1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (Коршунов, Чернова - Сборник задач и упражнений), страница 6

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [−θ, θ]. Является ли оценка максимального правдоподобия несмещённой оценкой параметра θ? Состоятельной?6.6. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [−3θ, θ]. Является ли оценка θn∗ = 4X(n) + X(1)несмещённой оценкой параметра θ? Состоятельной?6.7. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределенияqна отрезке [0, θ]. Доказать, что оценка метода моментов∗ =θk,n(k + 1)X k являетсяа) сильно состоятельной оценкой θ при любом k > 1;б) смещённой оценкой θ при любом k > 2.kqkР е ш е н и е. б) Заметим, что θ =(k + 1)Eθ X k . Поскольку в областиpky > 0 функция g(y) = − (k + 1)y строго выпуклая при k > 2, то по неравенству Йенсена∗Eθ θk,n= −Eθ g(X k ) < −g(Eθ X k ) = θ,причём неравенство строгое, так как распределение случайной величины X kневырождено.6.8. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из некоторого распределенияс конечным математическим ожиданием. Доказать, что X является несмещённой и состоятельной (сильно состоятельной) оценкойпараметра m1 = EX1 .6.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из некоторого распределения с конечным моментом k-го порядка mk = EX1k .

Является ли36отдел iii. свойства оценоквыборочный момент X k порядка k несмещённой и состоятельной(сильно состоятельной) оценкой параметра mk ?6.10. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из некоторого распределения с конечной дисперсией. Доказать, что статистикаn1XS2 =(Xi − X)2ni=1является состоятельной (сильно состоятельной) оценкой параметра σ 2 = DX1 . Является ли S 2 несмещённой оценкой дисперсииσ 2 ? Построить оценку, являющуюся одновременно сильно состоятельной и несмещённой оценкой параметра σ 2 .6.11.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с конечным вторым моментом и значение a = EX1 известно. Проверитьна несмещённость и состоятельность следующие оценки неизвестной дисперсии:nn2P1 Pа) n−1Xi − X ;в) n1(Xi − a)2 ;i=1i=1б) X 2 − a2 ;г)1n−1nP(Xi − a)2 .i=16.12. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из нормального распределения с известным средним значением a и с неизвестнойдисpперсией σ 2 . Проверить, является ли оценка σn∗ = π/2 · |X − a|несмещённой и состоятельной оценкой неизвестного параметра σ.6.13. Пусть X1 , . . . , X2n — выборка объёма 2n из некоторого распределения с конечным вторым моментом. Проверить нанесмещённость и состоятельность оценку дисперсии σ 2n1 X2 ∗(σ )n =(X2i − X2i−1 )2 .2ni=16.14. Пусть (X1 , Y1 ), . .

. , (Xn , Yn ) — выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η), т. е. P{X1 < x, Y1 < y} = P{ξ <x, η < y}. Доказать, что величинаnm1,1 =1 X(Xi − X)(Yi − Y )n−1i=1§ 6. несмещённость и состоятельность37является несмещённой и состоятельной оценкой Cov(ξ, η).6.15. Даны результаты 8 независимых измерений одной и тойже величины прибором, не имеющим систематических ошибок:369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 м. Определить несмещённуюоценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длинаа) известна и равна 375 м; б) неизвестна.6.16.

Производится n измерений неизвестного диаметра d круга. В первом приближении считается, что измерения Xi = d + ξiпроизводятся с независимыми случайными ошибками ξi , имеющими одинаковое нормальное распределение с нулевым средними неизвестной дисперсией σ 2 . Проверить несмещённость и состоятельность следующей оценки площади круга:πs∗ =(X)2 − S02 /n .46.17. Производится n измерений неизвестной длины диагонали a квадрата. В первом приближении считается, что измеренияXi = a + ξi производятся с независимыми случайными ошибкамиξi , имеющими одинаковое нормальное распределение с нулевымсредним и неизвестной дисперсией σ 2 . Проверить несмещённостьи состоятельность следующей оценки площади квадрата:s∗ = (X)2 − S02 /n /2.6.18.

Пусть X1 , . . . , X3n — выборка объёма 3n из нормальногораспределения со средним a и единичной дисперсией. Проверитьнесмещённость и состоятельность следующих оценок параметра a:2nn1X1 XXi ;б)X3i .а)nni=n+1i=16.19. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Будет ли оценка αn∗ = 1/X несмещённой?Если «нет», найти смещение. Является ли оценка состоятельной?6.20.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Для какого параметра θ = θ(α) статистика θn∗ = eX будет состоятельной оценкой? Является ли θn∗несмещённой оценкой того же параметра?38отдел iii. свойства оценок6.21. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного рас√пределения с параметром 1/ α. Является ли оценка αn∗ = (X)2несмещённой оценкой параметра α? Состоятельной?6.22. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Проверить оценки метода моментовqk∗αk = k!/X k ,k = 1, 2, . . . ,на несмещённость.

Будут ли эти оценки состоятельными?6.23. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.Выяснить, являются ли несмещёнными и состоятельными следующие оценки параметра сдвига β:а) X(1) ;б) X − 1.6.24. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β,Проверить состоятельность оценок параметров масштаба α > 0и сдвига β ∈ R, построенных по методу моментов и по методумаксимального правдоподобия.6.25. Проверить состоятельность оценок метода моментовq2∗βn = 1 + 1 + X /S 2 и θn∗ = X(1 − 1/β ∗ )параметров β > 2 и θ > 0 распределения Парето.6.26. Проверить на несмещённость и состоятельность оценкимаксимального правдоподобия βn∗ = 1/(ln X − ln X(1) ) и θn∗ = X(1) ,n > 2, параметров β и θ распределения Парето.Р е ш е н и е.

Заметим, что ln X1 имеет двухпараметрическое показательное распределение с плотностьюβ e−β(y−ln θ) при y > ln θ,f (y) =0при y < ln θ.§ 6. несмещённость и состоятельность39Поэтому статистика ln X − ln X(1) распределена так же, как Y − Y(1) , гдеYi имеют показательное распределение с параметром β. Найдем распределение nY − nY(1) , пользуясь результатом задачи 1.24. Величина Y(k+1) − Y(k)имеет показательное распределение с параметром (n − k)β, поэтому ξk =(n − k)(Y(k+1) − Y(k) ) имеет показательное распределениес параметромβ,PPnи при разных k эти величины независимы. Поскольку ni=1 Yi =i=1 Y(i) , тоnY − nY(1) =n−1Xk=1(n − k)(Y(k+1) − Y(k) ) =n−1Xξk .k=1Смещение величины (n − 1)/(ξ1 + · · · + ξn−1 ) вычислено в задаче 6.19 и равноα/(n − 2). Поэтому смещение оценки βn∗ равно 2α/(n − 2).6.27.

Пусть дана выборка из распределения Вейбулла с параметрами α и θ, причём значение параметра α известно. Проверитьна несмещённость и состоятельность оценку 1/X α параметра θ.6.28. Будет ли статистика X состоятельной оценкой параметра сдвига θ распределения Коши?6.29. В партии из n изделий оказалось m бракованных. Неизвестная вероятность p появления бракованного изделия оценивается величиной m/n. Проверить состоятельность и несмещённостьэтой оценки.6.30. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернулли√с параметром p. Является ли статистика p∗n = (X)2 несмещённойоценкой параметра p? Состоятельной?6.31.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернулли с параметром p. Показать, что для параметра τ (p) = 1/p несуществует несмещённых оценок.6.32. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернулли с параметром p. Проверить, что статистики Xn , X1 (1 − Xn )и X1 Xn являются несмещёнными оценками для p, p(1 − p) и p2соответственно. Являются ли эти оценки состоятельными?6.33. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p. Рассматривается класс оценок видаnX + α, α > 0, β > 0.n+βВычислить смещение и среднеквадратическую ошибку оценки p∗n .√√Показать, что при α = n/2 и β = n ошибка не зависит от p.p∗n =40отдел iii. свойства оценок6.34.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из биномиального распределения с параметрами 2 и p. Для какого параметра θ = θ(p)статистика θn∗ = eX будет состоятельной оценкой? Является ли θn∗несмещённой оценкой того же параметра?6.35. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ. Проверить, что статистики (X1 +Xn )/2, I{X = k}и Xn являются несмещёнными оценками для λ, λk e−λ /k! и λ соответственно. Являются ли эти оценки состоятельными?6.36. Пусть X1 , . .