1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (Коршунов, Чернова - Сборник задач и упражнений), страница 4

Используя метод моментов с пробной функциейg(y) = y, оценить параметр θ(α) = Pα {X1 > 1}.3.15. Пусть дана выборка из Γ-распределения с параметрамиα > 0 и β > 0. Построить оценки по методу моментова) параметра α, если значение β известно;§ 3. метод моментов23б) параметра β, если значение α известно;в) векторного параметра (α, β).3.16. Пусть имеется выборка из распределения Парето с параметрами β и θ.

Построить оценки по методу моментова) параметра β > 1, если значение θ > 0 известно;б) параметра θ > 0, если значение β > 1 известно;в) векторного параметра (β, θ), где β > 2 и θ > 0.3.17. Пусть дана выборка из распределения Вейбулла с параметрами α > 1 и θ > 0, причём значение α известно. С помощьюпробной функции g(y) = y α построить оценку параметра θ.3.18.

Пусть дана выборка из распределения Вейбулла с параметрами α > 0 и 1. Показать, что с помощью пробной функцииg(y) = y нельзя построить оценку параметра α.3.19. Пусть дана выборка из распределения с плотностью 2 −3 −(y/α)33y α eпри y > 0,fα (y) =0при y < 0.Построить оценку параметра α > 0 с помощью пробной функцииg(y) = y k .3.20. Используя пробную функцию g(y) = y, построить оценкупараметра θ > 0, если распределение выборки имеет плотностьа) θy θ−1 при y ∈ [0, 1];б) 2y/θ2 при y ∈ [0, θ].3.21. Можно ли построить оценку по методу моментов с помощью одной из пробных функций y, y 2 , y 3 , . .

. для параметрасдвига распределения Коши?3.22. Используя метод моментов с пробной функцией g(y) = y,оценить параметр p распределения Бернулли.3.23. Можно ли методом моментов с помощью какой-нибудьпробной функции g(y) получить оценку параметра p распределения Бернулли, отличную от X?3.24. Пусть дана выборка из биномиального распределения спараметрами m и p. Используя метод моментов, построить оценкуа) параметра p, если значение m известно;б) параметра m, если значение p известно;в) векторного параметра (m, p).24отдел ii. методы построения оценок3.25.

Пусть дана выборка из биномиального распределенияс параметрами 2 и p. Используя метод моментов с пробной функцией g(y) = y, найти оценку для параметра θ = e2p .3.26. Используя метод моментов с пробной функциейа) g(y) = y;б) g(y) = y 2 ,оценить параметр λ > 0 распределения Пуассона.3.27. Используя метод моментов, оценить значение λ > 1 повыборке из распределения Пуассона с параметром ln λ.3.28. Пусть дана выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Используя метод моментов с пробной функцией g(y) =I{y = 1}, оценить параметр θ = θ(λ) = λ e−λ .3.29. При нейтронной бомбардировке ядер урана начинаетсярасщепление ядра, при котором ядро урана распадается на двечасти различного типа; в камере Вильсона это явление обнаруживается в виде двух траекторий, исходящих из одной точки.Эти траектории вскоре разделяются на несколько ветвей, получающихся от столкновения частиц с молекулами газа в камере.Можно показать, что число ветвей в одной траектории имеет такназываемое «двойное» распределение Пуассона, т.

е.1 λk1 −λ1 λk2 −λ2 P{X1 = k} =e+ e, k = 0, 1, 2, . . . ,2 k!k!где λ1 < λ2 — некоторые положительные постоянные. Используяметод моментов, построить оценку векторного параметра (λ1 , λ2 ).3.30. Используя метод моментов, оценить параметр p ∈ (0, 1)геометрического распределения.3.31. Пусть P и Q — два распределения с известными математическими ожиданиями a и b соответственно, причём a < b. ПустьPθ является смесью распределений P и Q:Pθ = θP + (1 − θ)Q,0 6 θ 6 1.Используя метод моментов, оценить параметр θ по выборке израспределения Pθ .3.32.

Привести пример, когда нельзя построить оценку по методу моментов с помощью пробной функции g(y) = y.§ 4. метод максимального правдоподобия25§ 4. Метод максимального правдоподобияПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений. Пусть выполнено условие доминирования относительно некоторой мерыµ на R, т.

е. это параметрическое семейство состоит из распределений, абсолютно непрерывных относительно µ. Плотность распределения Fθ относительно меры µ обозначим через fθ :fθ (y) =dFθ(y).dµПусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Fθ . Функцией правдоподобия называется функцияfθ (X1 , . . .

, Xn ) =nYfθ (Xi ).i=1Оценка θn∗ = θn∗ (X1 , . . . , Xn ) параметра θ называется оценкой максимального правдоподобия, если в точке θn∗ достигается максимум функции правдоподобия (при фиксированном значении выборки X1 , . . . , Xn ).При нахождении оценки максимального правдоподобия часто удобно перейти к логарифмической функции правдоподобияLθ (X1 , .

. . , Xn ) = ln fθ (X1 , . . . , Xn ) =nXln fθ (Xi ).i=1Ясно, что максимум функции L также достигается в точке θn∗ .4.1. Найти оценку максимального правдоподобия векторногопараметра (a, σ 2 ) нормального распределения.Р е ш е н и е. Логарифмическая функция правдоподобия равнаLa,σ2 (X1 , . . . , Xn ) = −nnn1 Xln 2π − ln σ 2 − 2(Xi − a)2 .222σ i=1Точку, в которой достигается максимум (проверьте!) функции L, находим изследующей системы уравнений:∂La,σ2 (X1 , . . . , Xn )= 0,∂a∂La,σ2 (X1 , .

. . , Xn )= 0,∂(σ 2 )т. е.n1 X(Xi − a) = 0,σ 2 i=1−nn1 X+(Xi − a)2 = 0.σ2σ 4 i=1Решение этой системы есть a∗n = X и (σ 2 )∗n = X 2 − (X)2 .26отдел ii. методы построения оценок4.2. Найти оценку максимального правдоподобия дисперсииσ 2 нормального распределения, если среднее значение a известно.4.3.

Найти оценку максимального правдоподобия параметраθ > 0, если распределение выборки имеет нормальную плотностьсо средним θ и дисперсиейа) 2θ;б) θ2 .4.4. Найти оценку максимального правдоподобия параметраθ > 0 равномерного распределения на отрезке [0, θ].Р е ш е н и е. Функция правдоподобия выборки равна −nθ , если все Xj ∈ [0, θ],fθ (X1 , . . . , Xn ) =0,если хотя бы одно Xj 6∈ [0, θ] −nθ , если X(n) 6 θ,=0,если X(n) > θ.При фиксированных значениях выборки (и, следовательно, при фиксированном значении X(n) ) зависимость fθ (X1 , .

. . , Xn ) от переменной θ имеет видfθ (X) 6n1/X(n)X(n)θМаксимум функции правдоподобия достигается в точке θ = X(n) . Поэтомуискомая оценка максимального правдоподобия есть θn∗ = X(n) .4.5. Найти оценку максимального правдоподобия параметра θравномерного распределения на отрезкеа) [−θ, 0], θ > 0;в) [θ, θ + 2], θ ∈ R;б) [−θ, θ], θ > 0;г) [θ, 2θ], θ > 0.4.6. Найти оценку максимального правдоподобия двумерногопараметра (a, b) для равномерного распределения на отрезке [a, b].4.7.

Найти оценку максимального правдоподобия параметраα показательного распределения.4.8. Найти оценку максимального правдоподобия параметра§ 4. метод максимального правдоподобия27сдвига β ∈ R показательного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.4.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β,где α > 0, β ∈ R.

Найти оценку максимального правдоподобиядвумерного параметра (α, β).4.10. Найти оценку максимального правдоподобия параметрасдвига µ ∈ R распределения Лапласа с плотностьюfµ (y) = e−|y−µ| /2.4.11. Пусть дана выборка из двухпараметрического распределения Лапласа с плотностьюfµ,σ (y) = e−|y−µ|/σ /2σ,где µ ∈ R и σ > 0.

Найти оценку максимального правдоподобиядля двумерного параметра (µ, σ).4.12. Построить оценку максимального правдоподобия параметра α > 0 для Γ-распределения, если значение β известно.4.13. Пусть дана выборка из распределения Парето с параметрами β > 0 и θ > 0. Найти оценку максимального правдоподобияа) параметра β, если значение θ известно;б) параметра θ, если значение β известно;в) векторного параметра (β, θ).4.14.

Пусть дана выборка из распределения Вейбулла с параметрами α и θ. Построить оценку максимального правдоподобияпараметра θ > 0, если значение α > 1 известно.4.15. Найти оценку максимального правдоподобия параметраα > 0 распределения с плотностью 2 −3 −(y/α)33y α eпри y > 0,fα (y) =0при y < 0.28отдел ii. методы построения оценок4.16. Распределение Кэптейна определяется плотностьюg 0 (y) −(θ−g(y))2 /2fθ (y) = √e,2πгде g(y) — неубывающая дифференцируемая функция.

Найти оценку максимального правдоподобия параметра θ.4.17. Найти оценки максимального правдоподобия параметраθ > 0, если распределение выборки имеет плотностьа) θy θ−1 при y ∈ [0, 1];б) 2y/θ2 при y ∈ [0, θ];p2в) θe−θ /2y / 2πy 3 при y > 0;г) θ lnθ−1 y /y при y ∈ [1, e];д) e−|y| /2(1 − e−θ ) при |y| 6 θ.4.18. Пусть дана выборка из распределения Коши с параметром сдвига θ. Построить оценку максимального правдоподобияпараметра θ по выборкеа) объёма 1;б) объёма 2.4.19. На плоской фольге в неизвестной точке находится источник радиоактивного излучения, посылающий лучи равномерно по всем направлениям пространства. Параллельно фольге нарасстоянии 1 имеется экран, на котором наблюдаются вспышки,вызываемые радиоактивным излучением.

Требуется по местамвспышек на экране определить положение источника излученияна фольге. Указание: плоскость экрана принять за координатнуюплоскость xoy, ось oz направить к фольге и рассмотреть оценкукакой-нибудь одной координаты точки; используя метод максимального правдоподобия, выписать уравнение правдоподобия ирассмотреть случай n = 2.4.20. Построить оценку максимального правдоподобия параметра p распределения Бернулли.Р е ш е н и е. Плотность fp (y) распределения Бернулли относительно считающей (на множестве {0, 1}) меры равнаfp (y) = py (1 − p)1−y .§ 4. метод максимального правдоподобия29Поэтому логарифмическая функция правдоподобия равнаnnXXXi ln p + n −Xi ln(1 − p).Lp (X1 , . .

. , Xn ) =i=1i=1Точка, в которой достигается максимум функции L, находится из уравненияnnX∂Lp (X1 , . . . , Xn )1X1 =Xi −n−Xi = 0.∂pp i=11−pi=1Решение этой системы есть p∗n = X.4.21. Пусть дана выборка из биномиального распределенияс параметрами p ∈ (0, 1) и m. Найти оценку максимального правдоподобия параметраа) p, если значение параметра m известно;б) m по выборке объёма n = 1, если значение p известно.4.22. Найти оценку максимального правдоподобия параметраλ > 0 распределения Пуассона.4.23. Найти оценку максимального правдоподобия параметраp ∈ (0, 1) геометрического распределения.4.24. Пусть X1 , .