tus4 (Практические занятия по теории управления), страница 2

Так как коэффициенты этого уравнения имеют разные знаки, тосогласно необходимому условию система не является устойчивой.2. Анализ управляемости и наблюдаемостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИДана линейная многомерная стационарная система управления, поведение которой описывается уравнениями состояния и выхода:x (t )  A x (t )  B u(t ) , x (t 0 )  x 0 ,y (t )  C x (t ) ,где x – n-мерный вектор состояния; u – r-мерный вектор управления, u  R r ; t – время, t [t 0 , t1 ] – промежуток времени функционирования системы; y – k-мерный векторвыхода; А, В, С – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ), ( k  n ) соответственно; x 0 – начальное состояниеСистема называется вполне управляемой по состоянию, если выбором управляющего воздействия u(t ) на промежутке времени [t 0 , t1 ] можно перевести систему7из любого начального состояния x (t 0 ) в произвольное заранее заданное конечное состояние x (t1 ) .Система называется вполне управляемой по выходу, если выбором управляющего воздействия u(t ) на промежутке времени t 0 , t1  можно перевести систему излюбого начального состояния x (t 0 ) в такое конечное состояние, при котором обеспечивается заранее заданное произвольное значение выхода y (t1 ) .Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции y (t ) на выходе системы на промежутке времени [t 0 , t1 ] при заданном управляющем воздействии u(t )можно определить начальное состояние x (t 0 ) .Постановка задачи формулируется следующим образом.Пусть известны матрицы А, В, С системы.

Требуется определить, является лисистема вполне управляемой и наблюдаемой.КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИКритерий управляемости по состоянию. Для того чтобы система былавполне управляемой по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицыуправляемости по состояниюW  BABA 2 B  A n 1Bравнялся размерности вектора состояния:rangW  n .Критерий управляемости по выходу.

Для того чтобы система была вполнеуправляемой по выходу, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости по выходуP  CB CAB CA 2 B  CA n  1Bравнялся размерности вектора выхода:rang P  k .Критерий наблюдаемости. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемостиQ  CTAT C T( AT )2C T ( AT )n 1C Tравнялся размерности вектора состояния:rang Q  n .8АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

В уравнениях состояния и выхода выделить матрицы А, В, С.2. Составить матрицу W управляемости по состоянию, матрицу P управляемости по выходу и матрицу наблюдаемости Q.3. Подсчитать ранги матриц и сделать вывод об управляемости и наблюдаемости на основе соответствующего критерия.З а м е ч а н и е. Если линейная стационарная система управления описывается соотношениямиan x (n ) (t )  ...

 a0 x  g (t ) , y (t )  x (t ) ,то, вводя обозначения x1  x ,эквивалентной форме: x1   0   x   0 2         a0   an xn  10a 1an01a 2anx 2  x ,..., xn  x (n 1) ,0 0  a n 1  an 0 x1     0 x2        1x   n   anu  g , их можно записать в u,y  1 0  0  x .ABCПример 12.

Исследовать управляемость и наблюдаемость системы:x1  x 2 ,x 2  u ,y  x1 . 1. В уравнениях состояния и выхода выделим матрицы А, В, С : 0 1 0A , B    , C  1 0 , n  2 , r  1 , k  1 . 0 0 12. Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости:W  B 0 1AB    , P  CB CAB   0 1 , 1 0Q  CT 1 0AT C T  . 0 13. Определяем ранги матриц: rangW  2  n , rang P  1  k , rangQ  2  n .Согласно критериям управляемости и наблюдаемости система вполне управляема посостоянию и по выходу, а также вполне наблюдаема.Пример 13.

Исследовать управляемость и наблюдаемость системы:x1  3x1  5 x 2  u ,x 2  2 x1  2u ,y  x1  x 2 . 1. В уравнениях состояния и выхода выделим матрицы А, В, С : 3 5 1A , B    , C  1 1 , n  2 , r  1 , k  1 . 2 0 22. Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости:9W  B 1 7AB    , P  CB CAB    1 5 , 2 2Q  CT 1 5AT C T  . 1 5 3. Определяем ранги матриц: rangW  2  n , rang P  1  k , rangQ  1  n .Согласно критериям управляемости и наблюдаемости система вполне управляема посостоянию и по выходу, но не является вполне наблюдаемой.Пример 14.

Исследовать управляемость и наблюдаемость системы:x1  x 2  u ,x 2   x1  2 x 2  u ,y1  x1 ,y 2  x1  x 2 . 1. В уравнениях состояния и выхода выделим матрицы А, В, С :1 00 11A , n  2 , r  1, k  2., B  , C 1 1 1 2 12. Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости:W  BQ  CT 1 1 1  1 ,AB    , P  CB CAB    1 1 0 0  1 1 0 1AT C T  . 0 1 1 13. Определяем ранги матриц: rangW  1  n , rang P  1  k , rangQ  2  n .Согласно критериям управляемости и наблюдаемости система не является вполнеуправляемой по состоянию и по выходу, но вполне наблюдаема.Пример 15.

Исследовать управляемость и наблюдаемость системы:x1  x 2  u ,x 2  5 x1  2 x 3  u , y  2 x1  x 2 .x 3  2 x1  2 x 3  u , 1. В уравнениях состояния и выхода выделим матрицы А, В, С : 0 1 0 1 A   5 0 2  , B   1  , C   2 1 0 , n  3 , r  1 , k  1 .  2 0 2 12. Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости:W  BAB7  1 1A B   1 7 13  , P  CB CAB CA 2 B  3  9 27  , 1 4 102 2 5 14 A CAC    1 2 5  . 8 0 23.

Определяем ранги матриц: rangW  2  n , rang P  1  k , rangQ  2  n .Согласно критериям управляемости и наблюдаемости система не является вполнеуправляемой по состоянию и вполне наблюдаемой, но является вполне управляемойпо выходу.Q  C TTT T2T10Пример 16. Исследовать управляемость и наблюдаемость системы:2 x  4 x  x  g . 1. Согласно замечанию к алгоритму перепишем систему в эквивалентнойформе ( x1  x )x1  x 2 ,y  x1 ,x 2   0,5 x1  2 x 2  0,5 g .В полученных уравнениях состояния и выхода выделим матрицы А, В, С :1 0 0 , B    , C  1 0 , n  2 , r  1 , k  1 .A   0,5  0,5 2 2.

Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости:W  B 0 0,5AB    , P  CB CAB   0 0,5 , 0,5 1 Q  CT 1 0AT C T  . 0 13. Определяем ранги матриц: rangW  2  n , rang P  1  k , rangQ  2  n .Согласно критериям управляемости и наблюдаемости система вполне управляема посостоянию, по выходу и вполне наблюдаема.11.