1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (Коршунов, Чернова - Сборник задач и упражнений), страница 7

. , Xn — выборка объёма n > 5 из распределения Пуассона с параметром λ. Для какого параметра θ = θ(λ)статистика θn∗ = X1 ·. . .·X5 будет несмещённой оценкой? Являетсяли θn∗ состоятельной оценкой для того же параметра θ?6.37. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ. Для какого параметра θ = θ(λ) статистика θn∗ =Xe−X будет состоятельной оценкой? Является ли θn∗ несмещённойоценкой того же параметра?Р е ш е н и е.

Так как X является состоятельной оценкой параметра λ, тоθn∗ = Xe−X сходится при n → ∞ по вероятности к θ(λ) = λe−λ . Случайнаявеличина nX имеет распределение Пуассона с параметром nλ, поэтому∞Xk −k/n (nλ)k −nλeenk!k=0k∞nλ e−1/nX−1/n−1)−1/n= λ enλ(e,(k − 1)!E θn∗ = E Xe−X ==т. е.θn∗e−nλnk=1является смещённой (но асимптотически несмещённой) оценкой пара-метра θ = θ(λ) = λ e−λ .6.38. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Для какого параметра θ = θ(λ) статистика θn∗ = I{X = 1} будет состоятельной оценкой? Является ли θn∗несмещённой оценкой того же параметра?6.39.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром ln λ. Является ли оценка λ∗n = eX несмещённойоценкой параметра λ? Состоятельной?§ 6. несмещённость и состоятельность416.40. Имеется одно наблюдение X1 с усечённым снизу распределением Пуассона:λke−λ·, k > 1.k! 1 − e−λДоказать, что единственная несмещённая оценка параметра θ =1 − e−λ имеет вид0, если X1 нечетно,θ1∗ =2, если X1 четно.P{X1 = k} =6.41.

Построить оценку параметра λ распределения Пуассона,которая одновременно являетсяа) состоятельной и смещённой;б) несостоятельной и несмещённой.6.42. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Показать, что для параметра τ (λ) = 1/λ несуществует несмещённых оценок.6.43. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из равномерного распределения на конечном множестве {1, . . . , θ}, где θ — целый положительный параметр. Проверить оценку максимального правдоподобия параметра θ на несмещённость и состоятельность.6.44. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из геометрического распределения с параметром p. Будет ли оценка p∗n = 1/(1 + X) несмещённой? Состоятельной?6.45. Пусть дана выборка из распределения Pq , q ∈ (0, 1/2): 5при k = 1,q5Pq {X1 = k} = 1 − q − q при k = 2,qпри k = 3.Пусть νn — числоэлементов выборки, равных 1. Является лиpоценка qn∗ = 5 νn /n несмещённой оценкой параметра q? Состоятельной?6.46. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 . Проверить, является ливыборочная медиана ζ ∗ состоятельной и несмещённой оценкой параметра a.42отдел iii. свойства оценок6.47. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка с функцией распределения F , причем производная F 0 (y) всюду положительна. Доказать,что выборочная квантиль ζδ∗ уровня δ ∈ (0, 1) является сильно состоятельной оценкой истинной квантили ζδ = F −1 (δ).6.48.

Привести пример функции распределения F , для которой выборочная квантиль ζδ∗ не является сильно состоятельнойоценкой квантили ζδ = sup{y: F (y) 6 δ}.6.49. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 2θ]. Проверить, является ли выборочнаямедиана несмещённой и состоятельной оценкой параметра θ.6.50. Пусть дана выборка X1 , . .

. , Xn из распределения Fθс параметром θ ∈ {1, 2, . . . , N }, причем Fθ1 6= Fθ2 при θ1 6= θ2 .Пусть ρ(F, G) = sup |F (y) − G(y)|. Доказать, что оценка θn∗ , выбиyраемая по правилуρ(Fn∗ , Fθn∗ ) = min ρ(Fn∗ , Fθ ),θявляется состоятельной.6.51. Пусть θ∗ — оценка параметра θ со смещением b(θ) = 2θ.Построить несмещённую оценку параметра θ.6.52. Пусть θn∗ — асимптотически несмещённая оценка для θи Dθ θn∗ → 0 при n → ∞ для любого θ ∈ Θ. Доказать, что оценкаθn∗ состоятельна.6.53. Пусть имеется выборка из распределения Fθ , θ ∈ Θ ⊆ R,и α = f (θ), где f — выпуклая вещественнозначная функция.Пусть θ∗ — несмещённая оценка параметра θ.

Доказать, что оценка α∗ = f (θ∗ ) параметра α имеет неотрицательное смещение. Прикаких условиях смещение будет строго положительным?6.54. Привести пример, когда оценкаа) метода моментов является смещённой;б) максимального правдоподобия является несмещённой;в) является несмещённой и не состоятельной;г) является смещённой и состоятельной.6.55. Доказать, что выборочное среднее X и выборочная дисперсия S 2 некоррелированы, если третий момент выборки равеннулю. Указание: доказать, что Cov(X, S 2 ) = n−1EX13 .n2§ 7.

асимптотическая нормальность436.56. Доказать, что при любом фиксированном y значение эмпирической функции распределения Fn∗ (y) является (сильно) состоятельной и несмещённой оценкой значения функции распределения выборки F (y).6.57. Пусть X1 , . . .

, Xn — выборка с функцией распределенияF и νn — число элементов выборки, попавших в полуинтервал[a, b), где a < b — фиксированные числа. Доказать, что статистика νn /n является состоятельной и несмещённой оценкой разностиF (b) − F (a).6.58. Доказать, что для любого фиксированного λ ∈ R значение выборочной характеристической функцииZ∗ϕn (λ) =eiλy Fn∗ (dy)Rявляется (сильно) состоятельной и несмещённой оценкой истинного значения характеристической функции ϕ(λ) = EeiλX1 .§ 7.

Асимптотическая нормальностьПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений. Пусть X1 , X2 , . . . — выборка из распределения Fθ и θn∗ = θn∗ (X1 , . . . , Xn ) —некоторая оценка параметра θ, построенная по данной выборке.Статистика θn∗ называется асимптотически нормальной оценкой параметра θ с коэффициентом σ 2 (θ) > 0, если при любом θ ∈ Θ распределение√случайной величины (θn∗ − θ) n слабо сходится при n → ∞ к нормальномузакону с нулевым средним и дисперсией σ 2 (θ).7.1.

Пусть дана выборка из распределения с конечной дисперсией. Доказать, что статистика X является асимптотическинормальной оценкой для θ = EX1 . Найти коэффициент асимптотической нормальности.Р е ш е н и е. Имеем равенствоn√1 Xn(X − θ) = √(Xi − EX1 ).n i=144отдел iii. свойства оценокПоэтому в силу центральной предельной теоремы распределение отношения√n(X − θ)√DX1слабо сходится к стандартному нормальному закону. Следовательно, оценкаX асимптотически нормальна с коэффициентом асимптотической нормальности σ 2 = DX1 .7.2.

Пусть Eg 2 (X1 ) < ∞. Доказать, что статистика g(X) является асимптотически нормальной оценкой для параметра θ =Eg(X1 ). Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.3. Доказать, что выборочная дисперсия S 2 при условии конечности EX14 является асимптотически нормальной оценкой дисперсии. Вычислить коэффициент асимптотической нормальности.Р е ш е н и е. Положимa = EX1 и σ 2 = DX1 . Представим выборочнуюPдисперсию S 2 = n1 (Xi − X)2 в виде S 2 = (X − a)2 − (X − a)2 . Заметим, чтопо центральной предельной теореме величина√1 √n(X − a)2 = √ ( n(X − a))2nсходится при n → ∞ по вероятности к нулю, а распределение случайнойвеличиныPn22√1 (Xi − a) − nE(X1 − a)√n((X − a)2 − σ 2 ) =nслабо сходится к нормальному закону с нулевым средним и дисперсией равнойD(X1 − a)2 .

Сложив слабо сходящуюся последовательность с последовательностью, сходящейся по вероятности к нулю, получим слабую сходимость√√√n(S 2 − σ 2 ) = n((X − a)2 − σ 2 ) − n(X − a)2также к нормальному закону с нулевым средним и дисперсией D(X1 − a)2 .Таким образом, S 2 — асимптотически нормальная оценка параметра σ 2 скоэффициентом D(X1 − a)2 = E(X1 − a)4 − σ 4 .7.4.

Доказать, что любая асимптотически нормальная оценкаявляется состоятельной.7.5. Пусть θn∗ — асимптотически нормальная оценка для θ скоэффициентом σ 2 , причем Eθ (θn∗ − θ)4 < C/n2 для любого θ.Доказать, что при n → ∞ имеет место соотношениеEθ (θn∗ − θ)2 = σ 2 n−1 (1 + o(1)).§ 7. асимптотическая нормальность457.6. Пусть θn∗ — асимптотически нормальная оценка для параметра θ с коэффициентом σ 2 . Пусть θ 6= 0. Доказать, что (θn∗ )2 —асимптотически нормальная оценка для θ2 . Найти коэффициентасимптотической нормальности.Р е ш е н и е.

Имеем равенство √√n (θn∗ )2 − θ2 = n(θn∗ − θ)(θn∗ + θ).pПоскольку θn∗ состоятельна (см. задачу 7.4), θn∗ + θ → 2θ. Умножая слабо сходящуюся к нормальному закону с нулевым средним и дисперсией σ 2 последо√вательность n(θn∗ − θ) на последовательность, сходящуюся по вероятности√к постоянной 2θ, получим слабую сходимость распределения n((θn∗ )2 − θ2 )к нормальному закону с нулевым средним и дисперсией 4σ 2 θ2 .7.7. Пусть θ∗ — асимптотически нормальная оценка для θ.Будет ли |θ∗ | асимптотически нормальной оценкой для |θ|?7.8. Пусть θn∗ — асимптотически нормальная оценка для параметра θ ∈ Θ с коэффициентом σ 2 (θ), функция H(y) непрерывнодифференцируема в области Θ и H 0 (θ) 6= 0.

Доказать, что H(θn∗ ) —асимптотически нормальная оценка для H(θ) с коэффициентомσe2 (θ) = (H 0 (θ))2 σ 2 (θ).7.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка со средним EX1 = a и дисперсией DX1 = σ 2 > 0. Пусть функция H(t) дважды непрерывнодифференцируема в точке t = a и H 0 (a) = 0. Показать, что√а) величина n(H(X) − H(a)) сходится при n → ∞ по вероятности к нулю;б) распределение случайной величины n(H(X) − H(a)) слабосходится при n → ∞ к распределению квадрата случайной величины, распределённой по нормальному закону с нулевым средними дисперсией H 00 (a)σ 2 /2.7.10. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из нормального распределения с параметрами a и σ 2 , причём значение параметра a известно.Являетсяp ли асимптотически нормальной для параметра σ оценка∗σn = π/2 · |X − a|?7.11. Пусть X1 , . . . , X2n — выборка объёма 2n из нормального46отдел iii. свойства оценокраспределения. Является ли оценкаn1 X(X2i − X2i−1 )2 .2ni=1асимптотически нормальной для неизвестной дисперсии σ 2 ?7.12. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезкеq[0, θ] и k > 1. Доказать асимптотическую норkмальность оценки (k + 1)X k параметра θ и найти коэффициентасимптотической нормальности.7.13.

В условиях предыдущей задачи доказать, что почти на∗ →Xверное θk,n(n) при k → ∞. Является ли X(n) асимптотическинормальной оценкой параметра θ?7.14. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Является ли статистика n+1n X(n) асимптотически нормальной оценкой параметра θ?7.15. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [θ/2, θ]. Показать, что статистика ln(4X/3) является асимптотически нормальной оценкой параметра τ = ln θ.Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.16. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, a]. Для какого параметра θ = θ(a) статистикаθn∗ = ln X будет асимптотически нормальной оценкой? Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.17. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметромq α. Доказать, что для любого натурального k статистика k k! X k является асимптотически нормальнойоценкой параметра α.