1612727047-4a4f6e44732b69c46a6fe73841ccf150 (Лекции печатные)

1. Элементы термодинамикиM = vc , где v— скорость течения, c— скорость звука.считаем, что f~ = 0— массовые сил нет.d~v1= − ∇p,dtρd∂=+ ~v · ∇dt∂tdρ∂ρ+ ρ ÷ ~v = 0,+ ÷(ρv) = 0.dt∂tНеизвестные функции: ~v — три скаляра, p— один скаляр, ρ(~x, t)— еще скаляр. всегопять. Пять неизвестных, четыре уравнения ⇒ еще одно уравнение берем из термодинамики.d~x= ~v (~x, t), ~x(0) = χ~.dt~v (~x, t)— Эйлер, ~v (~χ, t)— Лагранж.xM = ∂∂~—матрицаякоби.~chi∂~xI = det ∂ chi~ .dI= I ÷ ~v — формула Эйлера. Линии тока:dtdx1dx2dx3==.v1v2v3ωt — материальный объем (состоит из одних и тех же частиц во все время движения).Из закона сохранения массыZdρ dω = 0dtωtследуетddtZρI dω = 0.ω0∂(ρI) = 0 ⇒ ρI = ρ0 I0 = ρ0 .∂tУравнение неразрывности в лагранжевых переменных имеет вид ρI = ρ0 .

ДалееZZddρρI dω = ( I + ρI ÷ ~v ) dω0 =dtdtω0ω0Z=(dρ+ ρ ÷ ~v ) dω = 0.dtωtДля фиксированного объема Ω, имеем закон сохранения массыZZ∂ρ dω = − ρ~v · ~ndσ∂tΩ∂Ω1(1)выполняется, когда движение стационарно.Закон сохранения импульсаZdρ~v dω = F~dt(2)ωtP = −pI,p~n = −p~n,F~ = −Zp~n dσ.∂ωtДля Ω имеем∂∂tZZρ~v dω = −Ω(ρ~v (~v · ~n) + p) dσ.∂ΩЗакон сохранения энергии (кинетической)Zd1ρ( |v|2 + ) dω = W + Q,dt2(3)ωtгде — внутренняя энергия, W — мощность, развиваемая F~ , Q— мощность, развиваемая потоком энергии.ZW = − p(~v · ~n) dσ.∂ωtДля Ω:∂∂tZ1ρ( |v|2 + ) dω =2ωtZ−1(ρ( |v|2 + ) + p)(~v · ~n) dσ.2∂ΩЗакон сохранения массы— одно уравнение, импульса— три уравнения, энергии —одно уравнение.

Итого шесть неизвестных, пять уравнений. Основные понятияи обозначенияТермодинамическая система (тс)— тело (физическое тело)— совокупность атомов,молекул, силовых полей.Термодинамические параметры (тп)— физические и химические признаки.Термодинамическое состояние (тс)— знание тп.Равновесное состояние (рс)— такое (тс), которое может существовать неограниченно долго при неизменном внешнем воздействии.Процесс— последовательность состояний.Квазистатический процесс— обратимый процесс— медленный процесс, при котором каждое промежуточное состояние равновесно.2первый закон термодинамикиdQ = d + dA.Здесь Q— тепло, — внутренняя энергия, A— работа. dA, dQ— работа. Первый за— полный дифкон термодинамики не указывает направление процесса тс. dS = dQTференциал S— энтропии.

Для квазистационарного процесса имеем второй законтермодинамикиT dS = d + pdV,здесь T — абсолютная температура, V = ρ1 — удельный объем, p, , S– пять параметров, определяющих тс. Газы— двупараметрические тс.Независимые V, T ⇒ p = p(V, T ), = (V, T ), S = S(V, T ).Уравнение состоянияp = f (ρ, S)Для идеального газа справедливо уравнение КлайперонаP V = RT,где R— универсальная газовая постоянная.

p = A(S)ρ+ — политропный газ.Cβ =dQ|β=constdtdQ|V =constdTdQCp =|p=const ,dTудельные теплоемкоемкости соответственно при β = const, при постоянном обьеме,постоянном давлении.ρ = ρ(~x, t),Cv =dQ = d + pdV для тмсA = pdV − − − первый закон термодинамикиВторой закон термодинамики для обратимых процессов. для необратимых процессов0T dS = Q + Q .(∗)0Здесь Q > 0— некомпенсированное тепло, dS > 0.

Формула (∗)— основное термодинамическое тождество (отт). Имеем пять параметров для определения тс: p, V, S, , T .Газы— двупараметрические системы. в них p, V — независимые, тогда S(p, V ), (p, V ), T (p, V ), ρ =rho(~x, t), Q = d + pdV . Если Q = 0, то процесс называется адиабатическим, приS = const— изэнтропическим, V = const—- изохорическим, p = const— инобарическим, T = const— изотермическим. Из удельных теплоемкостей наиболее частоупотребяется Cp , CV .i = + pV − − − энталья (теплосодержание).3dQd|V =const =|V =const .dTdTОтсюда следует, что d = CV (T )dT . dQ = di − V dp ⇒ Cp =CV . Если CV = const, то газ политропный.Cv =di.dTCp − CV = R ⇒ Cp >Утверждение 1.

Для идеального газа = (T ). Независимые переменные V, Tпеременные S, , p зависят только от них.Доказательство. Имеем dS = T1 d + T1 dV . Далее∂S∂SdT +dV =∂T∂V1 ∂∂(dV +dT + pdV ).T ∂V∂T∂S∂Дифференцируя равенство ∂T= T1 · ∂Tпо V , и дифференцируя равенство=∂S1 ∂1= ·+ p∂VT ∂VTпо T , а затем вычитая из первого полученного равенства второе, получаем∂ 21·−T ∂T ∂V1 ∂ 21 ∂− 2= 0.T ∂T ∂VT ∂V= 0 ⇒ = (T ).−Отсюда следует, что∂dVУтверждение 2.

Для политропного газа (CV = const) = CV T — линейная функция.Уравнения состояния газа.p = f (ρ, S), = e(V, p), = E(V, S),p = rho(V, S).Задача: найти уравнения состояния для CV = const. Политропный газ идеален.от T0 до T :Проинтегрируем уравнение CdSV = T1 dT + CRV dVVT0 eS−S0CV= T(T = T0 eS−S0CVV CR) V ⇒V0(p CR) V.ρ0p = ρRT, p = A(S)ρj , j = 1 + CRV , 1 < j < 3, A(S) = RT0 eпростоты S = const, тогда p = Aρj . Уравнение хопфа:ut + uux = 0.4S−S0CV. Пусть дляНормальный газS∗ (−∞) < S < S ∗ (+∞),f > 0, fρ > 0, fρρ > 0, fS > 0,∂f|S=const = C 2 .∂ρlim f (ρ, S) = 0, lim∗ f (ρ, S) = ∞S→S∗S→Sρ > 0, ρV < 0, ρV V > 0, ρS > 0, e > 0, pep > elim e(V, p) = 0,lim E(V, S) = 0.V →0V →∞Все эти соотношения определяют нормальный газ.

При ρ, p, c = 0 одновременноимеем вакуумЛемма 1. для нормального газа справедливы соотношения a. lim f = 0,ρ→0lim fρ =ρ→00;b.Rρ0fρdρ—ρсуществует и конечен.c. ep > 0.d. 2ev + p > 0.Доказательство. a. = E(V, S). Запишем отт.T dS =ZV1∂E∂EdV +dS + pdV∂V∂S∂E= T,∂S∂E= −p = −ρ(V, S).∂VVRV1Для V1 > V , имеем E(V ) − E(V1 ) =00ρ(V )dV . Отсюда, при V → ∞ имеем ρ →V0 ⇒ f → 0. Получаем, что p = 0 и ρ = 0 одновременно. Далее пусть V1 > V , тогдаE(V )−E(V1 ) > (V1 −V )ρ(V1 ). Возьмем V1 = 2V .

V ρ(V ) → 0 при V → ∞. V 2 ρV ≡ fρ .ZV1E(V ) − E(V1 ) = V1 ρ(V1 ) − V ρ(V ) −1000ρV (V )V dV > ρV (V1 ) (V12 − V22 ).2VОтсюда следует, что fρ = V 2 ρV (V ) → 0. c. ep ρS = T > 0. Так как ρS > 0, то и ep > 0R∞00∂E= e = −p ⇒d. используем то, что lim∗ f (ρ, S) = ∞. Имеем E(V ) = ρ(V ) dV . ∂VS→SVeV + ep ρV = −p.p2 = ρ2 (V ) = −Z∞dρ20= −20 dVdVZ∞VV50ρρV dV <Z∞00ρ(V )dV ,< 2ρV (V )Vто есть p2 < −22rhoV (V )e(V ). Отсюда 2eV + p = −2ep ρV − pp > −2ep ρV + 2ρpV e = −2ρV (ep − pe ) > 0.адиабаты Пуассона. Кривые S = const называются адиабатами или (адиабатами Пуассона).

a(S0 )— адиабата Пуассона (при S = S0 ) {a(S)}— семейство адиабат.Лемма 2. для нормального газа семейство адиабат обладает следующими свойствами:a. через произвольную точку (v0 , p0 ) проходит только одна адиабата пуассона.Верно и обратное.b. S1 < S2 ⇔ {a(S2 ) ⊂ a(S1 )}.c. Q(S0 )— выпукла (это граница адиабаты).d. адиабаты пуассона имеют асимптоты:V → 0дляp → ∞и наоборот.Доказательство. A. следует из свойства ρS > 0 при фиксированном V .b. в Q: S = S(V, p) ⇐ p = ρ(V, S(V, p)) дифференцирауя по VρV + ρS SV = 0 ⇒ SV > 0, так какρV < 0, ρS > 0.ρS SV = 1 ⇒ ∇Sнаправлен внутрьQ(S0 ), p → 0приρ → 0, V → ∞При p = 0, ρ = 0, c = 0 имеем вакуум.

В плоскости переменных V, p рассмотримпрямую p = kV + b, k > 0 ⇒ l+ . при k > 0 ⇒ l− .Лемма 3. Вдоль прямой l− энтропия имеет единственную стационарную точку∂S∂SV = V0 , в которой S достигает максимума, причем ∂V> 0 при V < V0 и ∂V<0при V > V0 .Доказательство. Используем предыдущую лемму. Из нее следует, что адиабатыa(S 00 )|S 00 > S0 не пересекают l− , и лубая адиабата a(S 0 )|S 0 <S0 пересекает l− в двухточках.

Далее: p = g(V, S), g > 0, gV < 0, gV V > 0, gS > 0. S = σ(V, p). На l− :∂S= σV + kσp . Дифференцируем равенство p = g(V, σ(V, p)) ПоS = σ(V, kV + b), ∂VV и по p.0 = gV + gS σV1 = gS σp ,отсюда σV = − ggVS , σp =энтропии по V , получим1.gSПодставляя эти значения в частные производные∂Sk − gV=,∂VgSпоэтому при (ρV )1 < k частная производная положительна, а при (ρV )1 > k— отрицательна. Что и требовалось доказать.62. Законы сохранения и сильный разрывИнтегральные законы сохранения.RЗакон сохранения массы: масса неизменна, то есть dtd ρ dω = 0, здесь ωt — индивиωtR∂ρдуальный объем.

Имеем ( ∂ρ+ρ÷~v)=0.(+ρ÷~v)=0— уравнение неразрывности.∂t∂tωtЗакон сохранения импульса: импульс меняется за счет приложенных сил, его произv+ ∇p = 0воднаяпо t равнасумме всех сил, приложенных к данному объему ωt : ρ d~dtRRdρ~vdω+p~ndσ=0p~=−p~n(векторнапряжения)или,такаязаписьp~n = P ~n,ndtωt∂ωtгде P — матрица 3×3 с элементами −p, а остальные нули. Закон сохранения энергии:энергия меняется за счет работы внешних сил и дополнительного притока энергии,ее производная по t равна мощности W , развиваемой действующими силами плюсскорость притока дополнительной энергии Q.

Если в нашей модели взять Q = 0,а W — мощность, развиваемая силами давления −p~n, то заон сохранения энергиипримет видZZq2dρ( + ) dω +p~v~nd~v = 0.dt2ωt∂ωtПо теореме переносаZdq2q2{ (ρ( + )) + ρ( + ) ÷ ~v + ÷(ρ~v )}dω = 0.dt22ωtПояснение:d∂=+ ~v · ∇,dt∂t÷(p~v ) = p ÷ ~v + ∇p · ~v .Расписывая второй член под интегралом в теореме переноса, получимZq2q2q2∂{ (ρ( + ) + ~v · ∇ρ( + )) + ρ( + ) ÷ ~v + ÷(p~v )}dω = 0.∂t222ωtПосколькуq2q2~v · ∇ρ( + ) + ρ( + ) ÷ ~v =222q= ÷(ρ( + )~v + p~v ),2то под интегралом получаем выражение∂q2q2ρ( + ) + ÷((ρ( + ) + p)~v ) = 0.∂t22Преобразовывая выражение под интегралом, получим( +q 2 ∂ρ)( + ρ ÷ ~v ) = 0.2 ∂t7Таким образом, вторая скобка равна нулю. Имеемρdd~v+ ρ~v + ∇p · ~v + p ÷ ~v = 0dtdtТак как в этой формуле сумма второго и третьего члена равна нулю, то имеемd1+ ρp ÷ ~v = 0. Поскольку ÷~v = − rho· dρ, а V = ρ1 — удельный об=ем, то:dtdtdp dρ− 2·= 0,dt ρ dt=учитывая ОТТ: T dSdtуравненийddt+ p dVdtddV+p=0dtdt= 0, получаем dS= 0.

В результате имеем системуdtd~v+ ∇p = 0,dtdρdS+ p ÷ ~v = 0,= 0.dtdtПолученная система интегральных уравнений является недоопределенной, так какпять скалярных законов сохранения, которые связывают шесть искомых основныхвеличин: три компоненты вектора скорости, плотность, давление и внутреннююэнергию. Для ее пополнения требуется привлечения термодинамических свойствгаза.ρПусть p = f (ρ, S). Имеем c2 =∂p|∂ρ S=const= fρ . Далее∂p dρ ∂p dSdp=·+·.dt∂ρ dt ∂S dt∂pУчитывая, что ∂ρ= c2 и dS= 0, получим dp+ ρ ÷ ~v = 0. Отсюда ρc12 · dp+ ÷~v = 0.dtdtdt1Обозначим b = ρc2 .

В результате, получили следующую систему уравнений (изнепрерывности движения следует, что искомые функции имеют непрерывные первые производные):d~vρ + ∇p = 0,dtdpb + ÷~v = 0,dtdρ+ ρ ÷ ~v = 0.dtОбобщенные уравнения газовой динамики.Определение. Движение газа называется непрерывным в Ω, если все шесть скалярных величин непрерывны вместе с первыми производными в Ω.81. Уравнение неразрывности вытекает из закона сохранения массы В простран~ f = ρ; phi~ = 0. Тогдастве R4 (t, ~x), ~v = (u, v, w). ∂ρ+ ÷(ρ~v ) = 0. ω~ = (f, f~v + φ),dt2~ f = ρ( + q ), φ~ = p~v . уравнение газовой динамики ÷~ω = 0,÷~ω = ft + ÷(f~v + φ).2RR~ четырехотсюда ÷~ω dΩ = 0.