tus7 (Практические занятия по теории управления)
Описание файла
Файл "tus7" внутри архива находится в папке "Практические занятия по теории управления". PDF-файл из архива "Практические занятия по теории управления", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория автоматического управления (тау)" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория автоматического управления (тау)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Семинар 7.АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСАПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) , t 0 , где g (t ) – m раз непрерывно дифференцируемаяфункция на промежутке (0, ) функция ограниченного роста;б) линейная стационарная система, описываемая уравнением;в) начальные условияx (0) x 0 , x (0) x 0 ,..., x (n 1) (0) x 0(n 1) .Требуется найти выходной сигнал x (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.
Найти изображение входного сигнала по формуле:G (s ) L[ g (t )] .2. Получить передаточную функцию W (s ) системы одним из методов, рассмотренных в разд. 3.1.1 и 3.1.3, и, если начальные условия ненулевые, D (s ) и D … (s ) – поформулам:W (s ) bm s m b1 s b0nan s a1 s a0,D ( s ) an s n a0 ;D … (s ) x 0 (a1 a 2 s a n s n 1 ) x 0 (a 2 a 3 s a n s n 2 ) x 0(n 2) (an 1 an s ) x 0(n 1)an .3. Определить изображение по Лапласу выходного сигнала:X (s ) D н (s )D (s )X c (s ) W ( s ) G (s ) .X вын ( s )4. Найти выходной сигнал, используя обратное преобразование Лапласа:x (t ) L1[ X (s )] 12ic i X (s ) estds x c (t ) x вын (t ) .c i Интегрирование ведется по прямой Re s c в области аналитичности функции X (s ) .Как правило, при выполнении пп. 1 и 4 применяются таблица преобразования Лапласа и его свойства.
Приведем часть таблицы, используемой в примерах (табл. 1), гдеf (t ) – оригинал, а F (s ) – соответствующее изображение.1Таблица 1№123f (t )1 (t )CtF (s )1s№17f (t )1aCs181192F (s )1(1 cos at )2s (s a 2 )11as 2 (s a )(e at 1 at )2ashat245678sn!tns n 11(t )e att n e atsin at220211s a22n!23(s a) n 1as a2schat(t s 2 a2s1 2 atat ) e2(1 2at (s a) 31 2 2 ata t )e2cos ats(s a) 224cos 2 ats 2 2a 2s (s 2 4a 2 )25sin 2 at2a 2s 2 a210t sin at2s as (s 2 4a 2 )26(s 2 a 2 ) 211t cos ats 2 a227(s 2 a 2 ) 212e at sin btb28(s a) 2 b 213e at cos bts a29(s a) 2 b 214151621 aea11as301 at(e 1)a1s (s a )31e at e bta b1(s a)(s b )32t(s a) 3s(1 at ) e ats 2 a29s2sincosa2a2t sht cha2a2tt1(shat sin at )21(chat cos at )21(shat sin at )21(chat cos at )2a e at b e btaba2s 4 a4s3s 4 a4a3s 4 a4a2ss 4 a4a s2s 4 a4s3s 4 a4s(s a)(s b )Продолжение табл.
3.1№33f (t )F (s )(c b ) e at (a c ) e bt (b a) e ct(a b )(a c )(c b )1(s a) (s b ) (s c )34a(b c ) e at b(c a) e bt c(a b ) e ct(a b )(b c )(a c )s(s a) (s b ) (s c )35a 2 (b c ) e at b 2 (c a) e bt c 2 (a b ) e ct(a b )(b c )(a c )s2(s a) (s b ) (s c )36a sin bt b sin ataba2 b2(s 2 a 2 ) ( s 2 b 2 )cos bt cos at372a b(s 2 a 2 ) ( s 2 b 2 )a 2 cos at b 2 cos bts3a2 b2(s 2 a 2 ) ( s 2 b 2 )b shat a shbta b42432(s a ) (s 2 b 2 )a2 b2(s 2 a 2 ) (s 2 b 2 )a shat b shbts2a2 b2(s 2 a 2 ) (s 2 b 2 )a 2chat b 2chbts3a2 b2(s 2 a 2 ) (s 2 b 2 )t451sin ata1shat ta1 cos at atsin at21 chat atshat212s4447ab2chat chbt4149(s a )(s 2 b 2 )a2 b22482s24046s2a sin at b sin bt38392a2s 2 (s 2 a 2 )a2s 2 (s 2 a 2 )a4s (s 2 a 2 ) 2a4s (s 2 a 2 ) 2b 2 cos at a 2 cos bta 2b 2a2 b2s (s 2 a 2 ) (s 2 b 2 )b 2 chat a 2 chbta 2b 2a2 b2s (s 2 a 2 )(s 2 b 2 )13Продолжение табл.
3.15012a5152533(sin at at cos at )s1(sin at at cos at )2as12 a2s222 a22(s a) bt e at sin bt2(s a)t e at cos bt2 b22(s a) 2 b 2(s a)2 b22Пример 1. Найти реакцию усилительного звена с коэффициентом усиления K 5на линейное воздействие g (t ) t , t 0 при нулевых начальных условиях.1 1. Найдем изображение входного сигнала (по формуле 3 табл.
3.1): G (s ) 2 .s2. Получим передаточную функцию: W (s ) 5 .53. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала: X (s ) 2 .s4. Найдем выходной сигнал: x (t ) 5t , t 0 .Пример 2. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx (t ) 4 g (t ) , на входной сигнал g (t ) sin 3t при нулевых начальных условиях. 1. Найдем изображение входного сигнала (по формуле 8 табл. 3.1):3.G (s ) 2s 94M ( p) .2. Получим передаточную функцию: W (s ) D ( p) p ss3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:4344sX (s ) .s s 2 9 3s 3 (s 2 9)4.
Найдем выходной сигнал: x (t ) 4(1 cos 3t ) . 3Пример 3. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx (t ) x (t ) g (t ) , на входные сигналы g1 (t ) 1 (t ) и g 2 (t ) (t ) при нулевых начальныхусловиях. 1. Найдем изображения входных сигналов (по формулам 1 и 5 табл. 3.1):1G1 ( s ) , G 2 ( s ) 1 .s2. Получим передаточную функцию:4W ( s) 1p 11.s 1ps3. Определим изображения по Лапласу выходных сигналов:X 1 (s ) 1 1 ,s 1 sX 2 (s ) 1.s 14. Найдем выходные сигналы:x1 (t ) 1 e t ,x 2 (t ) e t .Пример 4. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнением1x (t ) x (t ) g (t ) с начальным условием x (0) , на входной сигнал g (t ) 1 (t ) .21 1.
Найдем изображение входного сигнала: G (s ) .s2. Получим передаточную функцию:W (s ) 1p 1p s1M (s ), D (s ) s 1 ,s 1 D (s )D н (s ) x 0 a1 1,2так как n 1 , a1 1 .3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:X (s ) 11.2 (s 1) s (s 1)X c (s )X вын (s )4. Найдем выходной сигнал:x (t ) 11 tte 1e 1 e t .22 x (t )xc (t )вынПример 5. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx(t ) 3x (t ) 2 x (t ) g (t )c начальными условиями x(0) 1 , x (0) 3 , на входной сигнал g (t ) 2e 3t 1 (t ) .2 1. Найдем изображение входного сигнала: G (s ) .s 32.
Получим передаточную функцию:W (s ) D ( s ) s 2 3s 2 ,1p 3p 2 p s212s 3s 2M (s ),D (s )D … ( s ) x 0 (a1 a2 s ) x 0a 2 1 (3 s ) 3 1 s .3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:5X (s ) s2s 3s 222(s 3s 2)(s 3)s2(s 1)(s 2) (s 1)(s 2)(s 3)12121.2 s 1s23s1s sX c (s )X вын ( s )4. Найдем выходной сигнал:t2tt2t3tx (t ) 2e e 2e e e 3t .
ex“ (t )x"/… (t )Пример 6. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx(t ) 3x (t ) 2 x (t ) g (t ) g (t )с начальными условиями x(0) 1 , x (0) 3 , на входной сигнал g (t ) e 3t 1 (t ) .1 1. Найдем изображение входного сигнала: G (s ) .s 32. Получим передаточную функцию:W (s ) D ( s ) s 2 3s 2 ,p 1p 3p 2 p s2s 12s 3s 2M (s ),D (s )D … ( s ) x 0 (a1 a2 s ) x 0a 2 1 (3 s ) 3 1 s .3.
Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:X (s ) ss 2 3s 2s 1(s 2 3s 2)(s 3)ss 1(s 1)(s 2) (s 1)(s 2)(s 3)1211.2 s 3 s 2s1s X c (s )X вын ( s )4. Найдем выходной сигнал:2t3t2tx (t ) 2ee t ee e 3t e 2t e t .xc (t )xвын (t )Пример 7. Найти реакцию системы, описываемой уравнениемxt 4 x t g t с начальными условиями x 0 1, x 0 1 , на входной сигнал g t cos 2t 1 t . 1.
Найдем изображение входного сигнала: G s 2. Получим передаточную функцию:6ss2 4.W s 12s 4и функции D s s 2 4 , D н s x 0 a1 a2 s x 0 a2 1 0 1 s 1 1 s 1 .3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:X s s 12s 4ss242s2s 412s 4ss242.4. По формулам 8–10 табл. 3.1 найдем выходной сигнал:1tx t cos 2t sin 2t sin 2t .
42 xc t xвын (t )Пример 8. Найти реакцию системы, описываемой уравнениемxt 3 xt 3 x t x t g t с начальными условиями x 0 0, x 0 0, x0 2 при входном сигнале g t e t 1 t .1 1. Найдем изображение входного сигнала: G s .s 12.
Получим передаточную функцию:W s 1s 3 3s 2 3s 11s 13и функции D s s 13 , D н s x 0 a1 a2 s a3 s 2 x 0 a2 a3 s x0 a3 2 .3. Определим изображение выходного сигналаX s 2s 131s 142!s 1313!.6 s 144. По формуле 7 из табл. 3.1 найдем выходной сигнал:1x t t 2e t t 3e t . 6xc t xвын (t )7.