1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (Коршунов, Чернова - Сборник задач и упражнений), страница 9

. , Xn — выборка из равномерного распреде∗ = n+k Xления на отрезке [0, θ]. Сравнить оценки θk,n(n) , k = 0, 1,n2, . . . , параметра θ в среднеквадратичном смысле.8.7. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Найти оценку параметра θ, наилучшуюв среднеквадратичном смысле в классе оценок вида cn X(n) . Найтиеё смещение.8.8.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [θ, 2θ]. Рассматривается класс несмещённыхоценок для θ вида aX(1) + bX(n) . Сравнить оценки из этого классав среднеквадратичном смысле.8.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [θ, θ+1].а) Сравнить в среднеквадратичном смысле оценки X − 1/2,X(1) и X(n) − 1 параметра θ.б) Найти оценку параметра θ, наилучшую в среднеквадратичном смысле в подклассе оценок максимального правдоподобия вида a(X(n) − 1) + (1 − a)X(1) , a ∈ [0, 1].8.10. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из смещённого показатель-54отдел iv. сравнение оценокного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.Сравнить в среднеквадратичном смысле оценки X − 1, X(1) иX(1) − 1/n параметра сдвига β.8.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Построить любые две различные оценкипараметра λ и сравнить их в среднеквадратичном смысле.8.12. Привести примеры оценок θ1∗ и θ2∗ с дисперсиями σ12 (θ)2и σ2 (θ) соответственно такими, что σ12 (θ) 6 σ22 (θ) при всех θ ∈ Θ,но Eθ (θ1∗ − θ)2 > Eθ (θ2∗ − θ)2 .8.13.

Доказать, что если оценки θ1∗ и θ2∗ имеют одинаковоесмещение, то Dθ θ1∗ 6 Dθ θ2∗ для любого θ ∈ Θ тогда и толькотогда, когда Eθ (θ1∗ − θ)2 6 Eθ (θ2∗ − θ)2 .§ 9. Асимптотический подходНаряду со среднеквадратическим часто применяется асимптотическийподход к сравнению оценок. Он удобен для сравнения асимптотически нормальных оценок в случае, когда объём выборки очень велик. Согласно асимптотическому подходу, асимптотически нормальная оценка θ1∗ с коэффициентом асимптотической нормальности σ12 (θ) лучше асимптотически нормальнойоценки θ2∗ с коэффициентом σ22 (θ), если при любом θ ∈ Θ выполняется неравенство σ12 (θ) 6 σ22 (θ) и хотя бы для одного θ ∈ Θ выполняется неравенствоσ12 (θ) < σ22 (θ).9.1.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения с известным средним a и с неизвестной дисперсией σ 2 . Припомощи асимптотического подхода сравнить следующие оценкипараметра σ 2 :nn2π1 X1X|Xi − a|и(Xi − a)2 .2 nni=1i=19.2. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 > 0. При помощи асимпто-§ 10. достаточные статистики55тического подхода сравнить выборочное среднее и выборочнуюмедиану как оценки параметра a.9.3. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения, являющегося смесью двух нормальных распределений, а именно, 92%составляет нормальное распределение со средним a и дисперсией 1, а 8% составляет нормальное распределение с тем же средним a и дисперсией 16.

При помощи асимптотического подходасравнить выборочное среднее и выборочную медиану как оценкипараметра a.9.4. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Существует ли наилучшаяасимптотическиq∗ =нормальная оценка среди оценок θk,n(k + 1)X k ?9.5. Пусть X1 , . . .

, Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 2θ]. При помощи асимптотического подходасравнить выборочное среднее и выборочную медиану как оценкипараметра θ.9.6. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Существует ли наилучшаяасимптотическиqk∗ =нормальная оценка среди оценок αk,nkk!/X k ?§ 10. Достаточные статистикиПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений и X1 , X2 , . . . — выборка из распределения Fθ .Статистика S(X1 , .

. . , Xn ), построенная по выборке X1 , . . . , Xn , называется достаточной для параметра θ, если условное распределение выборкипри фиксированном значении статистики SPθ {(X1 , . . . , Xn ) ∈ B | S = s},B ⊆ Rn ,не зависит от параметра θ1 .Пусть выполнено условие доминирования относительно некоторой мерыµ на R, т. е. это параметрическое семейство состоит из распределений, абсолютно непрерывных относительно µ.

Обозначим через fθ плотность распределения Fθ относительно меры µ.1Поскольку условное распределение определяется с точностью до эквивалентности, корректнее было бы сказать, что найдётся вариант условногораспределения, не зависящий от параметра θ.56отдел iv. сравнение оценокТогда справедлив следующий критерий достаточности статистики.Теорема Неймана – Фишера о факторизации.

Статистика S является достаточной для параметра θ тогда и только тогда, когда совместная плотность выборки может быть представлена в видеfθ (x1 , . . . , xn ) ≡nYfθ (xi ) = ψ(S(x1 , . . . , xn ), θ) · h(x1 , . . . , xn ).i=110.1. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Fθ .Найти условное совместное распределение выборки при условииX1 = x1 , . . . , Xn = xn . Является ли достаточной статистикой дляпараметра θа) выборка;б) вариационный ряд?10.2.

Распределение Fθ задано плотностью fθ относительнонекоторой меры µ. Пользуясь теоремой Неймана – Фишера о факторизации, доказать, что вариационный ряд, построенный по выборке X1 , . . . , Xn , является достаточной статистикой для параметра θ.10.3. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и единичной дисперсией.

Найти условное совместное распределение выборки при условии X1 + · · · + Xn = y.Является ли X достаточной статистикой для параметра a?10.4. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения с нулевым средним и дисперсией σ 2 . Найти достаточнуюстатистику для параметра σ 2 со значениями в R.10.5. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 . Будет ли статистика X 2достаточной дляа) двумерного параметра (a, σ 2 );б) параметра σ 2 , если a = 0;в) параметра σ 2 , если a = 3?10.6. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 . Найти достаточную длядвумерного параметра (a, σ 2 ) статистику со значениями в R2 .10.7.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Найти достаточную для параметра θстатистику со значениями в R.§ 10. достаточные статистики5710.8. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [a, b]. Достаточна ли для двумерного параметра (a, b) статистика X? Статистика X(n) ? Двумерная статистика(X(1) , X(n) )?10.9.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезкеа) [θ, θ + 1];б) [θ, 2θ].Найти достаточную для параметра θ статистику со значениямив R2 .10.10. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [−θ, θ]. Найти достаточную для параметра θстатистику со значениями в R.10.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Найти достаточную для параметраα статистику S(X1 , .

. . , Xn ) со значениями в R такую, что любаядругая достаточная статистика есть неслучайная функция от S(такая достаточная статистика S называется минимальной).10.12. Найти достаточную статистику для параметра сдвигаβ ∈ R смещённого показательного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.Является ли X достаточной статистикой?10.13.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β,где α > 0, β ∈ R. Найти достаточную статистику дляа) параметра β, если значение α известно;б) параметра α, если значение β известно;в) для двумерного параметра θ = (α, β).10.14. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из Γ-распределения с параметрами α = 1/θ и β, причём β известно. Существует ли достаточная для параметра θ > 0 статистика со значениями в R? Найтираспределение статистики X/β. Достаточная ли это статистика?58отдел iv. сравнение оценок10.15. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из Γ-распределения с параметрами α и β. Существует ли достаточная для двумерногопараметра (α, β) статистика со значениями в R2 ?10.16. Пусть дана выборка из распределения Парето с параметрами β > 0 и θ > 0. Найти достаточную статистику дляа) параметра β, если значение θ известно;б) параметра θ, если значение β известно;в) векторного параметра (β, θ).10.17.