Список задач (2014-Решение задач)

ÇÀÄÀ×È Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ 23-é êóðñ, 6-é ñåìåñòð.Çàäà÷à 1.Íàéòè ïîïðàâêó ïåðâîãî ïîðÿäêà ê ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå2 2U (r) = −(e2 /r)e−r /b ïðè óñëîâèè b À aB , ðàññìàòðèâàÿ îòêëîíåíèÿ îò êóëîíîâñêîãîïîëÿ êàê âîçìóùåíèå.Çàäà÷à 2.Ãàìèëüòîíèàí ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, ïîìåù¼ííîãî â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîåïîëå, èìååò âèä Ĥ = p̂2 /2m + mω 2 x2 /2 − exE . Ðàññìàòðèâàÿ âçàèìîäåéñòâèå ñ ïîëåìêàê âîçìóùåíèå, îïðåäåëèòü ïîëÿðèçóåìîñòü îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà.Çàäà÷à 3.Íàéòè ðàñùåïëåíèå ïåðâîãî âîçáóæä¼ííîãî óðîâíÿ ýíåðãèè äâóìåðíîãî îñöèëëÿòîðà, Ĥ0 = (pˆ1 2 + pˆ2 2 )/2m + mω 2 (x21 + x22 )/2, ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ V̂ = ax1 x2 .Óêàçàòü ïðàâèëüíûå âîëíîâûå ôóíêöèè íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ.Çàäà÷à 4.Íàéòè ðàñùåïëåíèå âòîðîãî âîçáóæä¼ííîãî óðîâíÿ ýíåðãèè äâóìåðíîãî îñöèëëÿòîðà, Ĥ0 = (pˆ1 2 + pˆ2 2 )/2m + mω 2 (x21 + x22 )/2, ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ V̂ = ax1 x2 .Çàäà÷à 5.Óêàçàòü ïðè êàêèõ l, m, ms è l0 , m0 , m0s ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ ìàòðè÷íûåýëåìåíòû x-êîìïîíåíòû äèïîëüíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà hl0 , m0 , m0s |x|l, m, ms i.Çàäà÷à 6.Óêàçàòü ïðè êàêèõ l, m, ms è l0 , m0 , m0s ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ ìàòðè÷íûåýëåìåíòû z-êîìïîíåíòû äèïîëüíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà hl0 , m0 , m0s |z|l, m, ms i.Çàäà÷à 7.Ïîêàçàòü, ÷òî â ðàçëîæåíèÿõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ÷àñòèöû ~r Ylm (θ, ϕ) ïî ñîáñòâåííûìôóíêöèÿì îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ïðèñóòñòâóþò âêëàäû òîëüêî ñ ìîìåíòàìè l + 1 èl − 1.1Çàäà÷à 8.Âûáèðàÿ îñü z â êà÷åñòâå îñè êâàíòîâàíèÿ, îïðåäåëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèèñïèíà ýëåêòðîíà s̄z â ñîñòîÿíèÿõ p1/2 .Çàäà÷à 9.Âûáèðàÿ îñü z â êà÷åñòâå îñè êâàíòîâàíèÿ, îïðåäåëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèèñïèíà ýëåêòðîíà s̄z , â ñîñòîÿíèÿõ p3/2 .Çàäà÷à 10.Ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â ïîñòîÿííîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðàâëåííîì ïîîñè y.

Ïðè t = 0 îí ñ äîñòîâåðíîñòüþ èìååò ïðîåêöèþ ñïèíà 1/2 íà îñü z. Íàéòèñïèíîâóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ýëåêòðîíà χ(σ; t) ïðè t > 0.Çàäà÷à 11.Ïîñòðîèòü ãåéçåíáåðãîâñêèå îïåðàòîðû ïðîåêöèé ñïèíà ŝx (t), ŝy (t), ŝz (t) ýëåêòðîíà,íàõîäÿùåãîñÿ â ïîñòîÿííîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðàâëåííîì ïî îñè z.Çàäà÷à 12.Çíàÿ ïîëÿðèçóåìîñòü àòîìà âîäîðîäà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè α = 9a3Á /2, îöåíèòüïîëÿðèçóåìîñòü îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà ãåëèÿ, ïðåíåáðåãàÿ âçàèìîäåéñòâèåììåæäó ýëåêòðîíàìè.Çàäà÷à 13.Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà îäíîêðàòíîé èîíèçàöèè àòîìà ãåëèÿ≈ 24.6 ýÂ.

Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ íåéòðàëüíîãî àòîìà ãåëèÿ.Çàäà÷à 14.Pˆ×åìó ðàâåí ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà äèïîëüíîãî ìîìåíòà d~ = e i ~ri ìåæäóâîëíîâûìè ôóíêöèÿìè ðàçëè÷íûõ òåðìîâ àòîìà, îòâå÷àþùèõ îäíîé ýëåêòðîííîéêîíôèãóðàöèè.Çàäà÷à 15.Ïîêàçàòü, ÷òî ïîëíûé îðáèòàëüíûé ìîìåíò è ïîëíûé ñïèí çàìêíóòûõ ýëåêòðîííûõîáîëî÷åê ðàâíû íóëþ. ×åìó ðàâåí ïîëíûé îðáèòàëüíûé ìîìåíò îñíîâíîãî òåðìààòîìà, èìåþùåãî îäíó íàïîëîâèíó çàïîëíåííóþ îáîëî÷êó?2Çàäà÷à 16.Îïðåäåëèòü êâàíòîâûå ÷èñëàðàöèé (np)4 è (nd)4 .2S+1LJ îñíîâíûõ òåðìîâ äëÿ ýëåêòðîííûõ êîíôèãó-Çàäà÷à 17.Íàéòè êâàíòîâûå ÷èñëàíûõ p-ýëåêòðîíîâ.2S+1LJ âñåõ âîçìîæíûõ òåðìîâ ñèñòåìû äâóõ ýêâèâàëåíò-Çàäà÷à 18.×åìó ðàâåí ïîëíûé ìîìåíò J îñíîâíîãî òåðìà àòîìà, èìåþùåãî íåçàïîëíåííóþîáîëî÷êó ñ ýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèåé (nl)2l+1 .Çàäà÷à 19.Îïðåäåëèòü êâàíòîâûå ÷èñëà 2S+1 LJ îñíîâíîãî òåðìà àòîìà, èìåþùåãî íåçàïîëíåííóþ îáîëî÷êó ñ ýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèåé (nl)2l .Çàäà÷à 20.Îïðåäåëèòü êâàíòîâûå ÷èñëà 2S+1 LJ îñíîâíîãî òåðìà àòîìà, èìåþùåãî íåçàïîëíåííóþ îáîëî÷êó ñ ýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèåé (nl)2l+2 .Çàäà÷à 21.Îïðåäåëèòü ñðåäíèé ìàãíèòíûé ìîìåíò àòîìà áîðà 5 B, íàõîäÿùåãîñÿ â îñíîâíîìñîñòîÿíèè â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå.Çàäà÷à 22.Îïðåäåëèòü ñðåäíèé ìàãíèòíûé ìîìåíò àòîìà ôòîðà 9 F, íàõîäÿùåãîñÿ â îñíîâíîìñîñòîÿíèè â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå.Çàäà÷à 23.Ýëåêòðîííûé àòîìíûé òåðì ñ J = 5/2 èìååò ñâåðõòîíêóþ ñòðóêòóðó, ñîñòîÿùóþ èç÷åòûð¼õ êîìïîíåíò.

Êàêîâî çíà÷åíèå ñïèíà ÿäðà?Çàäà÷à 24.Íàéòè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó èíòåðâàëàìè ñâåðõòîíêîé ñòðóêòóðû àòîìíîãî òåðìà ñJ = 5/2, åñëè ñïèí ÿäðà i = 3/2. Ñâåðõòîíêîå âçàèìîäåéñòâèå îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòíèàíîì a(J~~i ). Êàêîâ ïîðÿäîê âåëè÷èíû a?3Çàäà÷à 25.Ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå íóêëîíà (ïðîòîíà èëè íåéòðîíà) â ÿäðå èìååòˆâèä a(~l ~ˆs ). Îíî ïðèâîäèò ê ðàñùåïëåíèþ óðîâíÿ íóêëîíà ñ îðáèòàëüíûì ìîìåí-òîì l íà äâà óðîâíÿ ñ ìîìåíòàìè j = l ± 1/2. Îïðåäåëèòü âåëè÷èíó ïàðàìåòðà a,åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè l = 2 óðîâåíü ñ j = 5/2 ëåæèò íà 5 Ìý íèæå óðîâíÿ ñ j = 3/2.Çàäà÷à 26. ìîäåëè Òîìàñà-Ôåðìè íàéòè çàâèñèìîñòü îò çàðÿäà ÿäðà Z ïîëíîé ýíåðãèèñâÿçè íåéòðàëüíîãî àòîìà Eàò = Te + Ueÿ + Uee , ãäå óêàçàííûå ñëàãàåìûå îòâå÷àþòñîîòâåòñòâåííî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âñåõ ýëåêòðîíîâ, èõ ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿñ ÿäðîì è ìåæäó ñîáîé.Çàäà÷à 27.Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó èíòåðâàëàìèq êîëåáàòåëüíûõ è ýëåêòðîííûõ óðîâíåéýíåðãèè äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû Eêîë /Eýë ≈ me /Mß , îöåíèòü îòíîøåíèå àìïëèòóäûíóëåâûõ êîëåáàíèé ÿäåð ê (ðàâíîâåñíîìó) ðàññòîÿíèþ ìåæäó ÿäðàìè.Çàäà÷à 28.Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó èíòåðâàëàìèqêîëåáàòåëüíûõ è ýëåêòðîííûõ óðîâíåéýíåðãèè äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû Eêîë /Eýë ≈ me /Mß , îöåíèòü îòíîøåíèå õàðàêòåðíûõ ñêîðîñòåé äâèæåíèé ÿäåð è ýëåêòðîíîâ vêîë /výë .Çàäà÷à 29.Íà çàðÿæåííûé ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð, íàõîäÿùèéñÿ ïðè t → −∞ â n-ì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè, íàêëàäûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E(t) = E0 /(1 + t2 /τ 2 ),íàïðàâëåííîå âäîëü îñè êîëåáàíèé.

Íàéòè â ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèéâåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ îñöèëëÿòîðà â äðóãèå åãî ñîñòîÿíèÿ ïðè t → +∞.4.