1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (Коршунов, Чернова - Сборник задач и упражнений)

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУКСИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С. Л. СОБОЛЕВАД. А. КОРШУНОВ, Н. И. ЧЕРНОВАСБОРНИКЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКЕИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕУчебное пособиеНОВОСИБИРСКИЗДАТЕЛЬСТВО ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ2004УДК 519.2ББК 22.172К66Коршунов Д. А., Чернова Н. И.Сборник задач и упражнений по математической статистике:Учебное пособие. — 2-е изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004. — 128 с.ISBN 5–86134–121–4.Сборник содержит 461 задач и упражнений, относящихся к основным разделам учебного курса математической статистики. Весьма широко представлены теоретические задачи на эмпирическое распределение, построение и свойства оценок, интервальное оценивание параметров и проверку статистических гипотез. Приведены решения типовыхзадач. Все задачи снабжены ответами.

В приложение включены таблицы наиболее важных распределений.Данное учебное пособие предназначено для студентов и аспирантовматематических, физических, естественных, технических и экономических специальностей.Табл. 6. Библиогр. 26 назв.Адрес авторов: 630090 Новосибирск, Университетский пр., 4.Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАНE-mail: korshunov@math.nsc.ru, cher@nsu.ruК1602090000−01Без объявл.Я82(03)−04ISBN 5–86134–121–4c Коршунов Д. А., Чернова Н. И., 2004c Институт математикиим. С.

Л. Соболева СО РАН, 2004СОДЕРЖАНИЕПредисловие ко второму изданию5Предисловие к первому изданию6О т д е л I. Эмпирическое распределение8§ 1. Выборка и вариационный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§ 2. Эмпирическая функция распределения . . . . . . . . . . . 15О т д е л II. Методы построения оценок§ 3. Метод моментов . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . .§ 5. Байесовские оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20202530О т д е л III. Свойства оценок34§ 6. Несмещённость и состоятельность . . . . . . . . . . . . . . 34§ 7. Асимптотическая нормальность . . . . . .

. . . . . . . . . . 43О т д е л IV. Сравнение оценок§ 8. Среднеквадратический подход .§ 9. Асимптотический подход . . . .§ 10. Достаточные статистики . . . .§ 11. Полные статистики . . . . . . .§ 12. Эффективные оценки . . . . . .§ 13. Неравенство Рао – Крамера . .................................................................................................52525455606367О т д е л V. Доверительное оценивание74§ 14. Доверительные интервалы . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 74§ 15. Асимптотические доверительные интервалы . . . . . . . . 774О т д е л VI. Проверка гипотез§ 16. Различение двух простых гипотез: основные понятия§ 17. Байесовские и минимаксные критерии . . . . . . . . .§ 18. Наиболее мощные критерии . . . . . . . . . . . . .

. .§ 19. Равномерно наиболее мощные критерии . . . . . . . .§ 20. Критерии согласия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................818183859193О т д е л VII. Задачи на повторение102§ 21. Оценка параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 102§ 22. Проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Приложения1.Важнейшие дискретные распределения2.Важнейшие плотности распределения .3.Таблица нормального распределения . .4.Таблица χ2 -распределения . . . . . . . .5.Таблица распределения Стьюдента . . .6.Таблица распределения Колмогорова . ...................................................................110110111112113114115Список литературы116Ответы118ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮВторое издание задачника отличается от первого незначительно. Все задачи сохранили прежние номера, что позволяет использовать на практических занятиях как первое, так и второе издания одновременно.

Немногочисленные изменения вызваны, в основном, опечатками и неточностями, которые не удалось избежать в первом издании. Мы глубоко признательны своим коллегам и студентам, сообщавшим нам о них.Новосибирск,февраль – март 2004 г.Д. А. КоршуновН. И. ЧерноваБолее развитая, более рефлектированная мераесть необходимость; судьба, Немезида, ограничивается в общем определённостью меры [в томсмысле], что всё чрезмерное, всё, что делает себяслишком великим, слишком высоким, приводитсяею к другой крайности, умаляется, уничижаетсяи тем самым восстанавливается средняя мера —посредственность.Г. В. Фр. Гегель. Наука логикиПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮНастоящий сборник призван обеспечить достаточным количеством материала семинарские занятия по курсу «Математическая статистика» на математических факультетах университетов.Свою цель авторы видели в том, чтобы собрать по возможностиболее широкий набор задач и упражнений, который освещал быосновные разделы стандартного университетского курса математической (теоретической) статистики, преимущественно теориюоценок параметров и теорию проверки гипотез.В сборник включены в основном теоретические задачи, общимчислом более четырёхсот.

Источником задач послужили многочисленные книги и сборники задач по статистике. Часть задачи упражнений заимствована из опыта преподавания авторами иих коллегами статистических курсов на различных факультетахНовосибирского государственного университета. При этом авторы стремились унифицировать формулировки задач из разныхисточников, которые изначально были весьма разнородными.С целью использования задачника для самостоятельной работы приведены решения основных типовых задач. Идя навстречумногочисленным пожеланиям студентов, мы включили в сборникответы ко всем задачам.Мы искренне признательны коллективу кафедры теории вероятностей и математической статистики Новосибирского университета, в составе которого имеем честь работать.

Совместная работас А. А. Боровковым, И. С. Борисовым, В. И. Лотовым, А. И. Саханенко, С. Г. Фоссом и В. В. Юринским оказала решающее влияниена формирование наших взглядов на преподавание статистики.Мы хотели бы особо поблагодарить А. Д. Коршунова, В. И. Лотова и С. Г. Фосса, взявших на себя труд просмотреть рукопись,за их замечания и предложения по форме и существу изложения материала, способствовавшие устранению ряда неточностейи неясных мест. Мы будем весьма признательны за любые критические замечания и предложения как по тексту и составу задач,так и по структуре сборника в целом.Новосибирск,декабрь 2000 г.

– январь 2001 г.Д. А. КоршуновН. И. ЧерноваОТДЕЛ IЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ§ 1. Выборка и вариационный рядПусть F — некоторое распределение на действительной прямой. Выборкойобъёма n из распределения F называется последовательность независимыхслучайных величин X1 , . . . , Xn с общим распределением F .Статистикой называется любая измеримая функция выборки, т. е.

любая случайная величина вида S(X1 , . . . , Xn ), где S — измеримая по Борелюфункция из Rn в R.Важными примерами статистик являются выборочные моменты. Для выборочного среднего значения используется обозначениеX =n1XXi ,n i=1а для выборочного момента порядка k —Xk =n1X kXi .n i=1Вообще, для произвольной функции g : R → R полагаетсяg(X) =n1Xg(Xi ).n i=1Для выборочной дисперсии используются обозначенияS 2 = X 2 − (X)2иS02 =n1 X(Xi − X)2 .n − 1 i=1Другие важные примеры статистик связаны с понятием вариационногоряда.

Если все n элементов выборки X1 , . . . , Xn расположены в порядкенеубывания их величины и члены такой неубывающей последовательностиобозначены X(k) : X(1) 6 · · · 6 X(n) , то каждое из X(k) называется порядковой статистикой, а соответствующая неубывающая последовательность —вариационным рядом, построенным по выборке X1 , . . . , Xn объёма n.§ 1. выборка и вариационный ряд9Значение X(k) , стоящее на k-м месте вариационного ряда, называется k-йпорядковой статистикой. Случайная величина X(1) называется минимальным членом вариационного ряда, а X(n) — максимальным.Выборочной медианой называется статистика(X(m) ,если n = 2m − 1 (нечётно),∗ζ =X(m) + X(m+1), если n = 2m (чётно).2Выборочной квантилью ζδ∗ уровня δ ∈ (0, 1) называется порядковая статистика X([nδ]+1) ; здесь [x] — целая часть числа x.1.1.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [a, b], a < b, причём значение параметра a известно.Какие из перечисленных ниже функций являются статистиками?а) 2X;б) X(n) − a/n;в) (a + b)/2;г) X;д) X1 /(b − a);nPе)Xi ;ж) 199;з) X1 + X3 + 1;и) X(1) .i=1Р е ш е н и е. а), б) Функции являются статистиками, поскольку зависятлишь от элементов выборки; в) не является статистикой, поскольку зависитот неизвестного параметра b.1.2. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ > 0. Какие из перечисленных ниже функцийявляются статистиками?nQλΣXi −nλа) Qe;г) X1 − λ;ж)Xi2 ;Xi !i=1nPб) 201;д)(Xi − λ)2 ;з) λ2 + λ;i=1в) X;е)nPXi ;i=11.3. Пусть X1 , . . . , Xn —ния с параметрами a и σ 2 .и) X(n) .выборка из нормального распределе-а) Вычислить среднее значение и дисперсию статистики X.Какое распределение имеет X?б) Вычислить среднее значение выборочной медианы.в) Вычислить среднее значение статистик S 2 и S02 .1.4.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона10отдел i. эмпирическое распределениес параметром λ. Вычислить среднее значение и дисперсию статистики X. Имеет ли статистика X распределение Пуассона? Нормальное распределение?1.5. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [a, b]. Вычислить среднее значение и дисперсиюстатистики X. Имеет ли статистика X равномерное распределение? Нормальное распределение?1.6. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из показательного распределения с параметром 3. Найти распределение выборки Y1 , . . . , Yn ,где Yi = 1 − e−3Xi .Р е ш е н и е. Значение функции распределения случайной величины Y1 вточке y ∈ [0, 1) равноP{Y1 < y} = P{1 − e−3X1 < y}nln(1 − y) o= P X1 < −= 1 − eln(1−y) = y.3Следовательно, Y1 , . . . , Yn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 1].1.7. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с плотностью2y при y ∈ [0, 1],f (y) =0 при y 6∈ [0, 1].Какое распределение имеет выборка Y1 , . . .

, Yn , где Yi = Xi2 ?1.8. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с плотностью2/y 3 при y > 1,f (y) =0при y < 1.Какое распределение имеет выборка Y1 , . . . , Yn , где Yi = 1−1/Xi2 ?1.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 1]. Найти распределение выборки Y1 , . . . , Yn ,где Yi = − ln Xi .1.10. Пусть X1 , . .