия — 441. Построить с належностьк) 0.95 доверительные интервалы для математического о)кид~ния числа работающих в одной фирме и для числа работа»о»»Фх Во Всей Отрасли. Предполагается что число работа»ощих в Фирм(-' — случайная величина с нормальным законом распределения.

6. Пусть Х»,..., Х - — случайная Вь»бориа из норма„'»ьного раси»)еделе»»ия ~(а,а ), причем О.) — — известное число. Пострс)«

с)и»ь»»а»»бомощный критерий уровня О для проверки щ)остой

)ОСтой»'»»»»О'1'ЕЗь»

О ' Я вЂ” 0 против простой ал» тер»»атив»» Я ИспОл ьЗО~тот критерий при и = 16 е» = 0 О,)

Вь»»ислить мощнОсть полученного к»)ите»)ия.

Распознанный текст из изображения:

Вариант 02.

Отчество

Имя

Фамилия

1. Сформулируйте определение доверительного интервала.

2. Свойства выборочного среднего Х как оценки неизвестного математического ожидания.

4. Пусть Пусть Х1,..., Մ— случайная выборка из нормального распределения %~а, ~т2), причем ст~ — известное число. Найти одномерную достаточную статистику и на ее основе построить несмещенную оценку для а . Будет ли полученная оценка эффективной".

5. По выборке из нормального распределения объема п = 8, Х = О., 5, ~~ = О., 04 построить доверительный интервал для неизвестной дисперсии с надежностью 0.8.

6, Пусть наблюдается случайная величина Х1. По одному наблюдению ~Х1 — — 0,5) требуется проверить простую гипотезу Б: ЖЛ~О, 1~ ~распределение равномерное на ~0,1~) против простой аль тернативы Н,; Х, %~О, 1)) ~стандартное нормальное распред»- ление). Уровень значимости а = 0.1.

3. Пусть Х1,..., Մ— случайная выборка из равномерного на отрезке

~0., 01 распределения. Построить оценку максимального правдоподобия для неизвестного параметра О. Проверить, будет ли эта оценка несмещенной и состоятельной.

Распознанный текст из изображения:

Вариант 03.

Отчество

1. Дайте определение ошибок первого и второго рода в теории проверки гипотез. 1то та~ое урове~~ знои~ос~~ критерия~

2, Сформулируйте теорему Рао - Блекуэлла — Колмогорова.

3, Пусть Х1,, Մ— случайная выборка из распределения с плотностью распределены с плотностью

х е

Л-1 -т/И

г«А)о~

0 при х <ф.

р«х; О) =

Построить с пОмощью метОда, моментОв Оценки неизвестных пара-

метров О и Л«О > О, Л > О).

4. Пусть случайные величины Х1,...,Х„независимы, одинаково распределены по закону пуассона с неизвестным параметром О. Пс строить несмещенную оценку с минимальной дисперсией для функции неизвестного параметра 7.«д) = Оз, Будет ли полученная оценка эффективной?

5- Проведены наблюдения случайной величины с равномерным ва

~0,О1 распределением: 1.24; 2.5; 0,75; 0.36. Построить доверительный интервал с надежностью 0.95.

6. Пусть Х1,...,Л,„— случайная выборка из нормал~ НО~О Распреде

ления К«а, а ), причем ц — известное числО. Построит~

2'~

щн~:~д р " й ° - роверки простой гипотезы -Ц~

2

= ~о против простой альтернативы н~ . а- = а, «~о > ~~~)- Испол зовать Этот критерий при о = 0.01, а == 1, ~

0—

если известны результаты четырех измерений: 1.2; 0.~; -1 5' 0-5 ~ы

числить мОщность полученного критерия °

Распознанный текст из изображения:

Вариант 004.

ОТЧЕСТВО 1. Дайте определение достаточной статистики. 2. Неравенство информации (Рао — Крамера). 3. Пусть Х1,..., Մ— случайная выборка из геометрического распре деления с неизвестным параметром О б (О; 1):

Р~Л = й~ = (1 — О)"-'О, Найти эффективную оценку параметра О, Чему равно количество информации о параметре О? 4. Пусть случайные величины Х1,..., Х„независимы, одинаково распределены с плотностью е-ж/в при х > 0

0 при х < О. Построить несмещенную оценку с минимальной дисперсией для функции неизвестного параметра 7-(О) = О~. Будет ли полученная

Оценка зффективнОЙ? 5. дана выборка об ьема и = 16 из нормально~о распределения -~'(~:» 0.09) С надежностью 0.99 постройте доверительный интервал для ~ » ес ли Х = 2.3.

Х1» * °, Хп, — случайная выборка из нормального расЩ~еделсния ~'(О,а ), причем о — известное число. Построить наиболее мощный критерий уровня с~ для проверки простой гипотезы и о о оо против простой альтернативы Н~ ° О = ~~ 1 (~~0 ~)) )" испол~ зовать этот критерий при и = 16, ~) = 0,02, ~~о -= 1

— о = 0.36. Вычислить вероятпосп опыоки втОРог~

рода ПОлученнОгО критерия,

Распознанный текст из изображения:

Отчество

Имя

Сформулируйте определение эффективной оценки.

2. Свойства эмпирической функции распределения как оценки для неизвестной теоретической функции распределения.

3. Пусть Л»,...,Մ— случайная выборка из распределения с плотностью распределены с плотностью

Найти оценку максимально»"о правдоподобия для неизвестно» о па-

раметра О. Является ли она несмещенной и состоятельной~

4. Пусть случайные величины Х»,..., Х„независимы, одинаково рав-

номерно распределены на, отрезке ~0, д1. Доказать, что обе оценки

й,+1

02 — — п»ах Л.,;

И

~. Результать» измерений случайных величин Л.»,..., Л.~ с показа ~ель—

»»ой п»отность»о распределения р~л. 0) = -е ~ при х > 0 сл~д~ю»цие: 0.71; 1.02; 0.28; 2.49; 0.62, С наде.кностью 0.9 построит». доверительный интервал для 0 °

6. Пусть Х»,... „Մ— - случайная выборка из нормально»'о ра

ления %~1,0. ~~, причем «т -- известное число. Пос'»'р"ит

2~

мощный критерий уровня о для проверки»»ростсй» и»'от« ~ы

о = — оо против простой альтерна»ивы О»

Использовать этот критерий при «»' = — ' 0*1.

име»отся результаты пяти иабл»одений: -О

Распознанный текст из изображения:

Имя

Отчество

1. Какая оценка неизвестного параметра называется состоятельнои?

2. Демма Неймана - Пирсона о наиболее мощном критерии в зада ие проверки двух просты~а гипотез.

3. Пусть Л1...,, Մ— - случайная выборка из равномерного распределения на отрезке ~а — 6 а+ Ь~ (а б К б > О). С помощью метота моментов оценить неизвестные параметры а и 6, Являются ли эти оценки несмещенными и состоятельными?

4. Пусть случайные величины Х1,.... Х„независимы, одинаково распределены с плотностью

х е

А-1 — ж/д

гр~дл Р

0 при к<О,

Найти оценку максимального правдоподобия для неизвестного па;

раметра ~ ~ О > О, Л > Π— известно). Вычислить количество ин-

формации Фишера о параметре О, содержащееся в выборке. Будет

ли полученная оценка Эффективной?

~. По выборке из 25 упаковок товара вычислены Х = 101г,.;~

Пос'кроить доверительный интервал с надежностью О.З8 для среднего веса упаковок (предположить, что вес каждой упаковки -- нормально распределенная случайная величина~ *

6, Результаты измерений случайных величин Х»,...; Хг с показатель

ной плотностью распределения р~х, О) = ~е "~~ при -'г > О ~""'~-"ю

щие: 0.71; 1.02; 0.28; 2.49; 0.62. Построить наиболее мощ"""~ ' р"

д,; ~= 05

терий уровня 0.05 для проверки простой гипотезы

против простой альтернативы Н~ . .д = — 1)

Распознанный текст из изображения:

Вариант О7.

Отчество

1. Какая статистика называется полной?

2. Свойства статистик Х и 82 в нормальных выборках.

3. Пусть Л1,..., Մ— случайная выборка из биномиального распределения В~1,р) р 6 ~0,1). Какие функции т~р) неизвестного па.- раметра р допускают эффективное оценивание? Построить опти-

) 2

4. Пусть случайные величины Х1,..., Х„независимы, одинаково равномерно распределены на отрезке ~0, О+ Ц, О Е М вЂ” неизвестный параметр. Найти несмещенную оценку максимального правдоподобия.

5. По результатам 10 наблюдений случайной величины с нормальным

законом распределения вычислены выборочное среднее, равное 2,5 и исправленная выборочная дисперсия, равная 0,16. С надежностью 0,98 построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания.

6. По одному наблюдению случайной величины Х (-~ = 0.6) построить наиболее мощный критерий уровня о = 0-06 для проверки "Ро стой гипотезы И„: Х Е~1) ~показательное распределение с параметром, равным 1) против простой альтернативы Ц1 . -~ ' ~~0; Ц) ~равномерное распределение на ~0; Ц). Использовать этот критери" при и =- 9, а = 0.01, ао — 1, а1 — О, Л = 0.5, п2 = 1

мОщность полученнОгО критерия,

Распознанный текст из изображения:

Отчество

Имя

Фамилия

1. Дайте определение ошибок первого и второго рода в теории и, Верки гипотез. Что такое мощность критерия?

2. НераВенство информации (Рао — Крамера).

3. Пусть Х1,..., Մ— случайная выборка из распределения с плотностью распределены с плотностью

с* — к~

я при ~-:~О, 0 при к<О,

ПОстроить с пОмОщью метОда моментов Оценки неизвестныж пара-

метров О и Л(О > О, Л > О).

4. Пусть случайные величины Х1,..., Х,, независимы, одинаково распределены по закону пуассона с неизвестным параметром О. Построить несмещенную оценку с минимальной дисперсией для функпии неизвестного параметра 7.(9) = дз. Будет ли полученная Опенка зффективной ~

5. Имеи»тся 4 измерения случайной Величины, Р ~вномерно Расп1»еде ленной на 10, 01; 0.5; 0.1; 0.7; 0.6. С надежностью 0 ~ посгроить до верительный интервал для неизвестного пч»амет1»а ~.

6* Пусть -~~ ~ * -, Х„-- случайная выборка из нормального распредел~'- ния ~(К 0 49). Построить наиболее мощный критерий уровня 0 0» для проверки простой гипотезы И,: а = 0 против простой а-:итеРнативь~ Л1 О = — 1, если вычисленное по Выборке ~»~>'вема в~~~орочное Оказалось равным О~ Вычислить в~,роятпосп- Ои»ибки вт~»рого рода полученного критерия.

Распознанный текст из изображения:

Вариант 09.

Отчество

1. Какая оценка неизвестного параметра называется оптимальной' ?

( войства выборочных моментов как оценок для теоретически,» мо-

ментов.

3. Пусть Х1,..., Մ— случайная выборка из нормального распределения %~О, О), О > О. С помощью метода максимального правдоподобия оценить неизвестный параметр О.

4. Пусть случайные величины Л1,, Х„независимы, имеют одинаковое равномерное распределение на ~ — 0,0~. Найти достаточную

статистику наименыпей размерности. Является ли она полной?

5. По выборке объема 20 из нормального распределения вычислена

исправленная выборочная дисперсия з~ = 2.25. С надежностью 0.99

указать доверительный интервал для неизвестной дисперсии.

6. По одному наблюдению случайной величины Х построить наиболее мощный критерий уровня а для проверки простой гипотезы

: Х ~~(О, Ц ~стандартное нормальное распределение) против

простой альтернативы .У1 . Х В~О; 11 ~равномерное распреде'ление на 1О,1~). Какое следует принять решение, если а = О.О5, а Л = О.6?

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник