1612725170-9c968fc10e8fee5a326602fe967c8a7f (Могульский - Конспект лекций)
Описание файла
PDF-файл из архива "Могульский - Конспект лекций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математическая статистика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
(ª®á¯¥ªâ «¥ªæ¨©)2014-2015 ãç¥¡ë© £®¤, 6-ë© á¥¬¥áâà(32 ç. «¥ªæ¨©, 32 ç. ᥬ¨ àáª¨å § ï⨩)§0. ¢¥¤¥¨¥. 1. . Ǒ Ǒ . §1. Ǒਬ¥àë ®á®¢ëå ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ᥬ¥©áâ¢.1. ®à¬ «ì®¥ à ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯àאַ© (a, σ2 ).Z xt−a1φa,σ (t)dt, φa,σ (t) = √ e− σ .a,σ (x) =−∞σ 2π(x) = 0,1 (x), φ(t) = φ0,1 (t).2. ®£®¬¥à®¥ ®à¬ «ì®¥ à ¯à¥¤¥«¥¨¥.3. ¬¬ -à á¯à¥¤¥«¥¨¥.(2α,β2(x), γα,β (t) =2αβ β−1 −αtt e ,(β )t ≥ 0,)22 2(n) = (n − 1)!.4.
á¯à¥¤¥«¥¨¥ "å¨-ª¢ ¤à â" (¨«¨ χ2 ) á k á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ë.Hk (x) = P(η < x),hk (t) = γ1/2,k/2(t), η = ξ12 + ... + ξk2.5. ªá¯®¥æ¨ «ì®¥ (¯®ª § ⥫쮥) à á¯à¥¤¥«¥¨¥Eα (x) =α,1(x), eα (t) = γα,1 (t).6. á¯à¥¤¥«¥¨¥ âìâ á k á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ë.Tk (x) = P(η < x),tk (u) =,η=ξ0q1 (ξ 2 + ... + ξ 2 )kk 1.7.
¨è¥à á (m, k) á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ëFm,k (x) = P(η < x),fm,k (t) =,1η=2ζ12 + ... + ζm.ξ12 + ... + ξk28. ¢®¬¥à®¥Ua,b (x) =,ua,b (t).9. ¥ââ -à á¯à¥¤¥«¥¨¥Ba,b (x) =,βa,b (t).Ca,σ2 (x) =,ca,σ2 (t).10. ®è¨11. ¥àã««¨Bp .12. ¨®¬¨ «ì®¥Bp,n .13. ¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥Gp .14. Ǒã áá® λ .§2. 롮ઠ. ¬¯¨à¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥®à¥¬ «¨¢¥ª®- ⥫«¨.Xn = (X1 , ..., Xn ) ¢ë¡®àª ®¡ê¥¬ n ¨§ £¥¥à «ì®© ᮢ®ªã¯®á⨠á à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ P (á äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï F ).Pn∗ (B ) =n1Xn k=1IXk (B )|í¬¯¨à¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥.Fn∗ (x) = Pn∗((−∞, x))|í¬¯¨à¨ç¥áª ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï.(X(1) , ..., X(n) ) = (X(n:1) , ..., X(n:n) )2|¢ à¨ æ¨®ë© àï¤.kn(F ∗(x) = ) = Cnk F k (x)(1 − F (x))n−k .Pkn(F ∗ (x) = ) = P(X(k) < x, X(k+1) ≥ x), X(n+1) = X(n:n+1) = ∞.P(X(k) < x) =PnXi=k(X(i) < x, X(i+1) ≥ x) =PnXi=kCni F i (x)(1−F (x))n−i .(X(n) < x) = F (x).k−1 k−1fX k (t) = nCn−(t)(1 − F (t))n−k fX (t).1FnP( )¥¬¬ 1.
«ï «î¡®£® ¨§¬¥à¨¬®£® ¬®¥á⢠(0, 1), ¯à¨ n → ∞√Pn∗ (B ) → P (B )n(Pn∗(B ) − P (B ))P (B )(1 − P (B ))qB,(B ) ∈P¯..⇒ η ,£¤¥ η | áâ ¤ àâ ï ®à¬ «ì ï á«ãç © ï ¢¥«¨ç¨ .¥¬¬ 2. «ï «î¡®£®Fn∗ (x) → F (x),¥®à¥¬ 1.x ∈ R ¯à¨ n → ∞Fn∗ (x + 0) → F (x + 0)¯...(«¨¢¥ª®- ⥫«¨) Ǒਠn → ∞kFn∗ − F k :=sup |Fn∗ (x) − F (x)| → 0.−∞<x<∞®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ε = N1 ¤«ï âãà «ì®£® N .
롥६r0 = −∞ < r1 < r2 < ... < rk = ∞, £¤ª k ≤ N , â ª¨¬ ®¡à §®¬,çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ (ri , ri+1 ℄ ¢ë¯®«ï¥âáïF (ri +0)+ε ≥ F (x) ≥ F (ri+1 )−ε, −Fn∗ (ri +0) ≥ −Fn∗ (x) ≥ −Fn∗ (ri+1 ).®£¤ ¤«ï í⮣® ¥ xF (x) −Fn∗ (x) ≤ F (ri +0)+ ε−Fn∗ (ri +0) ≤ |F (ri +0) −Fn∗ (ri +0)| + ε,F (x) − Fn∗ (x) ≥ F (ri+1 ) − ε − Fn∗ (ri+1 ) ≥ −|F (ri+1 ) − Fn∗ (ri+1 )| − ε,3â ª çâ®|Fn∗ (x) − F (x)| ≤ |Fn∗ (ri+1 ) − F (ri+1 )| + |Fn∗ (ri + 0) − F (ri + 0)| + ε.Ǒ®í⮬㠢¥à®max 1 |Fn∗(ri )−F (ri )|+1≤i≤k−max 1 |Fn∗(ri +0)−F (ri +0)|+ε.sup |Fn∗ (x)−F (x)| ≤ 1≤i≤k−−∞<x<∞áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© 2.§3.
ë¡®à®çë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨. ¢ ⨯ áâ â¨á⨪.n1Xg (X ) =g (Xi ).n i=1Xk=n1Xn i=1Xik|¢ë¡®à®çë© ç «ìë© ¬®¬¥â,n1X1X =X =Xin i=1|¢ë¡®à®ç®¥ á।¥¥,k(X − X ) =n1Xn i=1(Xi − X )k|¢ë¡®à®çë© æ¥âà «ìë© ¬®¬¥â,n21X(Xi − X )2 = X 2 − (X )2s 2 = (X − X ) =n i=1|¢ë¡®à®ç ï ¤¨á¯¥àá¨ï,s20=n 2s ,n−12Es 0= DX1 ,|¥á¬¥é¥ ï ¢ë¡®à®ç ï ¤¨á¯¥àá¨ï.Ǒãáâì áâ â¨á⨪ S (X ) ®¯à¥¤¥«¥ á®®â®è¥¨¥¬S (X ) = G(Fn∗ ),£¤¥ G(F )|äãªæ¨® «, ®â®¡à î騩 ä.à. ¢ R.4â â¨á⨪ ⨯ I:ZG(F ) = h( g (t)dF (t)) h(t)äãªæ¨ï, ¥¯à¥àë¢ ï ¢ â®çª¥ a0 = Eg (X1), X1 ∈ F0 . ¬¥â¨¬, çâ®S (X ) = G(Fn∗ ) = h(n1Xn k=1g (Xk )).â â¨á⨪ ⨯ II: G(F ) ¥¯à¥àë¢ ¢ "â®çª¥" F = F0 ¢à ¢®¬¥à®© ¬¥âਪ¥.∗¥®à¥¬ .
Ǒãáâì S (X ) = G(Fn )| áâ â¨á⨪ I ¨«¨ II ⨯ . ᫨X1 ∈ F0 , â® ¯à¨ n → ∞S (X ) = G(Fn∗ ) → G(F0 )§¯..4. ¥®à¥¬ë ¥¯à¥à뢮áâ¨h = h(t)|¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï. ®£¤ :ηn → η á ¢¥à®ïâ®áâìî 1, ⮥®à¥¬ 1. Ǒãáâìa) ¥á«¨h(ηn ) → h(η )á ¢¥à®ïâ®áâìî 1;b) ¥á«¨ ηn → η ¯® ¢¥à®ïâ®áâ¨, â®h(ηn ) → h(η )¯® ¢¥à®ïâ®áâ¨;á) ¥á«¨ ηn → η á« ¡®, â®h(ηn ) → h(η )á« ¡®.®ª § ⥫ìá⢮. 室¨¬®áâì ¯..
®ç¥¢¨¤ . «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠á室¨¬®á⨠¯® ¢¥à®ïâ®á⨠¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¢ë¡¥à¥¬ª®¬¯ ªâ K ∈ R1 â ª®©, çâ® P(η ∈ K ) ≥ 1 −ε. í⮬ ª®¬¯ ªâ¥äãªæ¨ï h à ¢®¬¥à® ¥¯à¥àë , ¯®í⮬㠤«ï «î¡®£® δ > 0 ©¤¥âáï α > 0 â ª®¥, çâ®{|ηn − η| ≤ α} ∩ {η ∈ K} ⊆ {|h(ηn ) − h(η )| ≤ δ}.5Ǒ®í⮬ã, ¢ ᨫã(A ∩ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∪ B ) ≥ P(A) + P(B ) − 1P¨¬¥¥¬(|h(ηn ) − h(η )| ≤ δ ) ≥ P({|ηn − η| ≤ α} ∩ {η ∈ K}) ≥P(|ηn − η| ≤ α) + P(η ∈ K ) − 1 ≥1 − ε + P(|ηn − η| ≤ α) − 1 = P(|ηn − η| ≤ α) − ε.室¨¬®áâì ¯® ¢¥à®ïâ®á⨠¤®ª § .«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᫠¡®© á室¨¬®á⨠¤®áâ â®ç® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï «î¡®© ¥¯à¥à뢮© ®£à ¨ç¥®© äãªæ¨¨ f (t) á¯à ¢¥¤«¨¢®lim Ef (h(ηn)) = Ef (h(η )).n→∞P® äãªæ¨ï g (t) = f (h(t)) ⮥ ¥¯à¥àë¢ ¨ ®£à ¨ç¥ , ¯®í⮬㠨§ á« ¡®© á室¨¬®á⨠᫥¤ã¥âlim Eg (ηn) = Eg (η ) = Ef (h(η )).lim Ef (h(ηn)) = n→∞n→∞¥®à¥¬ ¤®ª § .h = h(t)|¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï ¢ â®çª¥ a. ®£¤ ¤«ï bn → 0a) ¥á«¨ ηn → η á ¢¥à®ïâ®áâìî 1, ⮥®à¥¬ 2.
Ǒãáâìh(a + bn ηn ) − h(a)→ ηh′ (a)bná ¢¥à®ïâ®áâìî 1;b) ¥á«¨ ηn → η ¯® ¢¥à®ïâ®áâ¨, â®h(a + bn ηn ) − h(a)→ ηh′ (a)bn¯® ¢¥à®ïâ®áâ¨;á) ¥á«¨ ηn → η á« ¡®, â®h(a + bn ηn ) − h(a)→ ηh′ (a)bná« ¡®.6®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì äãªæ¨ï H (x) = h(a+xx)−h(a) , ¥á«¨x=6 0, H (0) = h′ (a). â® ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, ¨ ¢ ᨫã ⮣®,çâ® ¯à¨ bn → 0 ¢ë¯®«ï¥âáï ηn bn → 0 (¢ 㮬 ¬ á¬ëá«¥)á«¥¤ã¥â ¢ ᨫã ⥮६ë 1, çâ®H (ηn bn ) → h′ (a)¢ 㮬 ¬ á¬ëá«¥. Ǒ®í⮬㠨¬¥¥¬ á室¨¬®áâì (¢ 㮬 ¬ á¬ëá«¥)h(a + bn ηn ) − h(a)bn= ηn H (ηn bn ) → ηh′ (a).«¥¤á⢨¥. ǑãáâìS (X ) = h(n1Xn i=1g (Xi ))|áâ â¨á⨪ I ⨯ , £¤¥ äãªæ¨ï h(t) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢â®çª¥ a = Eg (X1 ), h′ (a) 6= 0, Eg 2 (X1 ) < ∞ .
®£¤ √n(S (X ) − h(a))á« ¡® á室¨âáï ª ®à¬ «ì®© á.¢. á ¯ à ¬¥âà ¬¨(0, (h′ (a))2 Dg (X1)).®ª § ⥫ìá⢮. «ïηn¨¬¥¥¬1=√nX1(g (Xk ) − a), bn = √ ,n k=11S (X ) = h(a + bn [ √nnXn i=1(g (Xi) − a)℄) = h(a + bn ηn ).Ǒ®áª®«ìªã ηn á« ¡® á室¨âáï ª ®à¬ «ì®¬ã § ª®ã á ¯ à ¬¥âà ¬¨ (0, Dg (X1)), â® ¯® ¢â®à®© ⥮६¥ ¥¯à¥à뢮áâ¨√n(S (X ) − h(a)) =h(a + bn ηn ) − h(a)bná« ¡® á室¨âáï ª ª ®à¬ «ì®© á.¢.
á ¯ à ¬¥âà ¬¨ (0, (h′ (a))2 Dg (X1 )).7√n(X − EX1 ) á室¨âáï á« ¡® ª (0, DX ) .®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì h(t) = t, g (u) = u, a = EX1 . ®£¤ Ǒਬ¥à 1.√n(X − EX1 ) =√1n(S (X ) − h(a)) → (0, (h′ (a))2 Dg(X1 ))= (0, DX ) .1Ǒãáâì E|X1|4 < ∞.®£¤ n(s2 − DX1 ) á室¨âáï á« ¡® ª (0, D(X −X ) ) .®ª § ⥫ìá⢮. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®©Ǒਬ¥à 2.√1s2®£¤ √2= (X − b)2 − (X − b)2 , b = EX1 .1n(X − b)21=√ (nPni=1(Xi − b)√n)2 → 0 ¯® ¢¥à®ïâ®áâ¨î«ï ®æ¥¨¢ ¨ï (X − b)2 § ¬¥â¨¬, çâ®S (X ) = (X − b)2n1X= h(a +n i=1£¤¥ h(t) = t, g (u) = (u − b)2 , a =b := EX1 , bn := √1n .
¯®í⮬ã√n(S (X )−DX1 ) =DX1, ηn :=√1nPni=1(Xi − b)2 ,h(a + bn ηn ) − h(a)→ (0, (h′ (a))2 Dg(X1 )bn¥®à¥¬ 3. Ǒãáâì4-å ãá«®¢¨©1)g (Xi )) = h(a + bn ηn ),ηn → η á« ¡®. Ǒãáâì ¢ë¯®«¥® ®¤® ¨§lim lim sup E(|ηn|; |ηn | > N ) = 0,N →∞= (0, D(X −b) ) .n→∞2)lim lim supN →∞n→∞Z∞N(|ηn| > x)dx = 0,P3)(|ηn| > x) ≤ f (x),P4)8Z0∞f (x)dx < ∞,12E|ηn |®£¤ 5)1+δ < C¤«ï ¥ª®â®à®£®Eηnδ > 0.→ Eη.ξ ≥ 0. ®£¤ Eξ < ∞ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,ª®£¤ 0 P(ξ ≥ x)dx < ∞.
Ǒਠí⮬¥¬¬ . ǑãáâìZMNR∞(ξ ≥ x)dx = M P(ξ ≥ M ) − N P(ξ ≥ N ) + E(ξ ; N ≤ ξ ≤ M ),P¨lim N P(ξ ≥ N ) = 0.N →∞Ǒ®í⮬ãEξ=Z∞0(ξ ≥ x)dx.P®ª ⥫ìá⢮. 祢¨¤®, çâ®M P(ξ ≥ M ) ≤ E(ξ : ξ ≥ M ).. Ǒã᪠© Eξ < ∞. ®£¤ M P(ξ ≥ M ) → 0 ¯à¨ M → ∞, ¨, ¢á¨«ãZ0M(ξ ≥ x)dx = M P(ξ ≥ M ) + E(ξ ; 0 ≤ ξ ≤ M )P(1)¯®«ãç ¥¬ EξR = 0∞ P(ξ ≥ x)dx < ∞. ᫨ ¥ 0∞ P(ξ ≥ x)dx < ∞, â® ¢ ᨫã (1)RE(ξ ; 0 ≤ ξ ≤ M ) ≤ZM0(ξ ≥ x)dxP¯®«ãç ¥¬ Eξ < ∞, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â ¢á¥ ®á⠫쮥.
¥¬¬ ¤®ª § .®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 3. 奬 :4) =⇒ 3) =⇒ 2) =⇒ 5); 1) =⇒ 2).4) =⇒ 3). § ¥à ¢¥á⢠¥¡ë襢 (|ηn | > x) ≤PE|ηn |1+δx1+δ9C≤ 1+δ .xá«¥¤ã¥â, çâ® ãá«®¢¨¥ 4) ¢«¥ç¥â ãá«®¢¨¥ 3).3) =⇒ 2). á«®¢¨¥ 3) ¢«¥ç¥â ãá«®¢¨¥ 2).2) =⇒ 5). Ǒãáâì ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ 2) ¨ ηn ≥ 0. ®£¤ ¢á¨«ã «¥¬¬ëZ ∞Eηn =P(ηn ≥ x)dx.0§ 2) á«¥¤ã¥â, çâ®lim supn→∞¯®í⮬ãZ0∞Z∞(ηn ≥ x)dx < ∞,P(η ≥ x)dx < ∞,¨ ¬®® ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ § ª®¬ ¨â¥£à « :P0limlim Eηn = n→∞n→∞Z0∞(ηn ≥ x)dx =PZ∞0(η ≥ x)dx = Eη.P ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ηn = ηn+ − ηn− , η = η + − η − ,¨ á®®â®è¥¨ï¬¨ηn+ =⇒ η + , ηn− =⇒ η −¯à¨ n → ∞.
®®â®è¥¨¥ 5) ¤®ª § ®.1) =⇒ 2). ᫨ ¢ë¯®«¥® 1) â® ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§Z∞N(|ηn | ≥ x)dx ≤ E(|ηn |; |ηn| ≥ N )P¯®«ãç ¥¬ 2). ¥®à¥¬ ¤®ª § .. II. Ǒ §1. Ǒ®áâ ®¢ª § ¤ ç¨. ®áâ®ï⥫ì®áâì, ¥á¬¥é¥®áâì, ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ®à¬ «ì®áâì.Ǒ®ï⨥ á®áâ®ï⥫ì®áâ¨, ᨫ쮩 á®áâ®ï⥫ì®á⨠®æ¥ª¨,¥á¬¥é¥®á⨠á¬. ¢ [4℄, áâà. 31, ¯®ï⨥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ¥á¬¥é¥®á⨠®æ¥ª¨ ¤ âì á ¬¨¬, ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ®à¬ «ì®á⨠®æ¥ª¨ á¬. ¢ [4℄, áâà. 40.10§2. ¥â®¤ ¯®¤áâ ®¢ª¨. ¥â®¤ ¬®¬¥â®¢.θ = G(Fθ ),®£¤ θ∗ = G(Fn∗ )|®æ¥ª ¯® ¬¥â®¤ã ¯®¤áâ ®¢ª¨.Ǒãáâì θ ∗ = G(Fn∗ )| ®æ¥ª ¯® ¬¥â®¤ã¥®à¥¬ 1.¯®¤áâ ®¢ª¨ ¨ ¯ãáâì íâ® áâ â¨á⨪ ¯¥à¢®£® ¨«¨ ¢â®à®£® ⨯ .®£¤ ® á¨«ì® á®áâ®ï⥫ì .¥®à¥¬ 2.