Тема 4. Функция полезности (Лекции и семинары (материалы к занятиям))

Тема 4. Функция полезности.Пусть заданы критерии K1,…,Kn; X = { x | x = (x1,…,xn) } – множествовекторых оценок вариантов по этим критериям. Пусть на X задано R – отношениепредпочтения. Числовая функция f : X → R , называется функцией полезности(ценности, предпочтительности), если она обладает следующим свойством:f(x) ≥ f(y) ⇔ x R y.Если известна функция полезности, то поиск оптимального вариантасводится к задаче нахождения x* = arg max f(x), x∈X – аргумента максимумафункции полезности на множестве X.Как найти функцию полезности? Методы построения функции полезностиделятся на эвристические и аксиоматические.К эвристическим методам можно отнести метод главного критерия и методобобщенного критерия.Метод главного критерия сводится к оптимизации по одному выбранномукритерию, при условии, что остальные критерии не больше (или не меньше)приемлемых значений.Метод обобщенного критерия заключается в свёртке набора критериев вчисловую функцию, которая и будет являться функцией полезности.Виды свёрток:1)аддитивная свёртка: f = α1K1+…+αnKn;2)мультипликативная свёртка: f = exp(α1ln(K1)+…+αnln(Kn)) = = K1α1 ⋅ ...

⋅ K nαn ;3)приведенная свёртка: f = min(Ki/αi) по всем i=1…n (или f = max(Ki/αi) повсем i=1…n).Аксиоматическиеметодыпостроенияфункцииполезности–этоформальные методы, основанные на том, что формулируются специальныепредположения (аксиомы) о свойствах предпочтения, выполнение которыхгарантирует существование функции полезности конкретного вида.Обычно, при использовании таких методов функцию полезности строят ваддитивном виде:f = λ1f1+…+λnfn(*)как сумму функций полезности по каждому критерию с некоторымивесовыми коэффициентами λ1,…,λn.Пусть KI ⊂ K = {K1,…,Kn} – подмножество множества критериев, т.е.

группакритериев с номерами из множества I = {i1,…,im}. Ī = {1,…,n}\I. Тогда KĪ – всеостальные критерии, а векторная оценка x представляется в виде (xI,xĪ).Говорят, что критерии KI не зависят по предпочтению от критериев KĪ, еслипредпочтения для любых двух оценок x = (xI,xĪ) и x’ = (xI’,xĪ), содержащиходинаковые компоненты с номерами из Ī, не зависят от самих значений этихкомпонент.Пример 1.n = 5, I = {1,3,4}, Ī = {2,5}.x = (7,1,2,8,2) = (xI,xĪ), где xI = (7,2,8), xĪ = (1,2).y = (4,1,8,3,2) = (yI,yĪ), где yI = (4,8,3), yĪ = (1,2).Таким образом, xĪ = yĪ.Если критерии KI не зависят по предпочтению от критериев KĪ и оценкаx предпочтительнее, чем оценка y, то и, например, оценка x1 = (7,4,2,8,5) будетпредпочтительнее, чем y1 = (4,4,8,3,5), потому что их значения по критериям изгруппы KI совпадают с соответствующими значениями оценок x и y, а оценки поостальным критериям одинаковые.

Таким образом, вместо xĪ = yĪ = (1,2) можноподставитьлюбуюоценку(a,b)ипредпочтениесохранится:(7,a,2,8,b)предпочтительнее, чем (4,a,8,3,b).Критерии K1,…,Kn такие, что любой набор KI из них не зависит попредпочтению от остальных критериев KĪ, называются взаимно независимыми попредпочтению.Теорема Дебре (критерий существования аддитивной функции полезности):функция полезности может быть задана в аддитивном виде (*) тогда и толькотогда, когда критерии K1,…,Kn взаимно независимы по предпочтению (при n≥3).При n=2, кроме взаимной независимости критериев, требуется выполнениеусловия соответственных замещений (при n≥3 оно выполняется автоматически):∀x1,x2,y1,y2,a,b,c,dесли(x1,x2) ∼ (x1–a,x2+b)и(x1,y2) ∼ (x1–a,y2+c),то(y1,x2) ∼ (y1–d,x2+b) и (y1,y2) ∼ (y1–d,y2+c).Т.е., если увеличение на b и c разных значений x2 и y2 критерия K2 принекотором опорном значении x1 критерия K1 компенсируется одним и тем жеуменьшением этого значения x1 критерия K1, то такие же увеличения b и c тех жезначений x2 и y2 критерия K2 сохраняются и при любом другом опорном значенииy1 критерия K1.Как осуществляется проверка взаимной независимости критериев попредпочтению?Непосредственно по определению проверить независимость критериевзатруднительно, т.к.

даже при небольших n возникает большое число вариантов,которые надо проверить.Утверждение (Леонтьева-Гормана): если любая пара критериев { Ki, Kj } независит по предпочтению от остальных (n-2) критериев, то все критерии K1,…,Knвзаимно независимы по предпочтению.Таким образом, проверка сводится к установлению независимости тольковсех пар критериев от всех остальных критериев.Пусть необходимо проверить на независимость по предпочтению наборы KIи KĪ. Берём набор xĪ+ наилучших (явно хороших) значений KĪ и подбираем(запрашиваем у ЛПР) два разных набора xI’ и xI’’ таких, что (xI’, xĪ+) ~ (xI’’, xĪ+).Затем берём набор xĪ– самых плохих оценок и спрашиваем у ЛПР, сохранилось либезразличие (xI’, xĪ–) ~ (xI’’, xĪ–)? Если нет, то критерии KI зависят от критериев KĪ.Если да, повторяем процедуру еще для некоторых других xI’ и xI’’. Если всё времябезразличие остаётся, задаём вопрос в общем виде (сохранится ли безразличиепри любых наборах).

Если да, то наборы критериев KI и KĪ независимы.Методы построения аддитивной функции полезностиШаговый метод совместного шкалирования.Пусть n=2 и условие соответственных замещений выполнено.f(x1,x2) = f1(x1) + f2(x2) ∀(x1,x2)∈X.Обозначим диапазоны изменения оценок x1 и x2: x1* ≤ x1 ≤ x1*, x2* ≤ x2 ≤ x2*.Полагаем f(x1*,x2*) = f1(x1*) = f2(x2*) = 0 (начало отсчета).Берем любое значение x11 > x1* достаточно близкое к нему. Устанавливаемf1(x11) = 1 (единица измерения).От ЛПР требуем указать x21 такое, что (x11, x2*) ~ (x1*, x21), для этогозначения также f1(x21) = 1.Затем у ЛПР запрашиваем x12 и x22 такие, что: (x12, x2*) ~ (x11, x21) ~~ (x1*, x22). f(x11,x21) = 1+1 = 2 ⇒ f1(x12) = f2(x22) = 2.Далее у ЛПР запрашиваем x13 и x23 такие, что: (x13, x2*) ~ (x12, x21) ~~ (x11, x22) ~ (x1*, x23) ⇒ f1(x13) = f2(x23) = 3.

И т.д.Таким образом, получаем наборы значений f1(x1*), f1(x11), f1(x12), f1(x13)… иf2(x2*), f2(x21), f2(x22), f1(x23)… по которым с помощью интерполяции строятсяфункции f1(x) и f2(x).Метод половинного деления.Метод находит функцию полезности в виде f(x1,x2) = λ1f1(x1)+λ2f2(x2), гдеf1(x1*) = f2(x2*) = 0, f1(x1*) = f2(x2*) = 1, λ1>0, λ2>0, λ1+λ2=1.Построим функцию f1.ЛПР просим указать среднюю по полезности оценку x10.5 ∈ [x1*;x1*], т.е.такую, изменение полезности на [x1*;x10.5] равно изменению полезности на[x10.5;x1*]. Устанавливаем f1(x10.5) = 0.5.Далееаналогичнополучаемx10.25 ∈ [x1*;x10.5] ⇒ f1(x10.25) = 0.25иx10.75 ∈ [x10.5;x1*] ⇒ f1(x10.75) = 0.75 и т.д.С помощью интерполяции, восстанавливаем функцию f1 по её значениям вточках x10.5, x10.25, x10.75…Функция f2 строится аналогично.Для нахождения весового коэффициента λ1 достаточно запросить у ЛПРпаруодинаковыхпопредпочтительностиоценок(x1’,x2’) ∼ (x1’’,x2’’) ⇒⇒ f(x1’,x2’) = f(x1’’,x2’’) ⇒ λ1f1(x1’)+(1-λ1)f2(x2’) = λ1f1(x1’’)+(1-λ1)f2(x2’’), а из этогоравенства уже можно выразить λ1 (а λ2 = 1 – λ1)..