1612726871-fd1970eb57207f2e4883f7549db906ce (Ларин, Плясунов - Примеры и задачи), страница 3

. , yn , ãäå aij = aji , íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî)îïðåäåë¼ííîé, åñëè îíà èìååò ïîëîæèòåëüíûå (îòðèöàòåëüíûå) çíà÷åíèÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõàðãóìåíòîâ êðîìå y1 = . . . = yn = 0. Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (1) èìååò íåîòðèöàòåëüíûå(íåïîëîæèòåëüíûå) çíà÷åíèÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ, òî îíà íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îïðåäåë¼ííîé.Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà,íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè x∗ . Ïîëîæèì aij = fx00i xj (x∗ ). Òîãäà, åñëè êâàäðàòè÷íàÿôîðìà (1) îêàçûâàåòñÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îïðåäåë¼ííîé, òî â òî÷êåx∗ äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíûé ìèíèìóì (ìàêñèìóì).Êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà. Äëÿ òîãî ÷òîáû êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (1) áûëà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå ãëàâíûå ìèíîðû ìàòðèöûA = (aij )i,j=1,n áûëè ïîëîæèòåëüíûìè. Äëÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå ìèíîðû áûëè íåîòðèöàòåëüíûìè.Òàê êàê ñòðîãî îòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ ôîðìà ñ èçìåíåíèåì çíàêà âñåõ å¼ ÷ëåíîâïåðåõîäèò â ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííóþ è îáðàòíî, òî îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü êðèòåðèé ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè: âñå ãëàâíûå ìèíîðû íå÷¼òíîãî ïîðÿäêà äîëæíûáûòü îòðèöàòåëüíû, à ÷¼òíîãî ïîëîæèòåëüíû.9 ÷àñòíîñòè, äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû A äëÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îïðåäåë¼ííîé ôîðìû äîëæíû áûòü ïîëîæèòåëüíû (îòðèöàòåëüíû).Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ, òî îíàíàçûâàåòñÿ íåîïðåäåë¼ííîé.Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ýêñòðåìóìà.

Åñëè ïðè âûïîëíåíèè ñôîðìóëèðîâàííûõ âûøå óñëîâèé íà ôóíêöèþ f (x) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (1) â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå x∗ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåë¼ííîé, òî â ýòîé òî÷êå ýêñòðåìóìà íåò.Ñëó÷àé, êîãäà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (1) ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî), íî íå ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îïðåäåëåíà, ÿâëÿåòñÿ "ñîìíèòåëüíûì".  ýòîì ñëó÷àå â çàâèñèìîñòè îò ïîâåäåíèÿ âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ ýêñòðåìóì ìîæåò êàê áûòü, òàê è íå áûòü.Èññëåäîâàíèåì "ñîìíèòåëüíûõ"ñëó÷àåâ ìû çàíèìàòüñÿ íå áóäåì.Ïðèìåð 1.

Íàéòè òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f (x) = x1 x22 +x21 x2 −3x21 −3x22 .Ðåøåíèå. Äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷åê ýêñòðåìóìà íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó½ 0fx1 (x) = x22 + 2x1 x2 − 6x1 = 0,fx0 2 (x) = x21 + 2x1 x2 − 6x2 = 0.Âû÷òÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âòîðîå, ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì óðàâíåíèå (x2 − x1 )(x1 + x2 + 6) = 0. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:à) x1 = x2 . Ïîäñòàâëÿÿ â ïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì, ÷òî 3x21 − 6x1 = 0, ò. å. ñòàöèîíàðíûìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè x1 = x2 = 0 è x1 = x2 = 2. Ìàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ èìååòâè䵶2x2 − 6 2x1 + 2x2.2x1 + 2x2 2x1 − 6Òàê êàê ïðè x1 = x2 = 0 ñîîòâåòñòâóþùàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ñòðîãî îòðèöàòåëüíîîïðåäåëåíà, òî â òî÷êå (0, 0)> äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíûé ìàêñèìóì.  òî÷êå x = (2, 2)> êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåë¼ííîé (âñå ãëàâíûå ìèíîðû ìàòðèöû îòðèöàòåëüíû),ïîýòîìó â íåé ýêñòðåìóìà íåò.á) x1 + x2 + 6 = 0.

Âûðàçèâ x2 ÷åðåç x1 è ïîäñòàâèâ â èñõîäíóþñèñòåìó, ïîëó÷èì óðàâ√2íåíèå x1 + 6x1 − 36 = 0, êîðíÿìè±3 5 −√3. Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì√ êîòîðîãî√áóäóò ÷èñëà√åù¼ äâå ñòàöèîíàðíûå òî÷êè (3 5 − 3, −3 5 − 3) è (−3 5 − 3, 3 5 − 3).  ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ýòèõ äâóõ òî÷åê è ôóíêöèè f (x) ïî ïåðåìåííûì x1 è x2 , äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü íàýêñòðåìóì òîëüêî ïåðâóþ èç íèõ. Ìàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ â íåé èìååò âèä√µ¶−6 5 − 12 √−12.−126 5 − 12√√Ïîñêîëüêó −6 5 − 12 < 0, à 6 5 − 12 > 0, òî ýêñòðåìóìà íåò.Òàêèì îáðàçîì, åäèíñòâåííûì ëîêàëüíûì ýêñòðåìóìîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà (0, 0)> , ãäå äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíûé ìàêñèìóì.Ïðèìåð 2. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = (1 + ex2 ) cos x1 − x2 ex2 èìååò áåñêîíå÷íîåìíîæåñòâî ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ è íè îäíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà.Ðåøåíèå.

Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, ïîëó÷àåì ñèñòåìó½ 0fx1 (x) = −(1 + ex2 ) sin x1 = 0,fx0 2 (x) = ex2 (cos x1 − x2 − 1) = 0.Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî x1 ∈ {kπ | k ∈ Z}. Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå óðàâíåíèå,ïîëó÷àåì, ÷òî x2 = 0, åñëè k ÷¼òíîå, è x2 = −2 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäîçðèòåëüíûìè íà ýêñòðåìóì ÿâëÿþòñÿ òî÷êè âèäà (2kπ, 0) è ((2k + 1)π, −2), ãäå k ∈ Z .Âûïèøåì ìàòðèöó âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ:10µ−ex2 sin x1−(1 + ex2 ) cos x1xx−e 2 sin x1e 2 (cos x1 − x2 − 2)¶. òî÷êàõ âèäà (2kπ, 0) èìååì a11 = −2, a22 = −1 è a12 = a21 = 0, ò. å. ñîîòâåòñòâóþùàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ñòðîãî îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà, è ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìèëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà. òî÷êàõ âèäà ((2k + 1)π, −2) ïîëó÷èì, ÷òî a11 = 1 + e−2 > 0, a22 = −e−2 < 0 èa12 = a21 = 0.

Çíà÷èò, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà íåîïðåäåëåíà, è â ýòèõ òî÷êàõýêñòðåìóìà íåò.Ïðèìåð 3.  ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ îïòèìèçàöèè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ òàêîé ïîäõîä. Âûáèðàåòñÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà x0 , à çàòåì íà êàæäîì øàãå âûáèðàþòñÿ òàê íàçûâàåìûå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ âåêòîð pk ∈ En è âåëè÷èíà øàãà αk > 0, è ïîëàãàåòñÿ xk+1 =xk + αk pk (k = 0, 1, . . .).

Ïðè ýòîì â çàäà÷å ìèíèìèçàöèè âûáèðàþò pk è αk òàê, ÷òîáûâûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî f (xk+1 ) ≤ f (xk ).  ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ îòâåò íàâîïðîñ: "ßâëÿåòñÿ ëè äîñòàòî÷íûì äëÿ ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x∗ , ÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ èìåëà ëîêàëüíûé ìèíèìóì âäîëü êàæäîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóx∗ ?”  îäíîìåðíîì ñëó÷àå îòâåò, î÷åâèäíî, áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåòñëåäóþùèé ïðèìåð, ïðè n > 1 ýòî íå òàê.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = (x1 −x22 )(2x1 −x22 ) è òî÷êó x∗ = (0, 0)> .

Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ x1 = ax2 , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó x∗ (âäîëü ïðÿìîé x2 = 0 ïîëó÷èì ôóíêöèþf (x1 , 0) = 2x21 , êîòîðàÿ î÷åâèäíî èìååò ìèíèìóì ïðè x1 = 0). Ïîäñòàâëÿÿ x1 = ax2 â ôóíêöèþ f (x), ïîëó÷àåì ôóíêöèþ fe(x2 ) = f (ax2 , x2 ) = (ax2 − x22 )(2ax2 − x22 ). Åñëè a = 0, òîfe(x2 ) = x42 , è â òî÷êå x2 = 0 îíà èìååò ëîêàëüíûé ìèíèìóì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûïèøåìïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà:fe0 (x2 ) = (a − 2x2 )(2ax2 − x22 ) + (ax2 − x22 )(2a − 2x2 ),fe00 (x2 ) = −2(2ax2 − x22 ) + 2(a − 2x2 )(2a − 2x2 ) − 2(ax2 − x22 ).Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè a 6= 0 âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ fe0 (0) = 0 è fe00 (0) = 4a2 > 0.Òàêèì îáðàçîì, âäîëü êàæäîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x∗ , ôóíêöèÿ f (x) èìååòëîêàëüíûé ìèíèìóì.Óáåäèòüñÿ â îòñóòñòâèè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x∗ ñ ïîìîùüþ îïèñàííûõ âûøå êðèòåðèåâ íå óäà¼òñÿ, òàê êàê ìàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ îêàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî, íî íå ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé.

Ìû ïîêàæåì îòñóòñòâèå ëîêàëüíîãîìèíèìóìà "âðó÷íóþ". Ðàññìîòðèì òðè ìíîæåñòâà: X1 = {x | x1 > x22 }, X2 = {x | 2x1 < x22 }è X3 = {x | x22 > x1 > x22 /2}. ßñíî, ÷òî íà ïåðâûõ äâóõ ìíîæåñòâàõ ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíà, à íà òðåòüåì îòðèöàòåëüíà.

Ïîñêîëüêó f (0, 0) = 0 è â êàæäîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x∗íàéäóòñÿ òî÷êè èç âñåõ òð¼õ ìíîæåñòâ, â ýòîé òî÷êå ýêñòðåìóìà íåò.Çàäà÷è1. Íàéòè òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f (x):1) f (x) = x21 + 2x22 + 5x23 − 2x1 x2 − 4x1 x3 − 2x3 ;2) f (x) = x41 + x22 − 4x1 x2 ;3) f (x) = x1 ex1 − (1 + ex1 ) sin x2 .2. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ èíè îäíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà:111) f (x) = −(x22 + 1)(sin x1 + 2);2) f (x) = sin x1 − x22 .2.3. Çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìèðàâåíñòâàìè. Ìåòîä íåîïðåäåë¼ííûõ ìíîæèòåëåé ËàãðàíæàÒåïåðü ïåðåéä¼ì ê àíàëèçó çàäà÷ óñëîâíîé îïòèìèçàöèè â En è ðàññìîòðèì ñëó÷àéîãðàíè÷åíèéðàâåíñòâ, ò.

å. ðåøàåòñÿ çàäà÷à:f (x) −→ min (f (x) −→ max),(1)X = {x ∈ En | ϕj (x) = 0, j = 1, m}.(2)x∈Xx∈XãäåÁóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî m ≤ n. äàëüíåéøåì íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî:1) äàíà ñèñòåìà èç m óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè (m ≤ n)Fj (x1 , . . . , xn ) = 0 (j = 1, m);(3)2) âñå ôóíêöèè Fj (x) îïðåäåëåíû, íåïðåðûâíû è èìåþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî âñåì àðãóìåíòàì â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Uε (x0 ) òî÷êè x0 , â êîòîðîé Fj (x0 ) = 0(j = 1, m, ε > 0);3) ÿêîáèàí¯¯¯ ∂F1 (x0 ) . .

. ∂F1 (x0 ) ¯¯ ∂x1¯∂xm¯¯.... . . ¯ 6= 0.¯ ...¯ ∂Fm (x0 )∂Fm (x0 ) ¯¯¯...∂x1∂xmÒîãäà:à) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , ñîäåðæàùåéñÿ â Uε (x0 ), ñèñòåìà óðàâíåíèé (3)îïðåäåëÿåò x1 , . . . , xm êàê îäíîçíà÷íûå ôóíêöèè îò xm+1 , . . . , xn :xi = fi (xm+1 , . . . , xn ) (i = 1, m);á) ïðè xi =x0i(i = m + 1, n) ýòè ôóíêöèè ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ x0i (i = 1, m):fi (x0m+1 , . . . , x0n ) = x0i (i = 1, m);â) âñå ôóíêöèè fi (xm+1 , . . . , xn ) (i = 1, m) íåïðåðûâíû è èìåþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå ïî âñåì àðãóìåíòàì.Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ëîêàëüíûé õàðàêòåð òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíûõôóíêöèé: ðå÷ü èä¼ò âñ¼ âðåìÿ î íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.

Íî è âòàêîì âèäå ýòà òåîðåìà ïîëåçíà.Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó (1) î íàõîæäåíèè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f (x) íà ìíîæåñòâå X ,îïðåäåëÿåìîì óñëîâèåì (2). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè f (x), ϕj (x) (j = 1, m) íåïðåðûâíû è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè Uε (x∗ ) íåêîòîðîé ýêñòðåìàëüíîé òî÷êèx∗ . Ïóñòü â ýòîé òî÷êå ðàíã ìàòðèöû ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ∗∂ϕ1 (x∗ )1 (x ). . . ∂ϕ∂x∂x1n.........(4)∗∗∂ϕm (x )∂ϕm (x )...∂x1∂xn12ðàâåí m. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü¯¯¯ ∂ϕ1 (x∗ ) . . .

∂ϕ1 (x∗ ) ¯¯ ∂x1¯∂xm¯¯.........¯¯ 6= 0.¯¯ ∂ϕm (x∗ )∗∂ϕ(x)m¯¯...∂x1∂xmÒîãäà, â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x∗ ñèñòåìàóðàâíåíèéϕj (x) = 0 (j = 1, m)(30 )xi = fi (xm+1 , . . . , xn ) (i = 1, m),(5)ðàâíîñèëüíà ñèñòåìåãäå fi íåÿâíûå ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ñèñòåìîé (30 ). Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ îá óñëîâíîìýêñòðåìóìå ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó î áåçóñëîâíîì ýêñòðåìóìå äëÿ ñëîæíîé ôóíêöèèF (xm+1 , . . . , xn ) ≡ f (f1 (xm+1 , . . .

, xn ), . . . , fm (xm+1 , . . . , xn ), xm+1 , . . . , xn ))(6)â òî÷êå x∗ . Ýòè ñîîáðàæåíèÿ ïðèâîäÿò ê ìåòîäó íàõîæäåíèÿ òî÷åê, äîñòàâëÿþùèõ ýêñòðåìóì ôóíêöèè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ-ðàâåíñòâàõ. Åñëè êàêèì-òî îáðàçîì óäà¼òñÿ ðàçðåøèòüñèñòåìó óðàâíåíèé (30 ) îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ xi (i = 1, m) è íàéòè ÿâíûå âûðàæåíèÿäëÿ ôóíêöèé (5), òî äåëî ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà äëÿ ôóíêöèè (6).Ýòîò ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ìîæíî óêàçàòü äðóãîé ïóòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê, íå ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ìû èìååì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé (5), õîòÿ ñóùåñòâîâàíèå ýòèõ ôóíêöèé èñïîëüçîâàòüñÿ áóäåò.