1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (Коршунов, Чернова - Сборник задач и упражнений), страница 10

Пусть дана выборка из распределения Вейбулла с параметрами α > 0 и θ > 0. Найти достаточную статистику для θ,если значение α известно.10.18. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с плотностью θxθ−1 при x ∈ (0, 1), где θ > 0. Найти достаточную статистику для параметра θ.10.19. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из распределения Бернулли с параметром p. Является ли X достаточной статистикойпараметра p? Доказать, что статистика вида S = g(nX) не является достаточной, если отображение g : {0, . . . , n} → R не взаимнооднозначно.Р е ш е н и е. Пусть k ∈ {0, 1, . . . , n} и числа k1 , . . . , kn ∈ {0, 1} таковы,что k1 + · · · + kn = k. Имеем равенстваP{X1 = k1 , .

. . , Xn = kn |nX = k} ==P{X1 = k1 , . . . , Xn = kn }P{nX = k}pk (1 − p)n−k1= k.Cnk pk (1 − p)n−kCnТаким образом, при условии nX = k любой набор из k единиц и n − k нулейимеет одну и ту же вероятность 1/Cnk и не зависит от параметра p.10.20. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из биномиального распределения с параметрами m и p. Найти условное совместное распределение выборки при условии X1 + · · · + Xn = k. Является ли Xдостаточной статистикой для параметра p при известном m?10.21.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Найти условное совместное распределениевыборки при условии X1 + · · · + Xn = k. Является ли X достаточной статистикой для параметра λ? Являются ли достаточными§ 10. достаточные статистики59статистики (X)2 , X 2 и sin X?10.22. Является ли статистика S = nX − 5 достаточной дляпараметра λ распределения Пуассона? Будут ли достаточнымиследующие статистики:а) 2S;г) sin S;2б) S ;д) eS ;2в) S/n ;е) −S?10.23.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Доказать, что статистика вида S = g(nX)достаточна для параметра λ только в случае, когда отображениеg : Z+ → R взаимно однозначно.10.24. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из геометрического распределения с параметром p. Найти условное совместное распределение выборки при условии X1 + · · · + Xn = k.

Является ли Xдостаточной статистикой для параметра p?10.25. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Fθ намножестве целых чисел {1, . . . , m}. Доказать, что набор из m статистикnXν(k) =I{Xi = k}, k = 1, . . . , m,i=1составляет достаточную для параметра θ статистику.Р е ш е н и е. Рассмотрим случай m = 2. Пусть ν(1) = n1 и ν(2) = n − n1 .При выполнении этого условия выборка X1 , . . . , Xn имеет равномерное дискретное распределение на множестве последовательностей из единиц и двоек,содержащих ровно n1 единиц и n − n2 двоек; это равномерное распределениене зависит от θ.10.26. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из равномерного распределения на конечном множестве {1, . . . , θ}, где θ — целый положительный параметр. Найти достаточную для параметра θ статистику.10.27. Привести пример распределения, зависящего от параметра θ произвольной природы, для которого все достаточныестатистики получаются взаимно однозначными преобразованиями вариационного ряда.60отдел iv. сравнение оценок10.28. Пусть Fθ , θ ∈ Θ, — параметрическое семейство распределений на решётке целых чисел такое, что для некоторого k ∈ Zinf Fθ (k) > 0.θ∈ΘПусть S — достаточная для параметра θ статистика, и статистикиS и T независимы при всех значениях θ. Доказать, что распределение статистики T не зависит от θ.§ 11.

Полные статистикиПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений и X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Fθ . Статистика S(X1 , . . . , Xn ),построенная по данной выборке, называется полной, если функция Eθ g(S)переменной θ равна тождественно нулю в том и только в том случае, когдаPθ {g(S) = 0} = 1 при любом значении параметра θ ∈ Θ.11.1. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из распределения Fθ , θ ∈Θ ⊆ Rk , и S(X1 , . . . , Xn ) — некоторая статистика со значениями в Rm . Пусть борелевские функции g1 и g2 , действующие изRm в Rk , таковы, что g1 (S) и g2 (S) имеют одинаковое смещение.Доказать, что если статистика S полна, то Pθ {g1 (S) = g2 (S)} = 1.11.2. Доказать полноту статистики X для выборки из нормального распределения со средним a и дисперсией 1.Р е ш е н и е. Поскольку статистика X имеет нормальное распределениесо средним a и дисперсией 1/n, предположение Ea g(X) = 0 для любого действительного числа a означает тождественное равенство нулю интеграла1p2π/nZ∞g(x) e−(x−a)2n/2dx ≡ 0,−∞причём интеграл сходится абсолютно. Следовательно, абсолютно сходится итождественно равен нулю интегралZ∞H(a) ≡h(x) eax dx,−∞2где h(x) = g(x) e−x n/2 .

Представим функцию h в виде разности положительной и отрицательной частей: h(x) = h+ (x) − h− (x), гдеh+ (x) = h(x) · I{h(x) > 0} > 0иh− (x) = −h(x) · I{h(x) < 0} > 0.61§ 11. полные статистикиВвиду равенства H(a) ≡ 0 при всех a совпадают значения интеграловZ∞H + (a) =h+ (x) eax dx =−∞Z∞h− (x) eax dx = H − (a).−∞Отсюда при a = 0 вытекает равенствоZ∞c=Z∞h+ (x) dx =−∞h− (x) dx.−∞Поэтому функции f (x) = h (x)/c и f (x) = h− (x)/c являются плотностями некоторых абсолютно непрерывных распределений F + и F − в R.

Такимобразом, совпадают следующие преобразования Лапласа:+Z∞+−+Z∞ax +e f (x)dx ≡ϕ (a) =−∞eax f − (x)dx = ϕ− (a).−∞Рассмотрим аналитическое продолжение ϕ+ (a) и ϕ− (a) на плоскость комплексного переменного. Функцииϕ+ (a + ib) =Z∞−∞e(a+ib)x f + (x)dxиϕ− (a + ib) =Z∞e(a+ib)x f − (x)dx−∞являются аналитическими на всей комплексной плоскости и совпадают на вещественной прямой. По внутренней теореме единственности эти функциисовпадают на всей комплексной плоскости и, в частности, на мнимой прямой a = 0. Осталось заметить, что ϕ+ (ib) и ϕ− (ib) суть характеристическиефункции в точке b распределений F + и F − соответственно.

Из совпаденияхарактеристических функций следует равенство плотностей f + (x) = f − (x)почти всюду. Следовательно, h+ (x) = h− (x) почти всюду относительно мерыЛебега, и, соответственно, h(x) = 0. Поэтому g(x) = 0 почти всюду относительно меры Лебега, и статистика X является полной.11.3. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения с нулевым средним и дисперсией σ 2 . Доказать полнотустатистики X 2 для параметра σ 2 .11.4. Доказать полноту статистики X для выборки из показательного распределения с параметром α.11.5.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β,62отдел iv. сравнение оценокгде β ∈ R. Доказать полноту статистики X(1) .11.6. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β,где α > 0, β ∈ R.а) Доказать, что X(1) — полная статистика для β при известном значении α.б) Доказать, что X — полная статистика для α при известномзначении β.в) Привести пример полной статистики для двумерного параметра θ = (α, β).11.7.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ], θ ∈ Θ. Доказать, что статистика X(n)является полной для параметра θ при Θ = (0, ∞). Является лиX(n) полной статистикой для θ при Θ = (1, ∞)?11.8. Доказать полноту статистики S = max{|X1 |, . . .

, |Xn |}для параметра θ равномерного распределения на отрезке [−θ, θ].11.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [θ, θ+1]. Доказать, что двумерная статистика(X(1) , X(n) ) не является полной.Р е ш е н и е. При фиксированном n укажем функцию gn : R2 → Rтакую, что Eθ gn (X(1) , X(n) ) = 0 для любого θ ∈ R, но Pθ {gn (X(1) , X(n) ) =0} 6= 1 (даже равно нулю).Для этого найдём Eθ X(1) = θ + 1/(n + 1) и Eθ X(n) = θ + 1 − 1/(n + 1).Искомой функцией может служить gn (x, y) = y − x + 1 + 2/(n + 1).11.10. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [θ, 2θ]. Доказать, что двумерная статистика(X(1) , X(n) ) не является полной.11.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с плотностью θy θ−1 при y ∈ (0, 1), где θ > 0. Доказать, что статистикаln X является полной для параметра θ.11.12. Доказать полноту статистики X для выборки из распределения Бернулли с параметром p.§ 12. эффективные оценки63Р е ш е н и е.

Величина nX имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Поэтомуnn p kXXg(k/n)Cnk pk (1 − p)n−k = (1 − p)ng(k/n)CnkEp g(X) =.1−pk=0k=0Pk kСумма nk=0 g(k/n)Cn x является полиномом степени не выше n по переменной x = p/(1 − p). Предположение Ep g(X) = 0 для любого p ∈ (0, 1) означает, что любая точка x ∈ (0, ∞) является корнем этого полинома. Следовательно, все коэффициенты g(k/n)Cnk полинома равны нулю. Таким образомg(k/n) = 0 при k = 0, 1, . .

. , n, и, тем самым, X — полная статистика.11.13. Доказать полноту статистики X для выборки из биномиального распределения с параметрами m и p, если значение mизвестно.11.14. Доказать полноту статистики X для выборки из распределения Пуассона с параметром λ.11.15. Доказать полноту статистики X для выборки из геометрического распределения с параметром p.11.16. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на конечном множестве {1, . . . , θ}, где θ — целый положительный параметр. Доказать, что статистика X(n) является полной для параметра θ.11.17. Пусть X1 , . .