алгебра 1 типовик 14 вариант

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯТИПОВОЙ РАСЧЕТВариант 14ЗАДАЧА 1. Для пирамиды с вершинами точках A1, А2, A3, А4 найти:а)длину ребра А1А2;б)угол между рёбрами А1А2 и А1А4;в)уравнение плоскости А1А2А3;г)площадь грани А1А2А3;д)угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;е)уравнение высоты, опущенной из точки А4 на грань А1А2А3;ж)объём пирамиды А1А2А3А4.Даны координаты пирамиды: A1(3; 4; 3), A2(3; 6; 2), A3(0; 4; 4), A4(4; 8; 2)Решениеа) Длину ребра можно найти как длину соответствующего ему вектора.Найдем координаты вектораX = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1X = 3-3; Y = 6-4; Z = 2-3(0; 2; −1)Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:|a| = X2 + Y2 + Z2|A1A2| = 02 + 22 + 12 = 5 = 2.236б) Угол между векторами1(X1;Y1;Z1),2(X2;Y2;Z2)где a1a2 - скалярное произведение векторов.Векторможно найти по формуле: cos=||||(1; 4; −1), длина |A1A4| = 12 + 42 + 12 = 18 = 4.243Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A4cos γ =0 • 1 + 2 • 4 + (-1) • (-1)= 0.9495 • 18γ = arccos(0.949) = 18.4350в) Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящаячерез них плоскость представляется уравнением:x-x1 y-y1 z-z1 x -x y -y z -z  = 0 2 1 2 1 2 1x3-x1 y3-y1 z3-z1 Уравнение плоскости A1A2A3x-3 y-4 z-3 0 2 -1  = 0-3 0 1 (x-3)(2 • 1-0 • (-1)) - (y-4)(0 • 1-(-3) • (-1)) + (z-3)(0 • 0-(-3) • 2) = 2x + 3y + 6z-36 = 0A1A2A3: 2x + 3y +6z-36 = 0.г) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:1S = 2 | A1A2 x A1A3 |(0; 2; −1), |A1A2| = 02 + 22 + 12 = 5 = 2.236(-3;0;1), |A1A3| = 32 + 02 + 12 = 10 = 3.162.Векторное произведение:i j k 0 2 -1  = i(2 • 1-0 • (-1)) - j(0 • 1-(-3) • (-1)) + k(0 • 0-(-3) • 2) = 2i + 3j + 6k-3 0 1 111S = 2| A1A2 x A1A3 | = |2i + 3j + 6k| = 22 + 32 + 62 = 49 = 3.522д) Угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3Синус угла между прямой с направляющими вектором (l; m; n) и плоскостью с нормальнымвекторомsin γ =(A; B; C) можно найти по формуле:|Al + Bm + Cn|A + B2 + C2 l2 + m2 + n22Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 3y +6z-36 = 0.Векторsin γ =(1; 4; −1).|2 • 1 + 3 • 4 + 6 • (-1)|= 0.26922 + 32 + 62 12 + 42 + 12γ = arcsin(0.269) = 15.605oе) Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины A4(4,8,2) на грань А1А2А3Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:x - x0 y - y0 z - z0A = B = CУравнение высоты:x-4 y-8 z-2==.236ж) Объем пирамидыОбъем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:X Y Z1  1 1 1 V = 6 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 V=0 2 -1 1 8-3 0 1  = = 1.333. 661 4 -1 Находим определитель матрицы∆ = 0 • (0 • (-1)-4 • 1)-(-3) • (2 • (-1)-4 • (-1))+1 • (2 • 1-0 • (-1)) = 8.ЗАДАЧА 2.

Решить систему линейных уравнений тремя способами:а)методом Гаусса;б)с помощью формул Крамера;в)записать систему в матричной форме и найти ее решение с помощью обратной матрицы.Решение:2 − − = 43 + 4 − 2 = 113 − 2 + 4 = 11а) Запишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду.2 -1 -1 43 -4 -2 113 -2 4 11Для удобства вычислений поменяем строки местами:3 -4 -2 113 -2 4 112 -1 -1 4Работаем со столбцом №1Умножим 2-ую строку на (k = -2 / 3 = -2/3) и добавим к 3-ой:3 4 -2113 -2 4111-110 /3/3 -10/3Умножим 1-ую строку на (k = -3 / 3 = -1) и добавим к 2-ой:3 4 -2 110 -6 601-110 /3 /3 -10/3Работаем со столбцом №2Умножим 2-ую строку на (k = 1/3 / 6 = 1/18) и добавим к 3-ой:3 4 -2110 -6 60-10-100 0/3/3Получим единицы на главной диагонали.

Для этого всю строку делим на соответствующий элементглавной диагонали:1 4/3 -2/3 11/301-100110Теперь исходную систему можно записать как:x1 = 11/3 - (4/3x2 - 2/3x3)x2 - x3=0x3 = 1x3 = 1Из 2-ой строки выражаем x2x2 = 0 - (-1)•1 = 1Из 1-ой строки выражаем x1x1 = 11/3 - 4/3•1 - (-2/3)•1 = 3Ответ: (3, 1, 1)б)Решим систему с помощью формул Крамера. Вычислим определитель основной матрицы.2 -1 -1∆ = 3 4 -2 = 603 -2 4Вычислим вспомогательные определители, получаемые заменой соответствующего столбцастолбцом свободных членов.4-1 -1∆1 = 11 4 -2 = 18011 -2 42 4 -1∆2 = 3 11 -2 = 603 11 42 -1 4∆3 = 3 4 11 = 603 -2 11x1 =∆1180== 3∆60x2 =∆260== 1∆60x3 =∆360== 1∆60Ответ: (3;3;3).в) Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбецнеизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:2 -1 -1 3 4 -2 3 -2 4 Вектор B:BT=(4,11,11)С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:А*Х = B.Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратнуюматрицу А-1.

Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.Найдем главный определитель.∆=2•(4•4-(-2•(-2)))-3•(-1•4-(-2•(-1)))+3•(-1•(-2)-4•(-1))=60Итак, определитель 60 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу черезалгебраические дополнения.Пусть имеем невырожденную матрицу А:a11 a12 a13 A=a21 a22 a23 a31 a32 a33 Тогда:A A A1  11 21 31 A = ∆A12 A22 A32 A13 A23 A33 -1где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое являетсяпроизведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строкии j-го столбца в определителе матрицы А.Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:2 3 3 AT=-1 4 -2 -1 -2 4 Вычисляем алгебраические дополнения для транспонированной матрицы.4 -2 A1,1=(-1)1+1-2 4  , ∆1,1=(4•4-(-2•(-2)))=12-1 -2 A1,2=(-1)1+2-1 4 , ∆1,2=-(-1•4-(-1•(-2)))=6-1 4 A1,3=(-1)1+3-1 -2 , ∆1,3=(-1•(-2)-(-1•4))=63 3 A2,1=(-1)2+1-2 4 , ∆2,1=-(3•4-(-2•3))=-182 3 A2,2=(-1)2+2-1 4 , ∆2,2=(2•4-(-1•3))=112 3 A2,3=(-1)2+3-1 -2 , ∆2,3=-(2•(-2)-(-1•3))=13 3 A3,1=(-1)3+14 -2 , ∆3,1=(3•(-2)-4•3)=-182 3 A3,2=(-1)3+2-1 -2 , ∆3,2=-(2•(-2)-(-1•3))=12 3 A3,3=(-1)3+3-1 4 , ∆3,3=(2•4-(-1•3))=11Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:12 6 6 -18 11 1 -18 1 11 Вычислим обратную матрицу:12 6 6 1 A =60-18 11 1 -18 1 11 -112 6 6  4 1 Вектор результатов X=60-18 11 1 · 11 -18 1 11  11 (12•4)+(6•11)+(6•11) 1 X=60 (-18•4)+(11•11)+(1•11) (-18•4)+(1•11)+(11•11) 180 1 X=60 60 60 XT=(3,1,1)x1=180 / 60=3x2=60 / 60=1x3=60 / 60=1Ответ: (3;1;1).ЗАДАЧА 3.

Найти нее комплексные корни заданного уравнения. Отметить найденные корни накомплексной плоскости.−4Решение−4+8=0+ 8 = 0. Решим квадратное уравнение относительно z2.# = 16 − 4 ∗ 8 = −16,==&√( )(√( )= 2 + 2* = 2(1 + *),= 2 − 2* = 2(1 − *).Найдем корни из комплексных чисел. Воспользуемся формулой.= ±√2 ,-√ & &√= ±√2 ,-& &+ *-√ & (− *-√ & (. = ±(/√2 + 1 + * /√2 − 1),. = ±(/√2 + 1 − * /√2 − 1).Изобразим корни на комплексной плоскости.Корни уравнения можно найти в тригонометрической формеНаходим тригонометрическую форму комплексного числа z = 2+2*ix = Re(z) = 2y = Im(z) = 2|z| = x2 + y2 = 22 + 22 = 2 2Поскольку x > 0, y > 0, то arg(z) находим как:yarg(z) = φ = arctg( )x2φ = arctg 2 = π/4Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 2+2*iz = 2 2(cos(π/4) + i sin (π/4))Извлекаем корни по формуле:zk =2z=2φ + 2π kφ + 2π k |z|cos()+isin(22 ), k = 0, 1k=0z0 =2π/4 + 2π • 0π/4 + 2π • 0 |z|cos()+isin()22z0 = 23/4(cos(1/8•π) + i sin(1/8•π))k=1z1 =2π/4 + 2π • 1π/4 + 2π • 1 |z|cos() + i sin()22z1 = 23/4(cos(9/8•π) + i sin(9/8•π))илиz1 = 23/4(-cos(1/8•π) -sin(1/8•π) i)И для второго корня получаем.Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = 2-2*ix = Re(z) = 2y = Im(z) = -2|z| = x2 + y2 = 22 + (-2)2 = 2 2Поскольку x > 0, y < 0, то arg(z) находим как:|y|arg(z) = φ = 2π - arctg( x )|(-2)|φ = 2π - arctg 2 = -π/4Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 2-2*iz = 2 2(cos(-π/4) + i sin (-π/4))Извлекаем корни по формуле:zk =2k=0z=2φ + 2π kφ + 2π k |z|cos( 2 ) + i sin( 2 ), k = 0, 1z0 =-π/4 + 2π • 0-π/4 + 2π • 0 |z|cos()+isin()222z0 = 23/4(cos(-1/8•π) + i sin(-1/8•π))илиz0 = 23/4(cos(1/8•π) -sin(1/8•π) i)k=1z1 =-π/4 + 2π • 1-π/4 + 2π • 1 |z|cos()+isin()222z1 = 23/4(cos(7/8•π) + i sin(7/8•π))илиz1 = 23/4(-cos(1/8•π) + sin(1/8•π) i)Ответ: ±(/√2 + 1 + * /√2 − 1), ±(/√2 + 1 − */√2 − 1) или0= √8(cos + * sin ),33122= √8(cos1623+ * sin623),0= √8(cos − * sin ),33122= √8(−cos + * sin )33122ЗАДАЧА 4.

Решить матричные уравнения АХ=В и YA=В.=75 15 −29, : = 79−3 37 −1Решениеа) Решим матричное уравнение A·X = B.Вычислим определитель матрицы А:∆ = 5*(3) - (-3)*1 = 18Определитель матрицы А равен detA=18Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе частиуравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.Найдем обратную матрицу A-1.Алгебраические дополненияA11 = (-1)1+1·3 = 3; A21 = (-1)1+2·1 =- 1; A12 = (-1)2+1·(-3) = 3; A22 = (-1)2+2·5 = 5;Обратная матрица A-1.A-1 =1 3 -1 183 5 Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·BX=1 3 -1  5 -2  4/9 -5/18 ·=183 5  7 -1  25/9 -11/18 Ответ:4-5 /9 /18 X = 25/ -11/ 918б) Решим матричное уравнение Y·A = B.Определитель матрицы А равен detA=18Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1.