1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (Коршунов, Чернова - Сборник задач и упражнений), страница 2

. , Xn — выборка из некоторого распределения F , у которого функция распределения F (y) непрерывна истрого возрастает. Какое распределение имеет выборка Y1 , . . . , Yn ,где Yi = F (Xi )?§ 1. выборка и вариационный ряд111.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из некоторого распределения F с непрерывной функцией распределения F (y). Какое распределение имеет выборка Y1 , . . .

, Yn , где Yi = F (Xi )?1.12. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p. Какое распределение имеет выборка Y1 , . . . , Yn ,где Yi = F (Xi ), а F (y) — функция распределения Бернулли?1.13. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ. Какое распределение имеет выборка Y1 , . .

. , Yn ,где Yi = F (Xi ), а F (y) — функция распределения Пуассона?1.14. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из некоторого распределения F с плотностью f . Найти совместную плотность всех порядковых статистик (X(1) , . . . , X(n) ).1.15. В терминах общей функции распределения элементоввыборки найти функцию распределенияа) максимального члена вариационного ряда X(n) ;б) минимального члена вариационного ряда X(1) .Р е ш е н и е. а) Поскольку событие {X(n) < y} совпадает с событием{X1 < y, . .

. , Xn < y} и случайные величины X1 , . . . , Xn независимы, имеемравенстваP{X(n) < y} = P{X1 < y, . . . , Xn < y}= P{X1 < y} · . . . · P{Xn < y} = F n (y).1.16. Найти вероятность P{X(k) < y, X(k+1) > y} в терминахобщей функции распределения элементов выборки.1.17. Найти функцию распределения k-й порядковой статистики X(k) в терминах общей функции распределения F (y).1.18. Для выборки из равномерного распределения на отрезке[0, θ] найти плотность распределенияа) минимального члена вариационного ряда X(1) ;б) максимального члена вариационного ряда X(n) ;в) k-й порядковой статистики X(k) .Р е ш е н и е. в) Воспользуемся ответом к задаче 1.17 и вычислим плот-12отдел i. эмпирическое распределениеность как производную функции распределения величины X(k) :nd X i iCn y (θ − y)n−i /θndyi=k nn−1X1 X i i−1n−ii in−i−1= niCn y (θ − y)−(n − i)Cn y (θ − y)θf (y) =i=k=i=kk−1 k−1nCn−1y(θn−k− y)n/θ ;i−1iздесь использованы равенства= nCn−1и (n − i)Cni = nCn−1.Вычисление плотности можно провести и непосредственно:iCnif (y) dy = Pθ {X(k) ∈ (y, y + dy)}.Событие {X(k) ∈ (y, y + dy)} означает, что из n элементов выборки одинпринимает значения из множества dy, k − 1 элемент — левее y и n − k элементов — правее y.

Вероятность этого события вычислим в соответствии сполиномиальным распределением: y k−1 dy θ − y n−kn!Pθ {X(k) ∈ (y, y + dy)} =(k − 1)! 1! (n − k)! θθθk−1 k−1= nCn−1y(θ − y)n−k /θn dy.Следовательно, плотность распределения случайной величины X(k) равнаk−1 k−1nCn−1y(θ − y)n−k /θn . Полезно заметить, что величина X(k) /θ имеет бе-та-распределение с параметрами k и n − k + 1.1.19. Для выборки из распределения F с плотностью f найтиплотность распределенияа) минимального члена вариационного ряда X(1) ;б) максимального члена вариационного ряда X(n) ;в) k-й порядковой статистики X(k) .1.20. Для выборки из равномерного распределения на отрезке[0, θ] найти среднее значение, второй момент и дисперсиюа) минимального члена вариационного ряда X(1) ;б) максимального члена вариационного ряда X(n) ;в) k-й порядковой статистики X(k) .1.21. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из дискретногораспределеPния с вероятностями P{X1 = m} = pm , где Np= 1. Найтиmm=0распределение k-й порядковой статистики X(k) .§ 1. выборка и вариационный ряд131.22. Найти совместную функцию распределения минимального и максимального членов вариационного ряда для выборкииз некоторого распределения F .1.23. Для выборки из равномерного распределения на отрезке[0, θ] найтиа) совместную плотность минимального X(1) и максимальногоX(n) членов вариационного ряда;б) ковариацию минимального X(1) и максимального X(n) членов вариационного ряда;в) совместную плотность X(k) и X(j) , 1 6 k < j 6 n;г) ковариацию X(k) и X(j) , 1 6 k 6 j 6 n.1.24. Пусть дана выборка из показательного распределения спараметром α.а) Доказать, что случайные величины X(1) , X(2) − X(1) , .

. . ,X(n) − X(n−1) независимы.б) Каково распределение минимального члена вариационногоряда X(1) ?в) Каково распределение разности соседних порядковых статистик X(k+1) и X(k) ?г) Доказать справедливость равенстваEX(k) = a−1 ((n − k + 1)−1 + · · · + n−1 ).1.25. Найти ошибку в следующем рассуждении: «Пусть данавыборка X1 , .

. . , Xn из некоторого распределения. Поскольку прикаждом элементарном исходе случайная величина X(n) совпадаетс одним из элементов выборки, то X(n) имеет такое же распределение, как и X1 ».1.26. Пусть дана выборка из распределения F такого, чтоlim y(1 − F (y) + F (−y)) = 0.y→∞Доказать, что X(1) /n → 0 и X(n) /n → 0 по вероятности.1.27. Пусть дана выборка из распределения с конечным средним значением. Доказать, что X(1) /n → 0 и X(n) /n → 0 почтинаверное.14отдел i. эмпирическое распределение1.28. Для выборки из равномерного распределения на отрезке [0, θ] найти предельное при n → ∞ распределение случайнойвеличиныа) nX(1) /θ;б) n(θ − X(n) )/θ.1.29.

Пусть дана выборка из равномерного распределения наотрезке [0, θ]. Зафиксируем натуральное число k. Доказать слабую сходимость при n → ∞ распределения случайной величиныа) nX(k) /θ;б) n(θ − X(n−k+1) )/θк Γ-распределению с параметрами 1 и k.Р е ш е н и е. а) Воспользовавшись решением задачи 1.18в), выпишем плотность fn (y) распределения величины nX(k) /θ при y < n:k−1fn (y) = Cn−1(y/n)k−1 (1 − y/n)n−k .Последнее выражение равно вероятности получить ровно k − 1 успех в n − 1испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха pn−1 = y/n.

Воспользовавшись оценкой скорости сходимости в теореме Пуассона, для любого y ∈ [0, n]получим оценкуy k−1 −y e 6 (n − 1)p2n−1 6 y 2 /n.fn (y) −(k − 1)!Следовательно, имеет место равномерная по y > 0 из любого компакта сходимость плотности fn (y) к плотности Γ-распределенияlim fn (y) =n→∞y k−1 −yy k−1 −ye =e .(k − 1)!Γ(k)Равномерная сходимость плотностей влечёт слабую сходимость распределения величины nX(k) /θ к Γ-распределению с параметрами 1 и k.1.30.

Пусть дана выборка из распределения с непрерывнойфункцией распределения F (y). Для любого фиксированного k > 1найти слабый предел при n → ∞ распределения случайной величиныа) nF (X(k) );б) n(1 − F (X(n−k+1) )).1.31. Пусть дана выборка из равномерного распределения наотрезке [0, θ]. Для любых фиксированных k > 1 и j > 1 найти совместное предельное при n → ∞ распределение случайноговектора(nX(k) /θ, n(θ − X(n−j+1) )/θ).§ 2. эмпирическая функция распределения151.32. Пусть дана выборка из равномерного распределения наотрезке [0, θ]. Для любых фиксированных k > 1 и j > 1, k < j,найти совместное предельное при n → ∞ распределение случайного вектора(nX(k) /θ, nX(j) /θ).1.33.

Пусть дана выборка из равномерного распределения наотрезке [0,1]. Показать, что если k и n растут таким образом,√что k/n → p, то распределение случайной величины n (X(k) −k/n) слабо сходится к нормальному закону с нулевым средним идисперсией p(1 − p).1.34. Пусть дана выборка из равномерного распределения наотрезке [0,1]. Показать, что если k, j и n растут таким образом,что k/n → p и j/n → s, p < s, то распределение случайноговектора√√( n (X(k) − k/n), n (X(j) − j/n))слабо сходится к двумерному нормальному закону.

Найти параметры предельного распределения.1.35. Пусть дана выборка из показательного распределенияс параметром α. Найти слабый предел распределения разностиαX(n) − ln n.§ 2. Эмпирическая функция распределенияЭмпирическим распределением Pn∗ , построенным по выборке X1 , . . . , Xn ,называется распределение, определяемое для любого борелевского множестваB ⊆ R равенствомPn∗ (B) =nνn (B)1X=I{Xi ∈ B},nn i=1где νn (B) — число элементов выборки, попавших в множество B. Для каждого фиксированного элементарного исхода Pn∗ есть распределение на R. Длякаждого фиксированного борелевского множества B отображение Pn∗ (B) :Ω → R есть случайная величина.Эмпирической функцией распределения Fn∗ (y), построенной по выборкеX1 , .

. . , Xn , называется функцияFn∗ (y) =n1XI{Xi < y}.n i=116отдел i. эмпирическое распределениеВ силу определения справедливо равенство Fn∗ (y) = Pn∗ ((−∞, y)). Для каждого фиксированного элементарного исхода функция Fn∗ есть функция распределения на R.

Для каждого фиксированного числа y отображение Fn∗ (y) :Ω → R есть случайная величина.Справедлива следующаяТеорема Гливенко – Кантелли. Пусть F (y) — общая функция распределения элементов выборки. Тогда почти наверное при n → ∞ имеетместо сходимостьsup |Fn∗ (y) − F (y)| → 0.y∈R2.1. Пусть (−0,8; 2,9; 4,3; −5,7; 1,1; −3,2) — наблюдавшиесязначения выборки. Построить эмпирическую функцию распределения и проверить, что F6∗ (−5) = 1/6, F6∗ (0) = 1/2 и F6∗ (4) = 5/6.2.2.