Тема 2. Описание предпочтений (Лекции и семинары (материалы к занятиям))

Тема 2. Описание предпочтений.Пусть имеется совокупность объектов A (например, варианты стратегий,исходы, предметы и т.п.) и имеется ЛПР, для которого данные объекты неравнозначны, т.е. ЛПР обладает некоторой системой предпочтений на этоммножестве. Эти предпочтения можно описать различными способами. Далее мыперечислим наиболее распространенные из этих способов.Ранжирование объектов – представление элементов множества A в видепоследовательностивпорядкеубывания(илиневозрастания)ихпредпочтительности.

При этом, ничего не говорится о том, "на сколько" одинэлемент предпочтительнее другого.Задание функции предпочтительности, т.е. каждому объекту ставится всоответствие некоторое число, например, оценка его общего качества в баллах.Задание функции выбора X*=C(X), которая для любого подмножества Xмножества A (X⊆A) дает подмножество X*⊆X лучших с точки зрения ЛПРэлементов множества X.Задание сравнительной предпочтительности для каждой пары элементов aи b в виде:а) «a предпочтительнее b», либоб) «b предпочтительнее a», либов) «a и b равнопредпочтительны», либог) «a и b несравнимы».Множество пар вида <x,y>, для которых верно, что «x предпочтительнееy», называется бинарным отношением строгого предпочтения P.Пары<x,y>равнопредпочтительныхэлементовобразуютбинарноеотношение безразличия I.Пары <x,y> несравнимых элементов составляют множество N – бинарноеотношение несравнимости по предпочтению.В теории принятия решений обычно предполагается, что множества, накоторых задаются отношения предпочтения, состоят из более, чем 2-х элементов– принцип парнодоминантности.Объединение отношений строгой предпочтительности и безразличия R=P∪Iназывается отношением нестрогого предпочтения.

Т.е. R – это множество пар<x,y> таких, что «x не менее предпочтителен, чем y».Свойства введенных отношений:P может не являться транзитивным, т.е. из aPb («a предпочтительнее b») иbPc(«bпредпочтительнееc»)необязательноследует,чтоaPc(«aпредпочтительнее c»).P – антирефлексивно, т.е не содержит пар вида <x,x> (элемент x не можетбыть предпочтительнее самого себя).P – антисимметрично, т.е. если P содержит пару различных элементов<x,y>, то оно не содержит пару <y,x>.I – рефлексивно, т.е.

содержит все пары вида <x,x>.I – симметрично, т.е. если I содержит пару <x,y>, то в нем есть и пара<y,x>.I – транзитивно, т.е. если <x,y>∈I и <y,z>∈I, то и <x,z>∈I.R – рефлексивно, антисимметрично, не обязательно транзитивно.Отношение предпочтения можно изобразить в виде графа.Пример 1.A={a,b,c}. R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<c,b>}.По отношениям предпочтения можно построить функцию выбора, используяодно из правил выбора:1)Элемент a* выбирается из X⊆A, если a* является наилучшим, т.еa*Ra для любого a∈A.

C1(X)={a* | ∀a∈A a*Ra}. Замечание: еслиa*Ib, то b – тоже наилучший.2)Элемент a* выбирается из X⊆A, если ao является максимальным,т.е. нет такого a∈A, что aPao. C2(X)={ao | не ∃a∈A: aPao}.Выбор по правилу C1 зачастую не дает результатов. Так, в примере 1:C1({a,b,c})=∅, C2({a,b,c})={a,c}.Почисловойфункциипредпочтенияможнопостроитьпредпочтения: aRb ⇔ f(a)≥f(b), aIb ⇔ f(a)=f(b), aPb ⇔ f(a)>f(b).отношенияНо не во всех случаях по отношениям предпочтения удается построитьфункцию, удовлетворяющую указанным свойствам.Последним из рассматриваемых способов описания предпочтений будетоценивание предпочтительности каждого объекта a по n признакам (критериям):Ki(a)=xi – оценка a по критерию Ki.

Вектор, составленный из оценок a по каждомуиз критериев Ki, называется векторной оценкой a: x=(x1,…xn).Критерии могут быть числовыми и нечисловыми. Формально нечисловыекритерии всегда можно превратить в числовые, поэтому впредь под критериембудем всегда подразумевать числовую функцию.Шкалой критерия называется множество допустимых значений критерия.Если любые два объекта имеют различные оценки по данной шкале, то онаназывается строгой (в противном случае – нестрогой).Пусть Ki(a)>Ki(b) и большая оценка по Ki предпочтительней.

Если, знаяоценки Ki(a) и Ki(b), нельзя ответить на вопрос: "на сколько" a предпочтительнее bпо критерию Ki, то шкала критерия Ki называется порядковой, а сам критерий –качественным. В противном случае, критерий называется количественным.Если известны векторные оценки всех вариантов по n критериям, то по нимможно построить следующее отношение строгого предпочтения. Пусть x –векторная оценка варианта a, y – векторная оценка варианта b.aP0b ⇔ (∀i=0…n xi≥yi и ∃j: xj>yj).Это отношение называется отношением Парето. P0 используется в качествеP, если никакой другой информации о предпочтениях или критериях от ЛПР неполучено. В любом случае, предполагается, что P0⊆P.Иногда применяется отношение предпочтения по Слейтеру:aSb ⇔ xi>yi , i=1,…,n.Если от ЛПР получена информация о том, что что критерий K1 абсолютноважнее всех остальных, критерий K2 в свою очередь важнее всех, кроме K1 и т.д.,то применяют такую модель предпочтений, как отношение лексикографическогопорядка:aLb ⇔ ∃i: i∈[1..n], xi>yi, xj=yj при j=1,…,i-1..