О.Ю. Воробьев, Е.А. Сорокин. Построение сиcтемы предпочтений индивидуума - два метода формирования вопросов

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉÓÄÊ 519.248 [33+301+159.9]ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÐÅÄÏÎ×ÒÅÍÈÉÈÍÄÈÂÈÄÓÓÌÀ: ÄÂÀ ÌÅÒÎÄÀÔÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈß ÂÎÏÐÎÑÎÂ∗Î.Þ. Âîðîáüåâ, Å.À. ÑîðîêèíÏðåäëàãàåòñÿ äâà ìåòîäà, ïîçâîëÿþùèõ ïîñòðîèòü ñèñòåìó ïðåäïî÷òåíèéèíäèâèäóóìà è îïðåäåëèòü åãî ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè, îïèðàÿñü íà ñðàâíåíèå èíäèâèäóóìîì ëèøü íåêîòîðûõ ïàð äîñòóïíûõ åìó âàðèàíòîâ.Ââåäåíèå×åëîâåê â ñâîåé äåÿòåëüíîñòè ïîñòîÿííî ñòàëêèâàåòñÿ ñ ñèòóàöèÿìè, â êîòîðûõ åìóïðèõîäèòñÿ îñóùåñòâëÿòü âûáîð. Íàïðèìåð, çàéäÿ â ìàãàçèí ìû âûáèðàåì òîò èëèèíîé òîâàð.

Âûïóñêíèê øêîëû âûáèðàåò âóç, â êîòîðîì îí ñîáèðàåòñÿ ó÷èòüñÿ, èëèæå ìåñòî ðàáîòû, åñëè îí íàìåðåí ðàáîòàòü. Ðóêîâîäèòåëè ðàçëè÷íûõ óðîâíåé èðàíãîâ ïîñòîÿííî âûíóæäåíû çàíèìàòüñÿ ôîðìèðîâàíèåì ïåðñîíàëà âîçãëàâëÿåìûõèìè ïîäðàçäåëåíèé, âûáèðàòü òó èëè èíóþ ñòðàòåãè÷åñêóþ ëèíèþ ïîâåäåíèÿ, ïðèíèìàòü êîíêðåòíûå õîçÿéñòâåííûå è ýêîíîìè÷åñêèå ðåøåíèÿ. Ðàáîòíèêè áàíêîâ âûáèðàþò îáúåêòû äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ, ýêîíîìèñòû ïðåäïðèÿòèé è ôèðì ïëàíèðóþòîïòèìàëüíóþ ýêîíîìè÷åñêóþ ïðîãðàììó è ò.ä. ñîâìåñòíîé ðàáîòå Äæîíà ôîí Íåéìàíà è Îñêàðà Ìîðãåíøòåðíà áûëà ïðåäëîæåíà àêñèîìàòè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà îïèñûâàòü ïðåäïî÷òåíèÿèíäèâèäóóìà ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè.

Òî åñòü, ðàññìàòðèâàÿ îòíîøåíèÿ èíäèâèäóóìà ê ðàçëè÷íûì ïàðàì âàðèàíòîâ, ìîæíî âûñòðîèòü ñèñòåìó ïðåäïî÷òåíèé äàííîãî èíäèâèäóóìà, êîòîðàÿ áóäåò îïèñûâàòüñÿ åãî ôóíêöèåéïîëåçíîñòè.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû ïðåäïî÷òåíèé èíäèâèäóóìà ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû îí (èíäèâèäóóì) âûñêàçàë ñâîè ïðåäïî÷òåíèÿ ñðåäè âñåõ äîñòóïíûõ åìóïàð âàðèàíòîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî íà ïðàêòèêå ïîäîáíóþ ïðîâåðêó îñóùåñòâèòü ñëîæíî èç-çà áîëüøîãî êîëè÷åñòâà òàêèõ ïàð.

Áîëåå òîãî, âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå èçïàð âàðèàíòîâ èíäèâèäóóì ïðîñòî íå ìîæåò ñðàâíèòü (òàê êàê íå èìååò ÷¼òêî âûðàæåííûõ ïðåäïî÷òåíèé).  òî æå âðåìÿ ñâîéñòâà, õàðàêòåðèçóþùèå èíäèâèäóóìà,ñïîñîáíû ïîìî÷ü îïðåäåëåíèþ åãî ïðåäïî÷òåíèé. Ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòüâ íàõîæäåíèè òàêèõ ïàð âàðèàíòîâ, êîòîðûå ïîçâîëÿò ñóäèòü î âèäå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè èíäèâèäóóìà, à âîçìîæíî, è ïîëíîñòüþ å¼ îïðåäåëèòü.c Î.Þ. Âîðîáü¼â, Èíñòèòóò âû÷èñëèòåëüíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÑÎ ÐÀÍ, vorob@akadem.ru,http://www.r-events.narod.ru; Å.À.

Ñîðîêèí, Êðàñíîÿðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2006.∗Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé21.Ïðîñòðàíñòâî âàðèàíòîâÐàññìàòðèâàÿ èíäèâèäóóìà, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îí èìååò ñèñòåìó ïðåäïî÷òåíèéíà ïðîñòðàíñòâå âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé (âàðèàíòîâ) P , îïðåäåë¼ííîì íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (C, F)1 . Òî åñòü äëÿ êàæäîé ïàðû âàðèàíòîâ (äëÿ êàæäîé ïàðûðàñïðåäåëåíèé) P1 , P2 ∈ P ìîæåò îïðåäåëåííî óêàçàòü áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûé äëÿíåãî âàðèàíò èëè óòâåðæäàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ýòèõ âàðèàíòîâ.

Òàêèì îáðàçîì, íàP ìîæíî ââåñòè îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ è îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼.Ââåäåì íà P îïåðàöèþ ñìåñè âàðèàíòîâ (ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé):Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âàðèàíòîâ P1 , P2 ∈ P è ÷èñëà α ∈ (0, 1)íàçîâåì âàðèàíò P ∈ P , çàäàâàåìûé ñîîòíîøåíèåìÎïðåäåëåíèå 1.ñìåñüþP1èP2PÎïðåäåëåíèå 2.= αP1 + (1 − α)P2 .Íåñìåøàííûì èëè êðàéíèì âàðèàíòîì áóäåì íàçû-âàòü ïðîèçâîëüíûé âàðèàíò P ∈ P , äëÿ êîòîðîãî íåâîçìîæíî ïðåäñòàâëåíèå ââèäå P = αP1 + (1 − α)P2 , ãäå P1 , P2 ∈ P è P 6= P1 , P 6= P2 , α ∈ (0, 1).Ñèñòåìó àêñèîì ôîí Íåéìàíà Ìîðãåíøòåðíà [1] ìîæíî òðàêòîâàòü êàê òðåáîâàíèå íàëè÷èÿ ó îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ íåêîòîðîé ðåãóëÿðíîñòè, ¾ïðàâèëüíîñòè¿,ëèíåéíîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ.

Âàæíûì ñëåäñòâèåì èç ýòîé ñèñòåìû àêñèîì ÿâëÿåòñÿñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ëþáîì2 ñèìïëåêñå P , ðàçìåðíîñòè n > 1, âñ¼ ìíîæåñòâîâàðèàíòîâ, åãî ñîñòàâëÿþùèõ, ìîæåò áûòü ðàçáèòî íà êëàññû ýêâèâàëåíòíûõäðóã äðóãó âàðèàíòîâ. Êàæäûé èç òàêèõ êëàññîâ ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ãèïåðïëîñêîñòü ðàçìåðíîñòè (n − 2). Ïðè÷¼ì ýòè ãèïåðïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó èóïîðÿäî÷åíû ïî ïðåäïî÷òèòåëüíîñòè âàðèàíòîâ, èõ ñîñòàâëÿþùèõ.Óòâåðæäåíèå 1.2.Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòèÓòâåðæäåíèå 2. Åñëè âûïîëíåíà ñèñòåìà àêñèîì ôîí Íåéìàíà Ìîðãåíøòåðíà [1], òî ìîæíî ââåñòè âåùåñòâåííîçíà÷íóþ ôóíêöèþ U , íàçûâàåìóþ. Ïðè÷¼ì òàêóþ, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âàðèàíòîâ P1 , P2 ∈ P ñîîòíîøåíèå P2 P1 ýêâèâàëåíòíîôóíêöèåéïîëåçíîñòèEU (C1 ) ≥ EU (C2 ),ãäå C1 , C2 ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè P1 , P2 ∈ P , ñîîòâåòñòâåííî.Áîëåå òîãî, ôóíêöèÿ U åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî àôôèííîãîïðåîáðàçîâàíèÿ.Óòâåðæäåíèå 3.

Óòâåðæäåíèå 2 ïîçâîëÿåò â êà÷åñòâå ñðåäñòâà äëÿ ñðàâíåíèÿðàñïðåäåëåíèé ïî ïðåäïî÷òèòåëüíîñòè èñïîëüçîâàòü èõ îæèäàåìóþ ïîëåçíîñòüu(P) = EU (C),ãäå C ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ñ ðàñïðåäåëåíèåìP∈ P.Çäåñü è äàëåå ïîä C áóäåì ïîíèìàòü ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, à F - σ-àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ â R.2 Çäåñü è äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü òå ñèìïëåêñû, íå âñå âàðèàíòû êîòîðûõ ýêâèâàëåíòíûäðóã äðóãó.1Âåñòíèê ÊðàñÃÓ3Òî åñòü êàæäîìó âàðèàíòó ñèìïëåêñà P ôóíêöèÿ îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè ñîîòíîñèò ÷èñëî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè èíäèâèäóóìà.3.Îòîáðàæåíèå ôóíêöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòèíà ãðàôèêåÐàññìîòðèì áåñêîíå÷íîìåðíûé ñèìïëåêñ P∞ ñ êðàéíèìè âàðèàíòàìè Pω ,ãäå ω ∈ [0, 1].Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè èíäèâèäóóì ñ÷èòàåò áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûìè êðàéíèå âàðèàíòû ñ áîëüøèìè ω .

Êðîìå òîãî, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 2, çàôèêñèðóåì îæèäàåìóþ ïîëåçíîñòü íàèõóäøåãî âàðèàíòà ðàâíîé 0, à íàèëó÷øåãî ðàâíîé 1.Òî åñòü:∀ω1 , ω2 ∈ [0, 1] : ω1 ≤ ω2 ⇒ u(Pω1 ) ≤ u(Pω2 ),(1)u(P0 ) = min u(P) = 0,P∈P∞u(P1 ) = max u(P) = 1.P∈P∞Óòâåðæäåíèÿ 1 è 3 ïîçâîëèëè ïðåäëîæèòü ñïîñîá îòîáðàæåíèÿ ôóíêöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè íà ïëîñêîì (äâóìåðíîì) ãðàôèêå, âíå çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðíîñòèðàññìàòðèâàåìîãî ñèìïëåêñà âàðèàíòîâ.Ãðàôèê ôóíêöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè, ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åíèé (1), ïîêàçàííà ðèñ.

1. Ïðè÷¼ì, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 3, ëþáàÿ ñìåñü êðàéíèõ âàðèàíòîâ P0 è P1ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà (îòîáðàæåíà) íà ýòîì ãðàôèêå.Ðèñ. 1. Ãðàôèê ôóíêöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åíèé (1) ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1:∀Pω ∈ P∃α : Pω ∼ αP0 + (1 − α)P1 ,ω ∈ (0, 1),α ∈ (0, 1).Òî åñòü ëþáîé êðàéíèé âàðèàíò Pω ∈ P ìîæåò áûòü îòîáðàæ¼í íà äàííîì ãðàôèêå,â ñîîòâåòñòâèè ñî çíà÷åíèåì α ïðè êîòîðîì íàéä¼òñÿ òàêàÿ ñìåñü âàðèàíòîâ P0 è P1 ,÷òî Pω ∼ αP0 + (1 − α)P1 . Êðîìå òîãî, òàê æå áóäåò îïðåäåëåíà (îòîáðàæåíà) ëþáàÿÒåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé4ñìåñü êðàéíåãî âàðèàíòàPω , P0èP1(ðèñ.

2).Ðèñ. 2. Îòîáðàæåíèå ïðîèçâîëüíîãî âàðèàíòà Pω íà ãðàôèêå ôóíêöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè4.Ïàðàìåòðè÷åñêîå îöåíèâàíèå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè(êâàäðàòè÷íûé êëàññ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè)Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà êâàäðàòè÷íûé êëàññ ôóíêöèé îæèäàåìîé ïîëåçíîñòèèíäèâèäóóìà. Òî åñòü ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:U (ω) = a2 ω 2 + a1 ω + a0 ,ω ∈ [0, 1].(2)Èç óòâåðæäåíèÿ 3 ñëåäóåò, ÷òî∀ω ∈ [0, 1]U (ω) = u(Pω ).Òîãäà, â ñèëó îãðàíè÷åíèé (1), âûðàæåíèå (2) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî:U (ω) = a2 ω 2 + (1 − a2 )ω,ω ∈ [0, 1],a2 ∈ [−1, 1].(3)Ðèñ. 3. Îáëàñòü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé U (ω) ïðè a2 ∈ [−1, 1]Íà ðèñ. 3 îòîáðàæåíà îáëàñòü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé U (ω) ïðè a2 ∈ [−1, 1](ïîêàçàíû ãðàôèêè âñåõ âîçìîæíûõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ a2 ).Âåñòíèê ÊðàñÃÓ5Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèåU (ω) = constèìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ω ∈ (0, 1) (è ïðè a2 ∈ [−1, 1]).

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿòîãî, ÷òîáû òî÷íî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè èíäèâèäóóìà (êîýôôèöèåíò a2 ),íåîáõîäèìî äëÿ ëþáîãî èç êðàéíèõ âàðèàíòîâ Pω (ãäå ω ∈ (0, 1)) íàéòè ýêâèâàëåíòíóþ åìó ñìåñü êðàéíèõ âàðèàíòîâ P0 è P1 . Òî åñòü íàéòè òàêèå ω è α, ÷òîPωïðè ω ∈ (0, 1),∼ αP0 + (1 − α)P1 ,α ∈ (0, 1).Ê ñîæàëåíèþ, íà ïðàêòèêå òî÷íî îïðåäåëèòü òàêèå ω è α êðàéíå ñëîæíî. Íîèíäèâèäóóì ìîæåò óòâåðæäàòü, êàêîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ èì âàðèàíòîâ äëÿ íåãîÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì.

Òî åñòü:ëèáî Pω αP0 + (1 − α)P1 ;∀ω ∈ (0, 1), α ∈ (0, 1)ëèáî Pω αP0 + (1 − α)P1 .Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè Pω αP0 +(1−α)P1 ïðè íåêîòîðîì ω ∈ (0, 1) è α ∈ (0, 1).Òîãäà, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3u(Pω ) ≥ u(αP0 + (1 − α)P1 )⇒U (ω) ≥ 1 − α.Òàê êàê ¾êîíå÷íàÿ öåëü¿ àëãîðèòìà êàê ìîæíî òî÷íåå îïðåäåëèòü ôóíêöèþïîëåçíîñòè èíäèâèäóóìà, íåîáõîäèìî îãðàíè÷èòü âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èõ ðàçáðîñ áûë ìèíèìàëåí, à, ñëåäîâàòåëüíî, îíèáûëè ìàêñèìàëüíî áëèçêè ê èñêîìîé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè èíäèâèäóóìà. Èíà÷å ãîâîðÿ, ÷åì áîëüøå äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ω ∈ (0, 1) ìàêñèìàëüíûé ðàçáðîñçíà÷åíèé U (ω) (â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà a2 ), òåì õóæå óäàëîñü îïðåäåëèòü ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè èíäèâèäóóìà.Äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷íîñòü íàéäåííîé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè (ρ) áóäåì îöåíèâàòüêàê ìàêñèìàëüíûé ðàçáðîñ ìåæäó çíà÷åíèÿìè ôóíêöèé ïîëåçíîñòè:ρ = max(max U (ω) − min U (ω)),ω5.a2a2ãäå ω ∈ (0, 1).(4)Ôîðìèðîâàíèå âîïðîñîâÄëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû ïðåäïî÷òåíèé èíäèâèäóóìà áóäåì ôîðìèðîâàòü âîïðîñû, îáðàù¼ííûå ê íåìó, òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûáîð èíäèâèäóóìîì îäíîãî èç äâóõâîçìîæíûõ âàðèàíòîâ îòâåòà ïîçâîëèë áîëåå òî÷íî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ ïîëåçíîñòèýòîãî èíäèâèäóóìà.Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, äëÿ òîãî, ÷òîáû áîëåå òî÷íî (â ñìûñëå (4)) îïðåäåëèòüôóíêöèþ ïîëåçíîñòè, èíäèâèäóóìó ñëåäóåò ñðàâíèòü íåêîòîðûé êðàéíèé âàðèàíòPω ñî ñìåñüþ αP0 + (1 − α)P1 (ω ∈ (0, 1) è α ∈ (0, 1)).

Ïî ñóòè, ôîðìèðîâàíèåâîïðîñà, îáðàù¼ííîãî ê èíäèâèäóóìó, åñòü âûáîð íåêîòîðûõ ω è α. ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ äâà ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ ω è α. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü ðàçíèöó ìåæäó ýòèìè ñïîñîáàìè, ñîêðàòèì ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ôóíêöèéïîëåçíîñòè (3) òàê, êàê áóäòî èíäèâèäóóì óæå äàë îòâåò íà îäèí âîïðîñ (ðèñ. 4), òîåñòü:U (ω) = a2 ω 2 + (1 − a2 )ω,ω ∈ [0, 1], a2 ∈ [−1, 0].(5)Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé65.1.ÂûáîðωÏåðâûé ïîäõîä çàêëþ÷àåòñÿ â âûáîðå íàèáîëåå óäîáíîãî äëÿ ñðàâíåíèÿ ω , òîåñòü òàêîãî ω , äëÿ êîòîðîãî ðàçáðîñ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè (âçàâèñèìîñòè îò ïðàìåòðà a2 ) ìàêñèìàëåí:ω :max U (ω) − min U (ω) → max .(6)a2a2 äàííîì ïðèìåðå (â óñëîâèÿõ (5)) ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè ω = 0, 5 (ðèñ.

4).Ðèñ. 4. Âûáîð ω. Îáëàñòü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé U (ω) ïðè a2 ∈ [−1, 0]Äàëåå íåîáõîäèìî âûáðàòü α ∈ (0, 1).Ïî ïðåäïî÷òèòåëüíîñòè âàðèàíò P0,5 íàõîäèòñÿ ìåæäó èçâåñòíîé ñìåñüþ êðàéíèõâàðèàíòîâ P0 è P1 (ðèñ. 5).1/2 P0 + 1 /2 P1 P0,5 1 /4 P0 + 3 /4 P1 .Ðèñ. 5. Âûáîð α. Ôóíêöèÿ îæèäàåìîé ïîëåçíîñòèÑôîðìóëèðóåì âîïðîñ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñîêðàòèòü èíòåðâàë âîçìîæíûõ çíà÷åíèé u(P0,5 ) âäâîå.

Òî åñòü ïðåäëîæèì èíäèâèäóóìó ñðàâíèòü ñëåäóþùèå âàðèàíòû:P0,5è3/8 P0 + 5 /8 P1 .Òàêèì îáðàçîì, ω è α äëÿ âîïðîñà, îáðàù¼ííîãî ê èíäèâèäóóìó, îïðåäåëåíû.(7)Âåñòíèê ÊðàñÃÓ5.2.Âûáîð7αÂòîðîé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â âûáîðå íàèáîëåå óäîáíîãî äëÿ ñðàâíåíèÿ α.