tus8 (Практические занятия по теории управления)
Описание файла
Файл "tus8" внутри архива находится в папке "Практические занятия по теории управления". PDF-файл из архива "Практические занятия по теории управления", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория автоматического управления (тау)" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория автоматического управления (тау)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Семинар 8.АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХСИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСАОписание сигналов и систем1. Описание сигналов. Используется преобразование Лапласа сигнала g (t ) :G (s ) Lg (t ) g (t ) e st dt ,0где g (t ) – r-мерная вектор-функция; G (s ) – ее изображение по Лапласу.2. Описание систем.
Рассматриваются линейные стационарные многомерные системы, описываемые уравнениями:x (t ) A x (t ) B g (t ) , x(0) x 0 ;y (t ) C x (t ) ,где x – n-мерный вектор состояния; g – r-мерный вектор входных воздействий; y – kмерный вектор выхода; x 0 – начальное состояние; t – время, t 0 0 – начальный моментвремени; A, B, C – матрицы размера ( n n ), ( n r ), ( k n ) соответственно.Импульсные переходные функции по состоянию и выходу стационарной системыявляются функциями разности t своих аргументов:K x (t , ) K x (t ) K x () ,K y (t , ) K y (t ) K y () .Передаточной функцией W x (s ) стационарной линейной многомерной системыпо состоянию называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции посостоянию:xxW (s ) L K () K x () e sd .0Передаточной функцией W y (s ) стационарной линейной многомерной системыпо выходу называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции по выходу:W y (s ) L K y () K y () e sd .0Передаточные функции W x (s ) , W y (s ) представляются матрицами размера( n r ), ( k r ) соответственно, элементы которых являются функциями комплексногопеременного s .
Они могут быть найдены по формуламW x (s ) sE A B ,1W y (s ) C sE A B .11Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) линейная стационарная многомерная система, описываемая уравнениями;в) начальные условия x (0) x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и вектора выходаy (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти изображение входного сигнала: G (s ) L g (t ) .2. Найти матрицы sE A , C sE A 11и передаточные функции по формуламW x (s ) sE A B ,1W y (s ) C sE A B .13. Используя связи вход-состояние и вход-выход, найти изображение по Лапласузаконов изменения векторов состояния и выхода:X (s ) sE A 1 x 0 W x (s ) G (s ) , X c (s )X вын ( s )Y (s ) C sE A 1 x 0 W y (s ) G (s ) . Yc ( s )Y вын ( s )4.
Найти законы изменения векторов состояния и выхода с помощью обратногопреобразования Лапласа:x (t ) L1 X (s ) x c (t ) x вын (t ) ,y (t ) L1 Y (s ) yc (t ) y вын (t ) .При выполнении пп. 1 и 4 применяются табл.1 преобразования Лапласа и его свойства.2Пример 1. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1 x1 2 x 2 g ,y x1 x 2 ,x 2 2 x1 x 2 ,с начальными условиями x1 (0) 1 , x 2 (0) 1 при входном сигнале g (t ) e t 1 (t ) . Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1 1 2 x1 1 g , x2 2 1 x2 0 ABx y 1 1 1 . x2 C1. Найдем изображение входного сигнала: G (s ) 1.s 12.
Получим передаточные функции: s 1 2 ,2 s 1 sE A sE A 1s 1(s 3)(s 1)2 (s 3)(s 1) 1C sE A 1 1 1 sE A 1 s 31 W x (s ) sE A 1 B sE A 1 02(s 3)(s 1) ,s 1(s 3)(s 1) 1 ,s 3s 1(s 3)(s 1) ,2 (s 3)(s 1) 11.W y (s ) C sE A 1 B 1 1 sE A 1 0 s 33. Определим изображения законов изменения векторов состояния и выхода:s 1(s 3)(s 1)X (s ) 2 (s 3)(s 1)2(s 3)(s 1) s 1(s 3)(s 1) s 1 1 (s 3)(s 1) 1 s 12 1 (s 3)(s 1) 31 1 11 1 1ss(3)(1)s1sss131, 1 4 1221 1 s 1 (s 3)(s 1)(s 1) s 1 s 3 s 1 s 1X c (s ) 1Y (s ) s 31 s 3X вын (s ) 1 1111 . 1 s 3 s 1 2(s 3) 2(s 1)4.
Находим искомые законы изменения векторов состояния и выхода: e t 1 e 3t e t 0,25e 3t 0,75e t,x (t ) t 3tttttt3 e 4 e 2e e 0,25e 0,5e 0,75e x c (t )x вын (t )y (t ) L1Y ( s ) 0,5e 3t 0,5e t .Пример 2. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемыx1 x 2 g1 ,y1 x 2 ,x 2 x1 g 2 ,y 2 x1 0,5 x 2с начальными условиями x1 (0) 1 , x 2 (0) 0 при входном сигнале g1 (t ) 2 1 (t ) ,g 2 (t ) 1 (t ) . Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1 0 1 x1 1 0 g1 , x2 1 0 x2 0 1 g 2 AB 0 1 x1 .y 1 0,5 x 2 C1.
Определим изображение входного сигнала: G (s ) 2. Получим передаточные функции: s 2 s 11s 1sEA,sEA 1 s 1 2s 142s1s.1 s2 1 ,s s2 12s10 1 , sE A 1C sE A 1 1 0,5 0,5s 1 s2 1 1 s 2210 s 1 s 1 ,W x (s ) sE A 1 B sE A 1 s 0 1 1 2 s 1 s2 1s 1 22s1s10 1 11 1 0 y. sE A W (s ) C sE A B 10,501 s 0,5 0,5s 1 2s2 1 s 1 1 2 s 1 s 0,5 2 s 1s3.
Найдем изображения законов изменения векторов состояния и выхода: s 2X (s ) s 1 1 2s 11 s 1s s2 12 s1 s2 1 0 1 2s 11 s 1s s2 122 s 1 s22 s 2s 1 s + 2s - 1 122s2 1 s 2 1 s (s 1) s (s 1) s, 2s 22 1 2+ s 2 s 1 s (s 2 1) s (s 2 1) s s 2 1 X c (s )X вын (s ) 1 2 s 1Y (s ) s + 0,5 2 s 1s 1 0,5s 1 s2 1 s2 1 1 s 2 1 0 s + 0,5 2 s 1s 1 0,5s 1 s2 1 s22 s 1 s2 22s 22 s (s 1) s s 1 .s 4 2s 2 22s1s2 12(s1)54. Находим искомые законы изменения векторов состояния и выхода: cos t 1 2 sin t cos t 1 2 sin t x (t ) L1 X (s ) , sin t 2 sin t 2 cos t 2 2 cos t x“ (t )x"/… (t ) 2 2 cos t y (t ) L1Y (s ) .■ 2 sin t cos t Пример 3.
Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемыx1 x 2 g ,y1 x1 x 2 ,x 2 x1 2 x 2 ,y 2 x1с начальными условиями x1 0 1, x 2 0 1 при входном сигнале g t 1 t . Перепишем уравнения состояния и выхода в матричной формеddt1 x1 0 1 2 x2 A t x1 1 g ,0 x2 B t 1 1 y 1 0 C t 11. Найдем изображение входного сигнала: G s .s2. Получим передаточные функции: s22s 1 1 ,sE A sE A s 111 s 2 2 s 11 1 sE A 1C sE A 1 1 0 WW6yx 1s 1 s22 s 1s sE A 1 B sE A 1 s C sE A 1 B10 x1 . x2 s 12 ,ss 12 1,2s 1 1s 11 s2 s 12 ,1 2 s 1 1 1 1 sE A 1 1 0 0 1 s 1 . s2 2 s 1 3.
Найдем изображения законов изменения векторов состояния и выхода: s2 s 12X s 1 2 s 1 s2 s 1 1 s 12 1 1 1 ss s 12 s 12 1212 1 s 2 1 222111sssss1s1s,1111 2 21s1s11ssss X c s s Xвын 1s 1Y s s 22 s 1 1 1 s 1 1 1 s 2 s 2s 12 s 1 1s 1111 0 s s 1 0 s s 1.11s2 12 1 s s 1 222s s 1 s s 1 s 1Y c s Y вын s Представим слагаемое1в виде1s s 1s s 1где A, B, C – неопределенные коэффициенты.22ABC,s s 1 s 12Умножая на общий знаменатель, находим A s 12 B s s 1 C s 1 .При s 1, s 0, s 1 последовательно получаем C 1, A 1, B 1 :1s s 12111.s s 1 s 124.
По формулам 2, 6, 7, 23 табл.1 найдем законы изменения векторов состояния ивыхода: e t t e t 2 2 e t 2 t e t 2 3 e t t e t x t t tt 1 2 e t t e t ,eete1 xвын t xc t 0 e t 1 1 e t .y t t ttttte t e 2 2 e 2t e 2 3 e t e yc t yвын t 7ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ.
ПРИМЕНЕНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕОписание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания детерминированных сигналов используетсяпреобразование Фурье:G () F g (t ) g (t ) e i t dt ,где g (t ) – сигнал; G () – его изображение по Фурье.В качестве моделей случайных сигналов рассматриваются стационарные одномерные случайные процессы, например G (t ) , которые имеют постоянные математические ожидания mg (t ) const , а их ковариационные функции зависят от разности аргументов t1 t 2 и поэтому являются функциями одной переменной:R g t1 , t 2 R g t1 t 2 R g .Дисперсия стационарного случайного процесса получается при t1 t 2 , т. е. при 0 :D g (t ) R g (0) const .Примером стационарных случайных процессов является стационарныйбелыйшум, имеющий нулевое математическое ожидание и ковариационную функциюR g ( ) S 0 ( ) , где S 0 – интенсивность белого шума.С помощью интегрального преобразования Фурье можно получить характеристикистационарных случайных процессов, эквивалентные моментным функциям.Спектральной плотностью называется преобразование Фурье ковариационнойфункции стационарного случайного процесса: R g () e i d .S g () F R g () Эта функция частоты в силу четности функции R g () является четной.