tus3 (Практические занятия по теории управления)
Описание файла
Файл "tus3" внутри архива находится в папке "Практические занятия по теории управления". PDF-файл из архива "Практические занятия по теории управления", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория автоматического управления (тау)" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория автоматического управления (тау)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Семинар 3. Анализ выходных процессов многомерных линейныхдетерминированных системПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) система, описываемая уравнениями состояния и выходаx (t ) A(t ) x (t ) B (t ) g (t ) , x (t 0 ) x 0 ,y (t ) C (t ) x (t ) ;в) вектор начальных состояний x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и векторавыходаy (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных далее).2.
Используя соотношенияtx (t ) (t , t 0 ) x 0 (t , ) B () g () d ,t0ty (t ) C (t ) x (t ) C (t ) (t , t 0 )x 0 C (t ) (t , ) B () g () d ,t0илиtx (t ) (t ) x 0 (t ) B g () d ,0ty (t ) C x (t ) C (t ) x 0 C(t ) B g () d ,0в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.Первый способ. Если фундаментальная матрица (t ) 1 (t ),...
, n (t ) , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений, известна, то переходная матрица находится по формуле(t , ) (t ) 1 () .З а м е ч а н и е. Общее решение однородной системы можно записать в виде1x 0 (t ) c1 1 (t ) ... c n n (t ) ,где c1 ,... , cn – произвольные постоянные.Для стационарных систем следует выполнить действия:1. Найти корни характеристического уравненияA E 0 ,где E – единичная матрица.2. Выписать выражение общего решения для каждой компоненты вектора х, следуяизвестным правилам в зависимости от типа корней.
При этом коэффициенты при различных компонентах общего решения различны.3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаяхдостаточно подставить в первые n 1 уравнений системы, что облегчает решение задачи.4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в формеx 0 (t ) c1 1 (t ) ... c n n (t ) .В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (t , ) (t ) 1 () –переходная.Пример 1. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1 x1 2 x 2 ,x 2 4 x1 3x 2 g . 1 2 Составим матрицу системы A .
Используем приведенный выше алго 4 3ритм.1. Корни характеристического уравнения12 0 , 2 4 5 0 дейст43вительные разные: 1 5, 2 1 .2. Запишем выражения общего решения для каждой компоненты:x1 (t ) C1 e 5t C 2 e t ,x 2 (t ) B1 e 5t B 2 e t .3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:5C1 e 5t C 2 e t C1 e 5t C 2 e t 2B1 e 5t 2B 2 e t .4. Приравняв коэффициенты при e 5t и e t , получим24 C1 2 B1 , 2C 2 2 B2 ,илиB1 2C1 ,B2 C 2 .5.
Из пп. 2, 4 имеем t 5t x1 (t ) C1 e 5t C 2 e t C1 e C 2 e . 5tt e t 2e 5t x 2 (t ) 2C1 e C 2 e 1 (t ) 2 (t )Отсюда e 5t(t ) 5t 2ee t , e t 1 (t ) 1 e 5t3 2e te 5t e t и по формуле (t , ) (t ) 1 () e 5t(t , ) 5t 2ee t 1 e 5 e t 3 2e e 5 1 e 5(t ) 2e (t ) e 3 2e 5(t ) 2e (t )1 e 5 2e 3 2e 5 2e e 5 e () , где t .
2e 5 e e 5(t ) e (t ) 2e 5(t ) e (t ) Пример 2. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1 x 2 ,x 2 x1 2 x 2 g .0 1 Составим матрицу системы A . Используем приведенный выше ал 1 2горитм.1 0 , 2 2 1 0 дей1. Корень характеристического уравнения1 2 ствительный кратный: 1 , k 2 .2. Выражения общего решения для каждой компоненты имеют видx1 (t ) (C1 C 2 t ) e t ,x 2 (t ) (B1 B 2 t ) e t .3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:C 2 e t (C1 C 2 t ) e t (B1 B 2 t ) e t .4.
Приравняв коэффициенты при e t и t e t , получим3C 2 C1 B1 , C 2 B2 .5. Из пп. 2, 4 имеемt t x1 (t ) C1 e t C 2 t e t C1 e C 2 t e e t t e t . e t (C C ) e t C t e t x(t) 2 2121 (t ) 2 (t )Отсюда находится фундаментальная матрица e t(t) t et e t ,e t t e t e t t e t 1 (t) t e t e t e t и по формуле (t , ) (t ) 1 () e t(t , ) t e e (t ) (t ) e (t ) (t ) e (t )t e te t t e t e e e e e e e e (t ) e (t ) ( ) ,e e e (t ) (t ) e (t ) e где t .Второй способ.
Применение теоремы разложения Сильвестра. Переходная матрицастационарной системы определяется по формуле() e A ni 1n A Ej e i j 1 i jij ,где i – собственные значения матрицы А (здесь предполагается, что они различны), а Е– единичная матрица.Пример 3. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1 x1 2 x 2 g ,y x1 + x 2x 2 2 x1 + x 2 ,с начальными условиями x1 (0) 1, x 2 (0) = 1 при входном сигнале e t , t 0 ,g (t ) 0, t 0 .4 1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1 1 2 x1 1 g , x2 2 1 x2 0 x y = 1 1 1 . x2 2.
Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим12 0,21(1 ) 2 4 0 .Отсюда 1 3, 2 = 1 . По формуле имеем() e 3A (1)EA 3E 2 2 1 2 2 1 e e e 3 3 (1)(1) 3 4 2 2 4 2 2=1 e 3 e 2 e 3 e e 3 e .e 3 e 3. Найдем законы изменения векторов состояния и выхода:t1 e 3t e t e 3t e t 1 1 e 3(t ) e (t ) e 3(t ) e (t ) 1 e d x (t ) 3t2 e e t e 3t e t 1 2 0 e 3(t ) e (t ) e 3(t ) e (t ) 0 1 3t 1 t1 3t 3 t e ee e e t 4444, t 11111333tttttt e e e e e e e 2424 44x c (t )x вын (t )1 3t 1 te e e t 44y (t ) 1 1 t 1 1 1 3t 1 t 1 t e e e e 244111111 1= e t - e -t e 3t e t e 3t e t e t e 3t e t .442424 2yc (t ) 0y вын (t )5Пример 4.
Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1 x 2 g1 ,y1 x 2 ,x 2 x1 + g 2 ,y 2 x1 +1x22с начальными условиями x1 (0) 1, x 2 (0) = 0 при входном сигнале 2, t 0, 1, t > 0 ,g 2 (t ) = g1 (t ) 0, t 0 . 0, t 0, 1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1 0 1 x1 1 0 g 1 , x2 1 0 x2 0 1 g 2 0 1 y 1 0,5 x1 . x2 2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим 1 0, 2 1 0 .1 Отсюда 1 i, 2 = i .
По формуле (1.58) имеем() e i A (i )EA iE1 i 1 1 i i e e i e i i (i )(i ) i 2i11 i 2i 1 i e i + e i e i e i cos sin , так как cos == , sin =.22i sin cos 3. Найдем законы изменения векторов состояния и выхода:t cos t sin t 1 cos(t ) sin(t ) 1 0 2 d x (t ) sin t cos t 0 0 sin(t ) cos(t ) 0 1 1 cos t 1 2 sin t cos t 1 2 sin t + =, sin t 2 2 cos t sin t 2 2 cos t x “ (t )x "/… (t ) 0 1 cos t 0 1 1 2 sin t cos t y (t ) 1 0,5 sin t 1 0,5 2 2 cos t sin t sin t 2 2 cos t sin t 2 2 cos t +=15.sin t cos t sin t 2 sin t cos t 22 yc (t )6yвын (t )Третий способ.
Использование теоремы Кели-Гамильтона.Рассмотрим два случая ее применения.1. В случае различных собственных значений матрицы А :() r0E r1 A ... rn 1 A n 1 R ( A ) ,(*)где n – число строк матрицы А; A n 1 – (n 1) -я степень матрицы А; коэффициенты r0 ,r1 ,... , rn 1 многочлена R () находятся из системы уравненийe i R ( i ) r0 r1 i ...
rn 1 i n 1 ,i 1,..., n .(**)2. В случае кратных собственных значений матрицы А формула (*) также справедлива. Корню i кратности в системе n уравнений (**) соответствуют соотношенияd k e d kd k R ()d kk 0,1,..., 1 .,(***) iПример 5. Найти переходную матрицу системы, если матрица Aв уравне 1 2нии состояния имеет вид ` (см.
пример 1.24). 2 1 Собственные значения матрицы А: 1 3, 2 1 различны, n 2 . Поэтомусоставим систему уравнений (**):e 3 r0 3 r1 ,Отсюда r0 1 3e 3e 4e r0 r1 (1) .1 3e e . По формуле (*) имеем, r1 4() r0 E r1 A 1 3e 3e 41 e 3 e 2 e 3 e 100 1 3 e e 1 4 1221 e 3 e .e 3 e Результат совпадает с полученным ранее.Пример 6. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1 x 2 g ,y1 x1 x 2 ,x 2 x1 2 x 2 ,y 2 x1с начальными условиями x1 (0) 1, x 2 (0) 1 при входном сигнале1, t 0 ,g (t ) 0, t 0 . 1.
Перепишем уравнения системы в матричной форме:7ddt1 x1 0 x2 1 2 x1 x2 1 g ,01 1 x1 ,y = 1 0 x 2 A(t )B (t )C (t )где n 2, r 1, k 2 .2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим1 0, 2 2 1 0 .1 2 Отсюда 1 2 = 1 (корень действительный кратный). По формуле (***) имеемe 1 r0 r1 1 ,d (r0 r1)de,dd 1т.е.e r0 r1 (1),e r1.Отсюда r0 e e , r1 e . По формуле (*) получаем1 1 0 0 e () r0 E r1 A e e 0 1 1 2 e e e . e e e3.
Найдем законы изменения векторов состояния и выхода: e t te tx(t ) t te 1 t te t 1 0te te t e (t ) (t )e (t ) 1 (t - )e (t ) d (t ) (t ) (t ) 0 teete()() e t te t 2e t 2 te t 3e t 2 , t tt tt e 1 e te 1 2e te x c (t )x вын (t )1 1 e t 1 1 te t 2e t 2 y (t ) t tt 1 0 e 1 0 1 e te e t e t e t 1e t 1 t 2 2e t te t 2 3e t te t . e yс (t )y вын (t )8.