tus4 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 4. УСТОЙЧИВОСТЬ, УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1. Анализ устойчивости1. Одномерные системы. При изучении различных форм математическогоописания систем управления большое внимание уделяется алгоритмам решенияосновной задачи анализа – задачи анализа выходных процессов, т.е.

получениюколичественных характеристик процессов, происходящих в системах. В данномразделе рассмотренные выше системные характеристики используются для выяснениякачественных особенностей поведения систем управления.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим одномерную стационарную систему управления, поведение которойописывается дифференциальным уравнениемa n x (n) (t )  a 0 x (t )  bm g (m) (t )  b0 g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 , , x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; t 0 – начальный момент времени.В соответствии с представлением выходного сигнала системы в виде суммысвободного и вынужденного движений: x (t )  x“ (t )  x"/… (t ) вводятся следующие понятия устойчивости системы.Система управления называется устойчивой по начальным данным (асимптотически устойчивой), если при ненулевых ограниченных начальных условияхсвободное движение x“ (t ) ограничено при всех t  [t 0 ,  ) и lim x c (t )  0 .tограСистема управления называется устойчивой по входу, если при любомниченном воздействии g (t ) реакция системы x"/… (t ) является ограниченной в любоймомент времени t  [t 0 ,  ) .Более краткий термин – устойчивая система управления – употребляется, если система устойчива и по входу, и по начальным данным.Требуется определить, является ли система устойчивой.КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ1.

Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы корни  i характеристического уравненияan n  an 1 n 1    a0  0имели отрицательные действительные части: Re  i  0 , i  1,  , n , т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис. 1).1Im Левая полуплоскостьПравая полуплоскостьRe   0Re   0Re Рис.2.

Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения можно использовать критерий Рауса–Гурвица.Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно,чтобы при an  0 угловые миноры  i матрицы an 1 an  3 a n an  2 0an 1an 0 0 0an  5an  4an  3an  20 0 0 0 0  a0 a aбыли положительны:  i  0 , i  1,  , n , где 1  an 1 ,  2   n 1 n  3  и т.д. an an  2 При заполнении квадратной порядка n матрицы отсутствующие в уравнении коэффициенты an  i и ai при i  n заменяются нулями.3.

Если система устойчива по начальным данным и порядок m дифференциального оператора M ( p)  bm p m  b0 правой части уравнения системы не больше по-рядка n дифференциального оператора D ( p)  an p n  a0 левой части, т.е. m  n ,то система устойчива по входу.Необходимое условие устойчивости. Если система устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.З а м е ч а н и я.1. Первый критерий устойчивости называется прямым, а второй – косвенным,так как в этом случае процедура анализа устойчивости не требует нахождения корнейхарактеристического уравнения.2.

Коэффициент an в уравнении всегда можно сделать положительным, например, умножая характеристическое уравнение на (  1 ).3. Анализ устойчивости элементарных и типовых звеньев систем управленияможно также выполнить, пользуясь определениями и сформулированными критерия2ми. Устойчивыми являются усилительное, апериодическое (при T  0 ) и колебательное (при T  0 , 0    1 ) звенья.

Дифференцирующее звено не устойчиво по входу, аинтегрирующее звено не устойчиво и по входу, и по начальным данным.Пример 1. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением (апериодическое звено)3x  x  g . Характеристическое уравнение 3  1  0 имеет отрицательный корень1   . Кроме того, порядок ( m  0 ) правой части уравнения меньше порядка ( n  1 )3левой части.

Согласно первому и третьему критериям система устойчива.Пример 2. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением4 x  x  g . Характеристическое уравнение 4  1  0 имеет положительный корень1. Согласно первому критерию система не является устойчивой.4Пример 3. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением (колебательное звено (1.11))x  2 x  x  g . Характеристическое уравнение 2  2  1  0 имеет отрицательный (кратный) корень   1 .

Кроме того, порядок ( m  0 ) правой части уравнения меньше порядка ( n  2 ) левой части. Согласно первому и третьему критериям система устойчива.Пример 4. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнениемx  2 x  x  g . Характеристическое уравнение 2  2  1  0 имеет два корня: 1  1  2  0 ,  2  1  2  0 , один из которых положительный. Согласно первому критерию система не является устойчивой.Пример 5. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнениемx  2 x  3x  4 x  g . Здесь a3  1 , a2  2 , a1  3 ,выполняется.

Составим матрицу (1.79):210Вычисляем угловые миноры:a0  4 . Необходимое условие устойчивости4 03 0 .2 4321  2  0 ,2 4 2  0,1 32 4 0 3  1 3 0  4 2  8  0 .0 2 4Они положительны, следовательно, по второму критерию заключаем, что система является устойчивой по начальным данным. Кроме того, порядок ( m  0 ) правой частиуравнения меньше порядка ( n  2 ) левой части. Согласно третьему критерию системаустойчива и по входу, т.е. является устойчивой.Пример 6. При каких значениях параметра k система, описываемая дифференциальным уравнениемx (4)  4 x (3)  2 x (2)  3x  k x  g ,будет устойчивой. Здесь a4  1 , a3  4 , a2  2 , a1  3 , a0  k .

Необходимое условие устойчивости выполняется, если k  0 . Составим матрицу (1.79):410000.01 2 k3 02 k4 3Для удовлетворения всех условий критерия Рауса–Гурвица должны выполняться следующие неравенства:1  4  0 ,24 3 04 3 5  0 ,  3  1 2 k  15  16k  0 ,  4  k  3  0 .1 20 4 315. Кроме того, порядок ( m  0 ) правой части уравнения меньше по16рядка ( n  4 ) левой части. Согласно второму и третьему критериям система устойчива15.при 0  k 16Отсюда 0  k Пример 7. Найти все положительные значения коэффициента усиления k , прикоторых система, заданная структурной схемой (рис.), будет устойчивой.g1p2  p  21p 1kxРис. По структурной схеме составляем дифференциальное уравнение (см.

семинар 1). Уравнения элементов системы в операторной форме имеют вид4x k( p  1) ( p 2  p  2),   g  x .Исключая  , получаем уравнениеx  2 x  3x  (k  2) x  k g .Составляем матрицу:0 2 k  230 1k  220и вычисляем ее угловые миноры:1  2  0 ,2  4  k , 3   2 (k  2) .Из условия их положительности заключаем, что при всех k (0, 4) система будет устойчива по начальным данным. Так как порядок ( n  3 ) дифференциального оператора левой части больше порядка ( m  0 ) дифференциального оператора правой части,то при k (0, 4) система будет устойчива и по входу.

2. Многомерные системы. Аналогично одномерным системам рассмотрим качественное поведение многомерных систем, описываемых уравнениями состояния.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается линейная многомерная стационарная система, описываемаяуравнением состояния:x (t )  A x (t )  B g (t ) , x (0)  x 0 ,где x – n-мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий; t –время; начальный момент времени t 0  0 ; x 0 – начальное состояние; А, В – матрицыразмера (n  n) , (n  r ) соответственно.Система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение x“ (t ) (при g (t )  0 ) ограничено при ограниченных начальных состояниях x 0 ивыполняется условиеlimtxc (t )  0 .КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ1.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно,чтобы корни  i характеристического уравненияdet ( A  E )  0имели отрицательные действительные части: Re  i  0 , i  1,  , n , т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (см.

рис. ).2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения, которое записывается в форме, можно использовать критерий Рауса–Гурвица.5Необходимое условие устойчивости. Если система асимптотически устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.Пример 8. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x1  2 x 2 ,x 2  4 x1  3x 2  g1.12 1 2 Здесь A   0 или . Характеристическое уравнение43 4 32  4  5  0 имеет действительные корни разных знаков:  1  5  0 ,  2  1  0 .Согласно первому критерию система не является устойчивой.Пример 9. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x 2 ,x 2   x1  2 x 2  g1.10 1 Здесь A   0 или .

Характеристическое уравнение1  2   1 22  2  1  0 имеет отрицательный корень (кратности 2):  1,2  1 . Согласно пер-вому критерию система является устойчивой.Пример 10. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1   x 2  g1 ,x 2  x1  g 2 . Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   0  1  x1   1        x2  1 0   x2   0A01  g1  . g2 BНайдем корни характеристического уравнения. Получим  1 0  2  1  0 .1 Отсюда  1  i ,  2   i .

Действительная часть корней равна нулю. Согласно первомукритерию система не является устойчивой.6Пример 11. При каких положительных значениях параметра a система, описываемая дифференциальными уравнениямиx1   ax1  g1 ,x 2  (a  2) x 3  g1  g 2 ,x 3   x 2  2a x 3  g 2,будет устойчивой? Составляем характеристическое уравнение:adet ( A  E ) 0000a  2   (  a) (2  2a  a  2)  1  2a    3  3a2  (2a 2  a  2)  a 2  2a  0 .Его корни:  1   a ,  2   a  a 2  a  2 ,  3   a  a 2  a  2 действительные.При a  0 корни 1 и  2 отрицательны. Из неравенства  3  0 находим, что a  2 .Следовательно, рассматриваемая система устойчива при a  2 .Проверим этот вывод при a  3 , используя критерий Рауса–Гурвица.

Характеристическое уравнение имеет вид  3  92  19  3  0 . Умножая его на (1) , получаем коэффициенты: a3  1 , a2  9 , a1  19 , a0  3 . Составляем матрицу: 9 3 0 2  168  0 , 1 19 0 . Затем вычисляем ее угловые миноры: 1  9  0 , 0 9 3 3  504  0 . Согласно второму критерию система устойчива.Проверим результат при a  1 . Характеристическое уравнение имеет вид3   32    1  0 .