алгебра 1 типовик 3 вариант

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯТИПОВОЙ РАСЧЕТЗАДАЧА 1. Для пирамиды с вершинами точках A1, А2, A3, А4 найти:а)длину ребра А1А2;б)угол между рёбрами А1А2 и А1А4;в)уравнение плоскости А1А2А3;г)площадь грани А1А2А3;д)угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;е)уравнение высоты, опущенной из точки А4 на грань А1А2А3;ж)объём пирамиды А1А2А3А4.Даны координаты пирамиды: A1(4,4,10), A2(4,0,2), A3(2,8,4), A4(9,6,4)РЕШЕНИЕа) Координаты векторов находим по формуле:X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - ziздесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;Для вектора A1A2X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1X = 4-4; Y = 0-4; Z = 2-10(0; −4; −8)Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:|a| = X2 + Y2 + Z2|A1A2| = 02 + 42 + 82 = 80 = 8.944б) Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:a1a2cos γ = |a | • |a |12где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2Вектор(5; 2; −6), длина |A1A4| = 52 + 22 + 62 = 65 = 8.062Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A4cos γ =0 • 5 + (-4) • 2 + (-8) • (-6)= 0.55580 • 65γ = arccos(0.555) = 56.3120в) Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящаячерез них плоскость представляется уравнением:x-x1 y-y1 z-z1 x -x y -y z -z  = 0 2 1 2 1 2 1x3-x1 y3-y1 z3-z1 Уравнение плоскости A1A2A3x-4 y-4 z-10 0 -4 -8  = 0-2 4 -6 (x-4)((-4) • (-6)-4 • (-8)) - (y-4)(0 • (-6)-(-2) • (-8)) + (z-10)(0 • 4-(-2) • (-4)) = 56x + 16y - 8z-208 = 0Упростим выражение: 7x + 2y - z-26 = 0г) Площадь грани можно найти по формуле:1S = 2 |a| • |b| sin γгдеsin γ = 1 - cos γ2Найдем площадь грани A1A2A3Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3.(0; −4; −8)|A1A2| = 02 + 42 + 82 = 80 = 8.944(-2;4;-6), |A1A3| = 22 + 42 + 62 = 56 = 7.483.cos γ =0 • (-2) + (-4) • 4 + (-8) • (-6)= 0.47880 • 56sin γ = 1 - 0.4782 = 0.878Площадь грани A1A2A311SA1A2A3 = 2|A1A2| • |A1A3| sin γ = 2 80 • 56 • 0.878 = 29.3942 способ: Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:1S = 2 | A1A2 x A1A3 |Векторное произведение:i j k 0 -4 -8  =-2 4 -6 = i((-4) • (-6)-4 • (-8)) - j(0 • (-6)-(-2) • (-8)) + k(0 • 4-(-2) • (-4)) = 56i + 16j - 8k111S = | A1A2 x A1A3 | = |56i + 16j - 8k| = 562 + 162 + 82 = 3456 = 29.394222д) Угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3Синус угла между прямой с направляющими вектором (l; m; n) и плоскостью с нормальнымвектором N(A; B; C) можно найти по формуле:sin γ =|Al + Bm + Cn|A + B2 + C2 l2 + m2 + n22Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 2y - z-26 = 0.Векторsin γ =(5; 2; −6).|7 • 5 + 2 • 2 + (-1) • (-6)|= 0.7672 + 22 + 12 52 + 22 + 62γ = arcsin(0.76) = 49.466oе) Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины A4(9,6,4) на грань А1А2А3Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:x - x0 y - y0 z - z0A = B = CУравнение плоскости A1A2A3: 6x + 2y - z-26 = 0x-9 y-6 z-46 = 2 = -1ж) Объем пирамидыОбъем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:X Y Z1  1 1 1 V = 6 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 0 -4 -8 1 360V = 6 -2 4 -6  = 6 = 605 2 -6 Находим определитель матрицы∆ = 0 • (4 • (-6)-2 • (-6))-(-2) • ((-4) • (-6)-2 • (-8))+5 • ((-4) • (-6)-4 • (-8)) = 360ЗАДАЧА 2.

Решить систему линейных уравнений тремя способами:а)методом Гаусса;б)с помощью формул Крамера;в)записать систему в матричной форме и найти ее решение с помощью обратной матрицы.2 З 4 — 2 3 3 — 2 — 5 2066Решение:а) Запишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду.2 3 -4 201 -2 363 -2 -5 61-ую строку делим на 21 1.5 -2 101 -2 363 -2 -5 6от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 1; 31 1.5 -2 100 -3.5 5-40 -6.5 1 -242-ую строку делим на -3.51 1.5-21001-10/7 8/70 -6.51-24от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1.5; -6.51 01/758/70 1 -10/78/70 0 -58/7 -116/73-ую строку делим на -58/71 01/758/70 1 -10/7 8/70 012от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1/7; -10/71 0 0 80 1 0 40 0 1 2Запишем систему уравнений, соответствующую полученной матрице.x1 = 8x2 = 4x3 = 2Ответ: (8, 4, 2)б) Решение:Решим систему с помощью формул Крамера.

Вычислим определитель основной матрицы.2 3 -4∆ = 1 -2 3 = 583 -2 -5Вычислим вспомогательные определители, получаемые заменой соответствующего столбцастолбцом свободных членов.20 3 -4∆1 = 6-2 3 = 4646-2 -52∆2 = 132066-43 = 232-52∆3 = 133-2-2206 = 1166x1 =∆1464== 8∆58x2 =∆2232== 4∆58x3 =∆3116== 2∆58Ответ: (8;4;2).В) Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбецнеизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:2 3 -4 А=1 -2 3 3 -2 -5 Вектор B:BT=(20,6,6)С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:А*Х = B.Найдем главный определитель.∆=2•(-2•(-5)-(-2•3))-1•(3•(-5)-(-2•(-4)))+3•(3•3-(-2•(-4)))=58Итак, определитель 58 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу черезалгебраические дополнения.Тогда:A A A1  11 21 31 A = A12 A22 A32 ∆A13 A23 A33 -1где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое являетсяпроизведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строкии j-го столбца в определителе матрицы А.Для удобства записи транспонируем матрицу A:2 1 3 A =3 -2 -2 -4 3 -5 TВычисляем алгебраические дополнения.-2 -2 A1,1=(-1)1+13 -5 ∆1,1=(-2•(-5)-3•(-2))=163 -2 A1,2=(-1)1+2-4 -5 ∆1,2=-(3•(-5)-(-4•(-2)))=233 -2 A1,3=(-1)1+3-4 3 ∆1,3=(3•3-(-4•(-2)))=11 3 A2,1=(-1)2+13 -5 ∆2,1=-(1•(-5)-3•3)=142 3 A2,2=(-1)2+2-4 -5 ∆2,2=(2•(-5)-(-4•3))=22 1 A2,3=(-1)2+3-4 3 ∆2,3=-(2•3-(-4•1))=-101 3 A3,1=(-1)3+1-2 -2 ∆3,1=(1•(-2)-(-2•3))=42 3 A3,2=(-1)3+23 -2 ∆3,2=-(2•(-2)-3•3)=132 1 A3,3=(-1)3+33 -2 ∆3,3=(2•(-2)-3•1)=-7Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:16 23 1 А*=14 2 -10 4 13 -7 Вычислим обратную матрицу:16 23 1 1 A = 14 2 -10 584 13 -7 -1Вектор результатов XX=A-1 • B16 23 1  20 1 X=5814 2 -10 · 6 4 13 -7  6 (16•20)+(23•6)+(1•6) 1 X=58 (14•20)+(2•6)+(-10•6) (4•20)+(13•6)+(-7•6) 464 1 X=58 232 116 XT=(8,4,2)Ответ: (8;4;2).ЗАДАЧА 3.

Найти нее комплексные корни заданного уравнения. Отметить найденные корни накомплексной плоскости.2РЕШЕНИЕ+2=0+2+ 2 = 0. Решим квадратное уравнение относительно z2.=√= 4 − 4 ∗ 2 = −4,=√= −1 + ",= −1 − ".Найдем корни из комплексных чисел. Воспользуемся формулой.± $%√= ± $%√"%√− "%√&±√&=±√('√2 − 1 + " '√2 + 1),('√2 − 1 − " '√2 + 1).Тригонометрическая форма комплексного числа z = -1+iz = 2(cos(3•π/4) + i sin (3•π/4))Извлекаем корни по формуле:zk =2z=2φ + 2π kφ + 2π k |z|cos() + i sin( 2 ), k = 0, 12k=0z0 =23•π/4 + 2π • 03•π/4 + 2π • 0 |z|cos() + i sin()22z0 = (2)1/4(cos(3/8•π) + i sin(3/8•π))илиz0 = (2)1/4(cos(3/8•π) + sin(3/8•π) i)k=1z1 =23•π/4 + 2π • 13•π/4 + 2π • 1 ) + i sin()|z|cos(22z1 = (2)1/4(cos(11/8•π) + i sin(11/8•π))илиz1 = (2)1/4(-cos(3/8•π) -sin(3/8•π) i)Тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-iz = 2(cos(-3•π/4) + i sin (-3•π/4))Извлекаем корни по формуле:zk =2z=2φ + 2π kφ + 2π k |z|cos( 2 ) + i sin( 2 ), k = 0, 1k=0z0 =2-3•π/4 + 2π • 0-3•π/4 + 2π • 0 |z|cos() + i sin()22z0 = (2)1/4(cos(-3/8•π) + i sin(-3/8•π))илиz0 = (2)1/4(cos(3/8•π) -sin(3/8•π) i)k=1z1 =2-3•π/4 + 2π • 1-3•π/4 + 2π • 1 |z|cos() + i sin()22z1 = (2)1/4(cos(5/8•π) + i sin(5/8•π))илиz1 = (2)1/4(-cos(3/8•π) + sin(3/8•π) i)Изобразим корни на комплексной плоскости.ЗАДАЧА 4.

Решить матричные уравнения АХ=В и YA=В.(423*, + = (−6 −71РЕШЕНИЕ5*−6Решим матричное уравнение A·X = B.Вычислим определитель матрицы А:∆ = 4*(-7) - (-6)*2 = -16Определитель матрицы А равен detA=-16Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе частиуравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.Найдем обратную матрицу A-1.Алгебраические дополненияA11 = (-1)1+1·-7 = -7; A21 = (-1)1+2·2 = -2; A12 = (-1)2+1·-6 = 6; A22 = (-1)2+2·4 = 4;Обратная матрица A-1.A-1 =1 -7 -2 -166 4 Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B1 -7 -2  3 5  23/16 23/16 X = -166 4 · 1 -6  = -11/ -3/ 88Ответ:2323 /16 /16 X = -11/ -3/ 88Б) Решим матричное уравнение Y·A = B.Определитель матрицы А равен detA=-16Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе частиуравнения на A-1: Y·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что Y = B·A-1Обратная матрица A-1.1 -7 -2 A-1 = -166 4 Матрицу Y ищем по формуле: Y = B·A-1,−Ответ: , = 0122−45439−1 3 5−7 −2(*(* = - 16436416 1 −61678/138−ЗАДАЧА 5.

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, действующего вдвумерном пространстве, если известна его матрица A в некотором базисе {е ;е }.=(2 1*.1 2РЕШЕНИЕСоставляем систему для определения координат собственных векторов:9(2 − λ)x + x = 0x + (2 − λ)x = 0Составляем характеристическое уравнение и решаем его.2 - λ 1 1 2 - λ =0Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.((2 - λ) • (2 - λ)-1 • 1) = 0После преобразований, получаем:λ2 -4 λ + 3 = 0D = (-4)2 - 4 • 1 • 3 = 4λ1 =-(-4)+22•1 = 3λ2 =-(-4)-2=12•19 0− = 0Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 3 при x1 = 1:x1 =(1, 1).В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:i 1=(1 1; )2 2где 12 + 12 = 2 - длина вектора x 1.Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 1,находим из системы:++ = 0 = 0j 1=(1 -1; ).2 29x2 =(1, -1)..