Ветров.Тимохин-метода к выполнению ДЗ(ФН1) (Ветров и Тимохин. Указания к выполнению ДЗ(ФН1))

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЛ.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. ТимонинМетодические указания к выполнению типового расчета по теориивероятностейМоскваИздательствоМГТУ им. Н.Э. Баумана20111ОглавлениеВведение ………………………………………………………………………31. Примеры решения задач …………………………………………………..42. Задачи типового расчета…………………………………………………..193. Варианты типового расчета ………………………………………………. 23Литература ……………………………………………………………………. 29ВведениеМетодические указания предназначены для студентов второго– третьего курсовфакультетов МТ, ИБМ, РК. Они предназначены для приобретения студентами навыковсамостоятельного решения различных задач по теории вероятностей, подготовки их кизучениюспецдисциплин,базирующихсянаметодахтеориивероятностей(математической статистики, теории надежности, управления рисками и др.).

Вметодических указаниях подробно рассмотрены примеры решения задач из различныхразделов теории вероятностей – вычислению вероятностей в классической схеме,геометрических вероятностей, условных вероятностей с применением формул Байеса иполной вероятности. Кроме того, большое внимание уделено анализу распределенийслучайныхвеличин–дискретных,непрерывных,скалярныхивекторных.Проанализированы методы определения распределений функций от случайных величин(как скалярных, так и векторных).2Для овладения материалом студентам необходимо знание стандартных курсовматематического анализа – дифференциального и интегрального исчислений одной инескольких переменных, читаемых в МГТУ им.

Н.Э. Баумана.Ввиду ограниченности объема издания, в методических указаниях отсутствуюттеоретические сведения по рассматриваемой дисциплине. Их можно найти в литературе,рекомендованной учебными планами МГТУ им. Н.Э. Баумана (см., например, [1,2]).1. Примеры решения задач.Пример 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. Найти вероятностьтого, что сумма выпавших очков: 1) равна 8; 2) меньше 6; 3) больше 7; 4) заключена впромежутке [4; 8].Решение. В качестве пространства элементарных исходов данного экспериментабудем использовать множество упорядоченных пар: Ω= {ω= (i, j ), =i 1,..., 6, =j 1,..., 6}(здесь i и j - число очков, выпавших соответственно на первой и второй кости).

Такимобразом, общее число элементарных исходов N = 36 . В рамках классической схемывероятность любого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов кобщему числу исходов. На следующем рисунке отмечены элементарные исходы,благоприятные для каждого из интересующих нас событий.Рис. 1. Диаграммы благоприятствующих элементарных исходовТаким образом p1 = 5 / 36 , =p2 10=/ 36 5 /18 ,=p3 15=/ 36 5 /12 ,p4 = 23 / 36 .Пример 2. На интервале времени [0, T] = [0,120] в случайный момент t1 включаетсярадиолокационная станция (РЛС), которая сканирует местность в течениеτ 1 = 15 . В3другой случайный момент t2 появляется цель, которая находится в зоне видимости РЛС втечение времени τ 2 = 10 .

Найти вероятность того, что РЛС запеленгует цель.Решение. В качестве элементарных исходов эксперимента будем рассматривать точкиквадрата со стороной T : Ω={ω=(t1 , t2 ), 0 ≤ t1 ≤ T, 0 ≤ t2 ≤ T} , где t1 - момент включенияРЛС, а t2 - момент входа цели в зону видимости РЛС. В рамках геометрической схемы,вероятность любого события Α вычисляется как отношениемеры множества благоприятных исходов к мере всегопространства элементарных исходов=Ρ ( Α)mes ( Α ) S ( Α ).=mes ( Ω ) S ( Ω )Рис. 2. Геометрическое изображение события AОпишем множество благоприятных исходовΑ={t1 ≤ t2 ≤ t1 + τ 1} ∪ {t2 ≤ t1 ≤ t2 + τ 2 }( если цель появилась после включения РЛС, то она должна появиться до отключенияРЛС, аналогично, если РЛС включилась после появления цели, то она должна включитьсядо выхода цели из зоны видимости РЛС).Τ2 − ( Τ − τ 1 ) / 2 − ( Τ − τ 2 ) / 2. Подставив численные значения,Ρ ( Α) =Τ22Следовательно2получаем Ρ ( Α ) ≈ 0,197 .

На рисунке 2 показано событие A в виде подмножествапространства элементарных исходов.Пример 3. На рисунке 3 изображена физическая схема соединения системы,состоящей из 5 фильтров. Отказом фильтра является прорыв сетки (фильтр перестаетфильтровать жидкость). Событие Аi - отказ i -го фильтравремени. Вероятности безотказной работы фильтровза некоторый промежутокзаданы:=P( Ai ) 0,95,=i 1,3;P==j 2, 4; P=( Aj ) 0,9,( A5 ) 0,85.Рис. 3. Физическая схема системы4Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемыйпромежуток времени (события Аi независимы в совокупности).

Требуется:1) изобразитьструктурную схему надежности системы; 2) выразить событие А через события Ai или Аi( i =1,2,3,4,5);2) найти вероятность P( А) безотказной работы системы.Решение. Система будет функционировать, если не откажут первый и четвертыйфильтры или же второй и хотя бы один из двух оставшихся. Следовательно, структурнаясхема надежности данной системы фильтров имеет вид, изображенный на рисунке 4.Данная схема может быть представленакак параллельное соединение блоков В 1 и В 2.Рис. 4. Структурная схема надежности системы..Блок В 1 имеет вид, а блок В 2 , в свою очередь, может бытьпредставлен в видегде блок В 3 имеет следующую структурную схемуПусть события Bi - безотказная работа i − го блока.

Тогда при параллельномсоединении=А B=A B1  B2 .1  B2 ,соединения=B1 A=B1 A1  A4 .1  A4 ,ДалееДляпоследовательного=B2 A=B2 A2  B32  B3 ,и=B3 A=B3 A3  A5 . Окончательно получаем3  A5 ,АA1  A4 )  ( A2  ( A3  A5 ) ) ,A(=( A  A )  ( A  ( A  A )).14235Для подсчета вероятности безотказной работы системы воспользуемся формулойсложения вероятностей и формулой умножения вероятностей для независимых событий.Ρ ( B3 ) =Ρ ( A3  A5 ) =Ρ ( A3 ) + Ρ ( A5 ) − Ρ ( A3  A5 ) =Ρ ( A3 ) + Ρ ( A5 ) − Ρ ( A3 ) Ρ ( A3 ) =0,9925;Ρ ( B2 ) =Ρ ( A2  B3 ) =Ρ ( A2 ) Ρ ( B3 ) =0,89325;Ρ ( B1 ) =Ρ ( A1  A3 ) =Ρ ( A1 ) Ρ ( A3 ) =0,9025;Ρ ( A) = Ρ ( B1  B2 ) = Ρ ( B1 ) + Ρ ( B2 ) − Ρ ( B1  B2 ) = Ρ ( B1 ) + Ρ ( B2 ) − Ρ ( B1 ) Ρ ( B2 ) ≈ 0,989.5Пример 4.

Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, последовательнонаугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаровокажется ровно 2 белых шара при условии, что выборка производится: 1) с возвращением(извлеченный шар возвращается обратно в урну); 2) без возвращения (извлеченный шар вурну не возвращается).Решение. Введем следующие события: событие Ai ,i = 1, 2,...,5 состоит в том,что i − й в порядке извлечения шар оказался белого цвета. Тогда интересующее нассобытие может быть выражено через события Ai следующим образомA = A1 A2 A3 A4 A5  A1 A2 A3 A4 A5  A1 A2 A3 A4 A5  ...

 A1 A2 A3 A4 A5  A1 A2 A3 A4 A5 .Заметим, что все слагаемые попарно несовместны. Следовательно, вероятность суммыэтих событий равна сумме их вероятностей) ((()) ()Ρ ( A) = Ρ A1 A2 A3 A4 A5 + Ρ A1 A2 A3 A4 A5 ... + Ρ A1 A2 A3 A4 A5 + Ρ A1 A2 A3 A4 A5 .Подсчет вероятностей для произведений событий зависит от способа извлечения шаров.Если выборка осуществляется с возвращением, то события Ai также как и Ai будутнезависимыми между собой (вероятность извлечь белый шар не зависит от того, какогоцвета шары извлекались до этого, а зависит только от количества белых и черных шаров вурне).Для независимых событий вероятность произведения равна произведениювероятностей сомножителей.

В этом случае=Ρ ( A)4 4 6 6 6 4 6 4 6 66 6 6 4 4++ ... +.10 10 10 10 10 10 10 10 10 1010 10 10 10 10Все слагаемые одинаковые, а их число (число вариантов выбрать 2 места из 5) равно2 3465!0,3456.) 10 ==C= 10 . Таким образом Ρ ( A=1052! 3!25В случае извлечения выборки без возвращения события Ai являются зависимыми(вероятность извлечь белый шарзависит от того, какого цвета и сколько шаровизвлекалось до этого). Поэтому, при подсчете вероятности слагаемых,будемиспользовать формулу умножения вероятностей для зависимых событий:Ρ ( B1B2 ...Bn ) =Ρ ( B1 ) Ρ ( B2 B1 ) Ρ ( B3 B1B2 ) ...Ρ ( Bn B1B2 ...Bn −1 ) .Получаем=Ρ ( A)4 3654 4 63546 5443++ ... +.10 9 8 7 6 10 9 8 7 610 9 8 7 66Так же, как и в первом случае,Ρ ( A) =10всеслагаемые равны между собой, поэтому4 3 6 5 4 10= ≈ 0, 476.10 9 8 7 6 21Пример 5.

Из 10 стрелков пятьпопадают в цель с вероятностью 0,4,три- свероятностью 0,6 и два оставшихся – с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, чтослучайно выбранный стрелок попадет в цель. Известно, что случайно выбранный стрелокпопал в цель. Найти вероятность того, что он принадлежит группе стрелков, поражающихцель с вероятностью 0,4.Решение. Пусть событие A состоит в том, что случайно выбранный стрелок поразилцель.

Введем следующие события: H1 - что случайно выбранный стрелок поражает цель свероятностью 0,4;H 2 - с вероятностью 0,6;H 3 - с вероятность 0,8.СобытияH i , i = 1, 2,3 попарно несовместны ( H j  H j =∅, ∀ i ≠ j ) и образуют полную группусобытий ∑ H i = Ω  , то есть являются гипотезами. Поэтому для нахождения iвероятности события A можно воспользоваться формулой полной вероятностиΡ( A) = ∑ Ρ ( A H i ) Ρ ( H i ) .i532Априорные вероятности гипотез: Ρ ( H1 ) = =0,5; Ρ ( H 2 ) = =0,3; Ρ ( H1 ) = =0, 2.101010Ρ ( A H1 ) =0, 4; Ρ ( A H 2 ) =0,6; Ρ ( A H 3 ) =0,8.Условные вероятности:Таким образомΡ ( A) = 0, 4 ⋅ 0,5 + 0,6 ⋅ 0,3 + 0,8 ⋅ 0, 2 = 0,54.Для подсчета апостериорной вероятности гипотезы H1 воспользуемся формулами БайесаΡ=( H i A)Ρ ( A Hi ) Ρ ( Hi )=Ρ ( A)Ρ ( A Hi ) Ρ ( Hi )∑Ρ( A H ) Ρ(H )j.jjВ нашем случаеΡ ( H1 A) =0, 4 ⋅ 0,5≈ 0,37.0,54Пример 6.