tus8 (Практические занятия по теории управления), страница 2

Переход отспектральной плотности к ковариационной функции выполняется с помощью обратногопреобразования Фурье:1R g () S g () e i d .2  При   0 в силу четности S g () получаем формулу для вычисления дисперсии:11D g  R g (0) S g () d 2  8 S g () d .02. Описание систем. Рассматриваются линейные одномерные стационарные системы управления, описываемые обыкновенным дифференциальным уравнениемan x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t ) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; a0 ,  , an , b0 , , bm – постоянные коэффициенты. Если к системе приложен случайный входной сигнал, то на выходе такжеполучается случайный сигнал.

Для обозначения случайных сигналов будем использоватьпрописные буквы G (t ), X (t ) .Учтем, что для стационарных систем импульсная переходная функция k (t , ) является функцией разности t     своих аргументов: k (t , )  k ( ) , причем k()  0при   0 .Частотной характеристикой W (i) стационарной линейной системы называется преобразование Фурье импульсной переходной функции:W (i)  F k ()  k () e i d .0Существует связь между частотной характеристикой и передаточной функцией:W (i)  W (s )s i .Частотная характеристика является комплекснозначной функцией вещественногоаргумента  – частоты, изменяющейся в промежутке от 0 до   , и может быть представлена в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:W (i)  A() e i ()  A()   cos ()  i sin ()   U ()  i V () ,где A () , () – амплитудная и фазовая частотные характеристики; U () , V ()– вещественная и мнимая частотные характеристики; A()  W (i) ,()  arg W (i) , U ()  ReW (i) , V ()  Im W (i) :A() U 2 ()  V 2 () ,()  arctgV (),U ()arctgV ()  , U ()  0, V ()  0,U ()arctgV () , U ()  0, V ()  0,U (),2,2U ()  0, V ()  0,U ()  0, V ()  0,U ()  0, V ()  0.Заметим, что в начале координат arg W (i) не определен.9Частотная характеристика W (i) изображается годографом в координатах U, Vили в полярных координатах A,  , называемым амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис.

1).VW (i)V ()A()()U ()UРис. 1Пример 1. Построить частотные характеристики усилительного звена (1.7) с коэффициентом усиления K  5 . Уравнение звена: x (t )  5 g (t ) .1. По уравнению найдем передаточную функцию: W ( s )  5 .2. Найдем частотную характеристику по формуле связи: W (i)  5 .3. Имеем:A ()  5 , ()  0 , U ()  5 , V ()  0 .Полученные частотные характеристики изображены на рис. 1.AA ()  5V5()  000W (i)  505UРис.

1Пример 2. Построить частотные характеристики дифференцирующего звена (1.8). Дифференциальное уравнение звена: x (t )  g (t ) .1. По дифференциальному уравнению найдем передаточную функцию: W (s )  s .102. Найдем частотную характеристику по формуле связи: W (i)  i   e3. Используя формулы, имеем:i2., U ()  0 , V ()   .2Полученные частотные характеристики изображены на рис. 2.A ()   ,() AV20W (i)000UРис.

2Пример 3. Построить частотные характеристики интегрирующего звена (1.9). Дифференциальное уравнение звена: x (t )  g (t ) .1. По дифференциальному уравнению найдем передаточную функцию: W (s ) 1.s2. Найдем частотную характеристику по формуле связи:W (i) 11 1 i i  e 2 .i 3. Используя формулы, имеем:A() 1,()  ,2U ()  0 , V ()  1.Полученные частотные характеристики изображены на рис. 3.A0U0V2  0W (i)Рис. 311Пример 4. Построить частотные характеристики системы, описываемой дифференциальным уравнением 2 x (t )  x (t )  2 g (t ) . Дифференциальное уравнение звена в операторной форме:(2 p  1)x  2 g .1. По дифференциальному уравнению найдем передаточную функцию:W (s ) 2.2s  12. Найдем частотную характеристику по формуле связи:W (i) 224i.2i  1 1  421  4 23.

Используя формулы, имеем:A() 4  16 2(1  42 ) 221  42, ()   arctg 2 ; U () 21  4 2; V ()  41  4 2.Заметим, что [U ()  1 ]2  V 2 ()  1 , следовательно, годограф частотной характеристики представляет собой полуокружность. Искомые характеристики изображены на рис.4.A200V   00122UW (i)Рис.

4Пример 5. Построить амплитудно-фазовую частотную характеристику системы,заданной структурной схемой (рис. 5).g1s 11s2Рис. 5 1. Найдем передаточную функцию системы:123sx133(s  1)(s  2).W (s )  321ss3s3s1(s  1)(s  2)2. Получим частотную характеристику и выделим ее действительную и мнимуючасти:W (i) 3 i3  32  3iU ()  992  (3  2 ) 2992  (3  2 ) 2,V ()  i3(3  2 )93  (3  2 ) 23(3  2 )93  (3  2 ) 2;.Амплитудно-фазовая частотная характеристика изображена на рис.

6. V113  0UW (i)0Рис. 613.