1612725555-77fc4bd1e4c9735dc7e3c7a4481f831f (2020- Список задач с экзамена)

Вариант № 11. Какая группа порождается элементамиP1,2√13= − σ̂0 ± iσ̂2 , P3 = σ̂3 ,22где σ̂0 — единичная матрица 2×2, σ̂i — матрицы Паули?2. Порождают ли алгебру Ли операторыM̂11 = a†1 a1 ,M̂22 = a†2 a2 ,M̂12 = a†1 a2 − a†2 a1 ,где [ai , a†j ] = δij , [ai , aj ] = [a†i , a†j ] = 0?3. Молекула SO3 имеет симметрию треугольника C3v . Найти кратности вырождения нормальных колебаний.4. Найти функцию Грина и выписать решение задачиy 00 − y = f (x),y(−∞) = a,y(∞) = b.5.

Решить задачуut = uxx , 2x1u(x, 0) = √ exp − 2 .aa πВариант № 31. Повороты и отражения правильного треугольника в плоскости (x, y) индуцируют линейные преобразования коэффициентов a, b, c в пространстве квадратичных формP(x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 .Найти характер получившегося представления.2. Построить алгебру Ли группы преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную форму x2 + y 2 − z 2 .3.

Сколько независимых компонент имеет тензор инерции Iij жесткого невесомогоквадрата с одинаковыми грузами в вершинах:XIij =ma xi xj − r2 δij ?a4. Решить краевую задачу y 00 + y = x2 на отрезке x ∈ [0, π/2]; y(0) = y(π/2) = 0.5. Третья краевая задача для уравнения Лапласа:∂u+ αu = h(r)∂n4u = 0,может быть решена с помощью функции Грина второго родаZu(r) =Gs (r, r0 )h(r0 ) dr0 .SВыразить функцию Грина второго рода Gs через функцию Грина первого родаG(r, r 0 ).Вариант № 41.

Группа порождается элементами0 −1a=,1 0b=01.−1 −1Показать, что a4 = b3 = 1. Найти порядок элемента ab.2. Координаты (x, y) двух частиц преобразуются по двумерному неприводимомупредставлению T группы D4 . Произведения координат x1 x2 , x1 y2 , y1 x2 , y1 y2 преобразуются по прямому произведению представлений T ⊗ T . С помощью проекторов найти комбинации этих произведений, которые преобразуются по неприводимым представлениям.3.

Найти число независимых компонент тензора третьего ранга, инвариантного относительно группы симметрии квадрата.4. Найти функцию Грина для краевой задачиu00 + k 2 u = f (x),ku(0) + u0 (1) = u(1) = 0,k 6= πn.5. Найти функцию Грина второго рода одномерного уравнения теплопроводностиut = uxx .

Решить задачу Коши с начальным условием u(x, 0) = exp(−x2 ).Вариант № 121. Найти нетривиальные подгруппы D3v , группы состоящей из вращений треугольника на ±2π/3 относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника ипроходящей через точку пересечения медиан, вращений на π вокруг медиан иотражений в плоскостях, проходящих через медианы и ось C3 .2. Образуют ли матрицы Паули группу Ли или алгебру Ли?3. Сколько компонент в симметричной части тензора 3-го ранга в 4-мерном пространстве?4. Найти функцию Грина задачи41y 00 + y 0 − 2 y = f (x),xxy(0) = y(∞) = 0.5.

Найти фундаментальное решение уравнения Пуассона в n-мерном пространстве.Вариант № 171. Представление D(g) группы подстановок P3 состоит из матриц 3 × 31 0 00 1 00 0 11 → 0 1 0 , p → 1 0 0 , r → 1 0 0 .0 0 10 0 10 1 0Разложить на неприводимые представления D(g) ⊗ D(g).2.

Найти генераторы группы трансляций в плоскости и их коммутатор.3. Сколько линейно независимых компонент имеет тензор 3-го ранга, инвариантный относительно группы SO(3) или D4 ?4. Найти функцию Грина задачиy 00 +π2y = f (x),4y(0) = 0, y 0 (1) = a.При каких a задача разрешима?5. Построить функцию Грина двумерного уравнения ШрёдингераiΨt + 4Ψ = 0,Ψ(r, 0) = g(r).Вариант № 181.

Построить таблицу неприводимых характеров группы C5v .2. Построить алгебру Ли группы Ли невырожденных действительных верхнетреугольных матриц 2 × 2. Выразить генераторы через матрицы Паули.3. Найти правила отбора дипольного перехода в молекуле с симметрией T.4. Найти функцию Грина уравненияx2 y 00 + 3xy 0 + y = f (x),y 0 (1) = y(2) = 0.5. Построить функцию Грина трехмерного уравнения Шрёдингераi∂Ψ+ 4Ψ = 0;∂tΨ(r, 0) = g(r).Вариант № 191. Разложить прямое произведение двумерных неприводимых представлений D3 ⊗D3 группы D3 по неприводимым представлениям.2. Доказать, что всякая двумерная алгебра Ли изоморфна алгебре [e1 , e2 ] = 0, либо[e1 , e2 ] = e1 .3.

Сколько независимых компонент имеет симметричный тензор второго ранга в4-мерном пространстве?4. Найти функцию Грина задачи:ut = uxx + uyy ,u(x, y, 0) = g(x, y).5. Найти распределение u(x, t) температуры в бесконечном стержне, еслиu(x, 0) = 0 при |x| > h, −T при − h < x < 0, T при 0 < x < h.Вариант № 221. Пусть ϕ — представление группы T матрицами 3 × 3 из SO(3). Доказать, чтотакое представление неприводимо.2. Найти генераторы алгебры Ли группы невырожденных линейных преобразований плоскости x0 = ax + by + c, y 0 = dx + ey + f в представлении на функцияхg(x, y).3. Найти кратности вырождения нормальных колебаний молекулы NH3 .4. Найти функцию Грина задачиy 00 + 4y 0 + 3y = f (x),y(0) = y(1) = 0.5.

Найти функцию Грина уравнения Пуассона в единичном шаре, которая обращается в нуль на границе.Вариант № 251. В полной группе тетраэдра Th рассмотрим подмножество элементов H, состоящее из единичного преобразования и вращений на угол π. Доказать, что H C Th .Найти фактор-группу Th /H.2. Пусть x фиксированный элемент группы G. Централизатором C(x) назовем множество g ∈ G, которые коммутируют с x. Рассмотрим матрицу0 −1A=∈ SL(2, R).1 0Найти централизатор C(A) и проверить, является ли он подгруппой.3.

Вершины квадрата заменили одинаковыми грузиками, а стороны — пружинками. Найти кратности вырождения нормальных колебаний. Как изменится ответ,если колебания происходят в плоскости квадрата?4. Найти функцию Грина краевой задачи u0 (0) = a, u(1) = b для L = d2 /dx2 .5. Какую особенность вблизи точки r = r0 имеет функция Грина G(r, r0 ) уравнения4 4 G − k 2 G = δ(r − r0 )?(4 — двумерный оператор Лапласа).Вариант № 271. Может ли у группы из 48 элементов быть 7-мерное неприводимое представление?2. Сферические гармоники Ylm при l = 3 преобразуются друг через друга под действием преобразований группы D3 .

Разложить представление на неприводимые.3. Атом с моментом J = 1 помещен в кристаллическое поле с симметрией T, D2 , C3 .Как изменится кратность вырождения?4. Найти функцию Грина задачи u(0) + u0 (0) = 0, u(∞) = 0 для L = d2 /dx2 − q 2 .5. Найти фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца(4 + k 2 )G = δ(r − r0 ).Вариант № 281. Образуют ли матрицы1 0 01 000 1 0 , 0 −1 0  ,0 0 10 0 −1−1 0 0 0 1 0 ,0 0 −1−1 0 0 0 −1 000 1группу? Если да, построить ее таблицу неприводимых характеров.2.

Вычислить exp(iµn·σ)σz exp(−iµn·σ), где n — единичный вектор, σ = (σ1 , σ2 , σ3 ),σi — матрицы Паули, µ — параметр.3. Сколько независимых компонент имеет тензор ранга 4, инвариантный относительно группы SO(3)?4. Найти функцию Грина уравненияy 00 + 4y 0 + 4y = f (x),y(0) = y(1) = 0.5. Третья краевая задача для уравнения Лапласа:∂u+ αu = h(r)∂n4u = 0,может быть решена с помощью функции Грина второго родаZGs (r, r0 )h(r0 ) dr0 .u(r) =SВыразить функцию Грина второго рода Gs через функцию Грина первого родаG(r, r 0 ).Вариант № 311. Имеются ли в группе куба O инвариантные подгруппы? Перечислите их.2. Порождают ли алгебру Ли операторыM̂11 = a†1 a1 ,M̂22 = a†2 a2 ,M̂12 = a†1 a2 − a†2 a1 ,где [ai , a†j ] = δij , [ai , aj ] = [a†i , a†j ] = 0?3.

Сколько независимых компонент у тензора третьего ранга, инвариантного относительно группы вращений куба?4. Найти общее решение уравнения xy 00 + y 0 = δ(x − x0 ).5. Найти фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца(4 − k 2 )u = f (r).Вариант № 371. Доказать, что подгруппа индекса 2 инвариантна.2. Разложить на неприводимые компоненты симметричный тензор четвертого ранга в группе SO(3).3. Сколько независимых компонент имеет тензор инерции Iij жесткого невесомогоквадрата с одинаковыми грузами в вершинах:XIij =ma xi xj − r2 δij ?a4. Найти функцию Грина задачи:26y 00 + y 0 − 2 y = f (x),xxx > 0,y(0), y(∞) < ∞.5.

Найти фундаментальное решение уравнения Пуассона в n-мерном пространстве.Вариант № 431. Найти все подгруппы группы A4 четных перестановок из 4 объектов. Какая изних инвариантная?2. Рассмотрим матрицы 4 × 4 вида1 00 z30 e−z3 0 z2 0 0 ez3 z1  .0 00 1Показать, что они образуют группу Ли. Найти генераторы алгебры Ли и ихкоммутаторы.3. Найти кратности вырождения нормальных колебаний молекулы CH3 Cl.4.

Найти функцию Грина краевой задачи u0 (0) = 0, u(∞) = 0 для L = d2 /dx2 − q 2 .5. Построить функцию Грина трехмерного уравнения Шрёдингераi∂Ψ+ 4Ψ = 0;∂tΨ(r, 0) = g(r).Вариант № 521. Найти правые смежные классы группы квадрата D4 по подгруппе вращенийквадрата вокруг диагонали.2. Найти генераторы алгебры Ли группы невырожденных линейных преобразований плоскости x0 = ax + by + c, y 0 = dx + ey + f в представлении на функцияхg(x, y).3.

Найти правила отбора дипольного перехода в молекуле с симметрией T.4. Найти функцию Грина задачи u(−∞) = u0 (∞) = 0 для оператора d2 /dx2 − q 2 .5. Найти фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца(4 + k 2 )G = δ(r − r0 ).Вариант № 601. Пусть ϕ — представление группы T матрицами 3 × 3 из SO(3). Доказать, чтотакое представление неприводимо.2. При каких a(x, y), b(x, y)∂∂∂∂exp aexp b= exp a+b?∂x∂y∂x∂y3. Вершины куба заменили одинаковыми грузиками, а ребра — пружинками. Найтикратности вырождения нормальных колебаний.4.