алгебра 1 типовик 14 вариант, страница 2

Умножим справа обе частиуравнения на A-1: Y·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что Y = B·A-1Обратная матрица A-1.1 3 -1 A-1 = 183 5 Матрицу Y ищем по формуле: Y = B·A-1−)Ответ: < = ?A1 −@51−1 5 −2 3 −16><=7979 = =2218 7 −1 3 51 −3ЗАДАЧА 5. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, действующего вдвумерном пространстве, если известна его матрица A в некотором базисе {е ;е }.=72 −59.4 −7РешениеСоставляем систему для определения координат собственных векторов:E(2 − λ)x − 5x = 04x + (−7 − λ)x = 0Составляем характеристическое уравнение и решаем его.2 - λ -5 4 -7 - λ =0Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.((2 - λ) • (-7 - λ)-4 • (-5)) = 0После преобразований, получаем:λ2 +5 λ + 6 = 0D = 52 - 4 • 1 • 6 = 1λ1 =-5+1= -22•1λ2 =-5-1= -32•1Координаты первого собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ1 = -2,находим из системы:E44− 5− 5 = 0 = 0Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = -2 при x1 = 5:x1 =(5, 4).В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:i 1=(54;)41 41где 52 + 42 = 41 - длина вектора x 1.Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = -3,находим из системы:E54− 5 = 0− 4 = 0x2 =(1, 1).j 1=(1 1; )2 2Ответ: i 1 = (541 1;), j 1 = ( ; ).41 412 2.