1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (Коткин, Образовский - Задачи по статической физике), страница 8

ïëàíåòà òåðÿåòàòìîñôåðó (ïðàâäà, â èíòåðåñíåéøåì ñëó÷àå î÷åíü ìåäëåííî).Íåêîòîðûå çâ¼çäíûå ñêîïëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ½ãàç“ ,ìîëåêóëû êîòîðîãî îòäåëüíûå çâ¼çäû, íàõîäÿùèåñÿ â ñîçäàâàåìîì èìè æå ïîëå òÿãîòåíèÿ. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ïîýíåðãèÿì çâ¼çä, î÷åíü ïîõîæåå íà ìàêñâåëëîâñêîå, íî ñàìûå áûñòðûå èç íèõ ïîêèäàþò ñêîïëåíèå, òàê ÷òî òàêèå çâ¼çäíûå ñêîïëåíèÿ ïîñòåïåííî ½èñïàðÿþòñÿ“ .3.11. ×èñëî ÷àñòèö, ïàäàþùèõ íà çâåçäó çà åäèíèöó âðåìåíè,Zν=nZ∞3³ m ´3/22e−mv /2T dv,σv2πT3σvf (v)d v = 4πn0Ðåøåíèÿ56µãäå σ = πR22GM1+ 2v R¶ ñå÷åíèå ïàäåíèÿ ÷àñòèöû íà øàððàäèóñà R ñ ó÷¼òîì ïðèòÿæåíèÿ, îáóñëîâëåííîãî ïîòåíöèàëüíîé³ m ´3/2GM m2ýíåðãèåé U = −, à f (v) =e−mv /2T ôóíêöèÿr2πTðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö ïî ñêîðîñòÿì.

Îêîí÷àòåëüíîrν = R2 nµ¶8πTGM m1+.mRTÏîä÷åðêí¼ì, ÷òî ýòî ðåøåíèå îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà ãàç âîêðóã çâåçäû íàñòîëüêî ðàçðåæåííûé, ÷òî äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ïðåâûøàåò ðàçìåð çâåçäû, òàê ÷òî â îñíîâíîì íà çâåçäó ïàäàþò ÷àñòèöû, íàõîäèâøèåñÿ äàëåêî îò íå¼. ïîäîáíûõ óñëîâèÿõ ïîòîê ÷àñòèö íà çâåçäó âåñüìà ìàë.3.12.

×èñëî ÷àñòèö, ïîêèäàþùèõ Çåìëþ, ìîæíî ïðèðàâíÿòü ê÷èñëó ÷àñòèö, ïàäàþùèõ íà íåå â óñëîâèÿõ, êîãäà êîíöåíòðàöèÿn ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ½äî áåñêîíå÷íîñòè“ . Õîòÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè íà êàêîì-òî ðàññòîÿíèè îò Çåìëè ñòàíîâÿòñÿ ñóùåñòâåííûìèâëèÿíèÿ Ëóíû è Ñîëíöà, èíòåðåñóþùåå íàñ ÷èñëî óëåòàþùèõ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ïðîöåññàìè, ïðîèñõîäÿùèìè â àòìîñôåðå è å¼îêðåñòíîñòÿõ, è íå äîëæíî ñèëüíî èçìåíèòüñÿ ïðè çàìåíå èñòèííîé ñèòóàöèè íà ýòó íåñêîëüêî èäåàëèçèðîâàííóþ ìîäåëü.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êîíöåíòðàöèÿ ãàçà n â êîñìè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, îòâå÷àþùàÿ óñëîâèÿì ðàâíîâåñèÿ ñ êîíöåíòðàöèåé n0íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, n = n0 exp (−v22 /vT2 ), äîñòàòî÷íî ìàëà,÷òîáû äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà â òàêîì ãàçå áûëà ìíîãî áîëüøåðàäèóñà Çåìëè.×èñëî ÷àñòèö, ïàäàþùèõ íà Çåìëþ çà ñåêóíäó, íàõîäèì, êàêýòî ñäåëàíî â çàäà÷å 3.11. Ñå÷åíèå ïàäåíèÿ 10 σ = πr02 (1 + v22 /v 2 ).Ñå÷åíèå ïàäåíèÿ ÷àñòèöû íà Çåìëþ îïðåäåëÿåòñÿ, ñðåäè ïðî÷åãî, åå ðàäèóñîì, êîòîðûé åñòåñòâåííî îòñ÷èòûâàòü â äàííîì ñëó÷àå äî âåðõíèõ ñëîåâ10Áîëüöìàíîâñêèé ãàç57×èñëî ñòîëêíîâåíèé â ñåêóíäó ν = 4πnhσvi, hσvi ≈ πr02 v22 /vT2 .Âðåìÿ ïîòåðè àòìîñôåðû îöåíèâàåì, êàê t0 ∼ N/ν .Äëÿ Çåìëè âðåìÿ t î÷åíü âåëèêî, äëÿ Ëóíû íåò.

Ðàçëè÷èåîáóñëîâëåíî, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ðàçëè÷èåì âåëè÷èí âòîðîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè. (Ñì. òàêæå [12, Ÿ 79])3.13. Âêëàä â ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèéàòîìà∞Xe2z=4n exp 2 ,2n aTn=12(e çàðÿä ýëåêòðîíà, a áîðîâñêèé ðàäèóñ, ìíîæèòåëü 4 èççà ñïèíîâîãî âûðîæäåíèÿ), ðàññìàòðèâàåìûé ôîðìàëüíî, ðàñõîäèòñÿ.  äåéñòâèòåëüíîñòè âåðõíèé ïðåäåë ñóììèðîâàíèÿ ïî n,nmax, âîçíèêàþùèé, íàïðèìåð, èç-çà áîëüøîãî ðàçìåðà âîçáóæ-e2áûñòðî óáûâàåò ñä¼ííûõ àòîìîâ, íåâåëèê, ôóíêöèÿ n exp 22n aTðîñòîì n è ïðè n < nmax íå äîñòèãàåò åù¼ ñâîåãî ìèíèìóìà, òàê2÷òî ïðè ðàñ÷åòå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ àòîìàðíîãî âîäîðîäà äîñòàòî÷íî ñîõðàíèòü òîëüêî ïåðâîå ñëàãàåìîå è ïðèíèìàòüz = 4.3.14.

Óðîâíè ýíåðãèè äëÿ ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå è êðàòíîñòè èõ âûðîæäåíèÿ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êíèãå [21, çàäà÷à 11.8] ïðèâåäåíî êàíîíè÷åñêîåïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ãàìèëüòîíèàí çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ìàãíèòíîì ïîëå.

Ýòî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, è ëåãêî âèäåòü, ÷òî òàêîå æå ïðåîáðàçîâàíèå äëÿîïåðàòîðîâ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ïðèâîäèò ãàìèëüòîíèàí ê âèäóp̂2zĤ = Ĥ1 + Ĥ2 +,2màòìîñôåðû. Äëÿ ýòîãî ðàññòîÿíèÿ îò Çåìëè è îïðåäåëÿåòñÿ âòîðàÿ êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü, âõîäÿùàÿ â ñå÷åíèå ïàäåíèÿ.Ðåøåíèÿ58ãäå Ĥ1,2 ãàìèëüòîíèàíû îñöèëëÿòîðîâ ñ ÷àñòîòàìè11ω1,2eB= ω̃ ± ωB , ωB =, ω̃ =2mcqω 2 + ω̃B2 .Äâèæåíèå âäîëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå çàâèñèò îò ïîëÿ è íå äà¼òâêëàäà â ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ãàçà. Óðîâíè ýíåðãèè äëÿ ïîïåðå÷íîãî äâèæåíèÿ En1 ,n2 = ~ω1 (n1 + 1/2) + ~ω2 (n2 + 1/2) ñîâïàäàþòñ óðîâíÿìè ýíåðãèè ïàðû íåçàâèñèìûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ (è ÿâëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè), òàê ÷òî ìîæíî ñðàçó æåçàïèñàòü âêëàä ïîïåðå÷íîãî äâèæåíèÿ â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþF⊥ =X µ ~ω1,21,22¶+ T ln (1 − e−~ω1,2/T )Ìàãíèòíûé ìîìåíò ãàçà¶X µ1∂ω1,2∂F⊥1~M=−= −N+ ~ω /T.1,2∂B2∂Be−11,2Ïîäñòàâèâ~ïîëó÷àåì∂ω1,2ω1,2e~=±µ, µ =,∂Bω̃2mcNµM=−2µω2 ~ω2 ω1 ~ω1cth− cthω̃2Tω̃2T¶.Îïðåäåëèì ìàãíèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü â ðàñ÷åòå íà îäíó ÷àñòèöó êàê1 ∂M ¯¯χ=¯ .

Ïðè âû÷èñëåíèè ìîæíî çàìåíèòüN ∂B B=0∂ω1,2 ¯¯~→ ±µ, ω1,2 → ω, ω̃ → ω.¯∂B B→0×àñòîòû ω1,2 ëåãêî íàéòè, ðàññìàòðèâàÿ äâèæåíèå ÷àñòèöû ïî îêðóæíîñòè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìàãíèòíîìó ïîëþ.11Áîëüöìàíîâñêèé ãàç ðåçóëüòàòåµ2χ=−~ωµ59~ω ~ω −2 ~ωcth−sh2T2T2T¶.µ2e2 ~Ïðè T ¿ ~ω ïîëó÷àåì χ = −=−, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò~ω4mc2 mωàòîìíîìó äèàìàãíåòèçìó (ñì., íàïðèìåð, [5, Ÿ113] ). Ïðè T À ~ωµ2ïîëó÷àåì χ = − äèàìàãíåòèçì Ëàíäàó.3T3.15. Âêëàä â òåïëî¼ìêîñòü cV ïîñòóïàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû âñåãäà ñîñòàâëÿåò 3/2 â ðàñ÷¼òå íà ìîëåêóëó.

Âêëàäû âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ½âûìåðçàþò“ ïðè î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (äëÿ âîäîðîäà âðàùàòåëüíàÿ òåïëî¼ìêîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè T < 100 Ê, êâàíòîâûå ñâîéñòâà âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿïðîÿâëÿþòñÿ ó ìîëåêóë ñ î÷åíü ìàëûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè, íàïðèìåð, ó CH4 ).Âêëàä êàæäîé âðàùàòåëüíîé ñòåïåíè ñâîáîäû ïðè äîñòàòî÷íîâûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ (ò. å. ïðè T & 10 Ê) ðàâåí 1/2.

Ìîëåêóëàóãëåêèñëîãî ãàçà ëèíåéíàÿ, ïîýòîìó ó íå¼ äâå âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíè ñâîáîäû, ìîëåêóëà âîäû èìååò ôîðìó òðåóãîëüíèêà è ó íå¼âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû òðè. Ïîêà íå ½âêëþ÷èëèñü“ êîëåáàíèÿ, òåïëî¼ìêîñòü â ðàñ÷¼òå íà ìîëåêóëó ó óãëåêèñëîãî ãàçàðàâíà 5/2, ó âîäÿíîãî ïàðà 3.Êàæäàÿ êîëåáàòåëüíàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû äà¼ò ïðè äîñòàòî÷íîâûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ âêëàä â òåïëî¼ìêîñòü, ðàâíûé 1 (õîòÿ ðåàëüíî ýòî íå âñåãäà äîñòèæèìî èç-çà äèññîöèàöèè ìîëåêóë ïðèòàêèõ âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ).

Êðîìå òîãî íóæíî çàìåòèòü, ÷òîðàçíûì êîëåáàòåëüíûì ñòåïåíÿì ñâîáîäû, êàê ïðàâèëî, îòâå÷àþòðàçíûå ÷àñòîòû, òàê ÷òî ½âêëþ÷àþòñÿ“ êîëåáàòåëüíûå âêëàäû âòåïëî¼ìêîñòü ïðè ðàçíûõ òåìïåðàòóðàõ.Âñåãî ó òðåõàòîìíîé ìîëåêóëû 9 ñòåïåíåé ñâîáîäû. Òðè èç íèõïðèõîäèòñÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Äëÿ ëèíåéíîé ìîëåêó-Ðåøåíèÿ60ëû åñòü äâå âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíè ñâîáîäû, ïîýòîìó íà êîëåáàòåëüíûå ïðèõîäèòñÿ ÷åòûðå ñòåïåíè ñâîáîäû. Äëÿ íåëèíåéíîéåñòü òðè âðàùàòåëüíûõ è ñëåäîâàòåëüíî òðè êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû.Äëÿ î÷åíü âûñîêèõ òåìïåðàòóð, êîãäà â òåïëî¼ìêîñòü äàþòâêëàä âñå ñòåïåíè ñâîáîäû, äëÿ ëèíåéíîé ìîëåêóëû Cv = 3/2++2·1/2+4·1 = 13/2, à äëÿ íåëèíåéíîé Cv = 3/2+3·1/2+3·1 = 6.3.16. Ýíåðãèÿ ãàç൶333E = (NA + Ne + Ni) T + NiI = N0 T + N0α(T )T +I ,222ãäå N0 ÷èñëî àòîìîâ äî íàãðåâàíèÿ, ïðèâåäøåãî ê èîíèçàöèè,NA , Ni , Ne ÷èñëî íåéòðàëüíûõ àòîìîâ, èîíîâ è ýëåêòðîíîâ, I ýíåðãèÿ èîíèçàöèè àòîìà.

Òåïëî¼ìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáú¼ìåµCV =∂E∂T·¶= N0V¸3dα(1 + α) +I .2dTÑ ðîñòîì òåìïåðàòóðû ðàñòåò ÷èñëî ÷àñòèö è ïðè ïîëíîé èîíèçàöèè óäâàèâàåòñÿ. Ïîýòîìó óäâàèâàåòñÿ è òåïëî¼ìêîñòü. Èîíèçàöèÿ ïðîèñõîäèò â óçêîì èíòåðâàëå òåìïåðàòóð â îêðåñòíîñòèòåìïåðàòóðû ìíîãî ìåíüøåé I (åñëè êîíöåíòðàöèÿ ãàçà íå ñëèøêîì âåëèêà).  ýòîé îáëàñòè èìååòñÿ óçêèé ïèê â çàâèñèìîñòèCV (T ).Íà ðèñ. 9 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü ñòåïåíè èîíèçàöèè ïëàçìû îòòåìïåðàòóðû. Íà ðèñ.10 CV (T ). ( Çàâèñèìîñòü α(T ) äëÿ ðèñóí-¡¢3/2mI= 103 .)êîâ âçÿòà èç [7, Ÿ 49], ïðèíÿòî 2VN0 2π~2Òåïëî¼ìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè âûðàæàåòñÿ àíàëîãè÷íî ÷åðåç ýíòàëüïèþ. (Èìåííî CP âõîäèò â óñëîâèå óñòîé÷èâîñòèàòìîñôåðû ñ ãðàäèåíòîì òåìïåðàòóðû îòíîñèòåëüíî êîíâåêöèè.)3.17. Äèññîöèàöèþ ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê õèìè÷åñêóþðåàêöèþAB À A + B .Áîëüöìàíîâñêèé ãàç61201CVα150.80.6100.450.200T/I0.10.20.30.40.5000.10.20.30.4T /I0.5Ðèñ.

9. Çàâèñèìîñòü ñòåïåíè èîíèçàöèè Ðèñ. 10. Çàâèñèìîñòüòåïëî¼ìêîñòèïëàçìû îò òåìïåðàòóðû ïðè ïîñòîÿí- ïëàçìû îò òåìïåðàòóðû ïðè ïîñòîÿííîì îáú¼ìåíîì îáú¼ìåÏóñòü ïðè î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ áûëî N0 ìîëåêóë. Ïðèïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ÷àñòü ìîëåêóë äèññîöèèðóåò, òàê ÷òîîñòàíåòñÿ Nm ìîëåêóë è NA = NB = N0 − Nm àòîìîâ òèïà A èB . Ââåäåì ñòåïåíü äèññîöèàöèè α ≡ NA/N0. Ýòà âåëè÷èíà ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â ïðåäåëàõ 0 ≤ α ≤ 1. ×èñëî àòîìîâ è ìîëåêóëâûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòåïåíü äèññîöèàöèè ñëåäóþùèì îáðàçîì:NA = NB = αN0, Nm = (1 − α)N0 .Óñëîâèå õèìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿµAB = µA + µB ,(16)ãäå µ õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ãàçà. Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçàµi = −T lnziNi, i = A, B, AB.ãäå z ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà îäíîé ìîëåêóëû.Óñëîâèå (16) ó÷¼òîì (17) äà¼òzA zBzAB=,NANB NAB(17)Ðåøåíèÿ62èëèα2zAzB=.1 − α zAB N0Îáîçíà÷èì ýíåðãèþ äèññîöèàöèè ìîëåêóëû W .

Åñëè ñîîáùèòüòàêóþ ýíåðãèþ àòîìàì ïîêîÿùåéñÿ ìîëåêóëû, òî îíè ðàçëåòÿòñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû, ïðè÷åì ñêîðîñòü èõ ïî ìåðå ðàçëåòà áóäåòñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Çàïèñûâàÿ ñòàòñóììû äëÿ ðàçíûõ ÷àñòèö,íóæíî ñîãëàñîâàòü èõ íà÷àëà îòñ÷åòà ýíåðãèè: ïðèíèìàÿ çà íîëüýíåðãèè ïîêîÿùèõñÿ àòîìîâ A è B , áóäåì ñ÷èòàòü ýíåðãèþ ïîêîÿùåéñÿ ìîëåêóëû AB ðàâíîé −W . Ñòàòñóììà ÷àñòèöû AZz = gA Ve−p2 /2mTd3p= gA V(2π~)3µmT2π~2¶3/2,àíàëîãè÷íà ñòàòñóììà àòîìà B . Äëÿ ìîëåêóëû íóæíî äîáàâèòüìíîæèòåëè12zrot2ITeW/T= 2 , zvib =.~1 − e−~ω/T èòîãåα2V=1 − α N0(2π)3/2µmABmAmB¶3/22IT 1/2−~ω/T −W/T(1−e)e. (18)~5Äëÿ ðàçðåæåííîãî ãàçà óæå ïðè T . ~ω áîëüøàÿ ÷àñòü ìîëåêóë äèññîöèèðóåò.  ýòîì ñëó÷àåα2=1−αµTT0ãäå−1/2T0V=N0(2π)3/2¶1/2e−W/T ,µmABmAmB¶3/22I.~5Åñëè àòîìû A è B òîæäåñòâåííû, òî íóæíî äîáàâèòü åùå ìíîæèòåëü ½÷èñëî ñèììåòðèè“ àíàëîã ìíîæèòåëÿ 1/N ! â ñòàòñóììå ãàçà.12Ôåðìè-ãàç63Òåìïåðàòóðó Täèñ , ïðè êîòîðîé ñòåïåíü äèññîöèàöèè α = 1/2, íàõîäèì, ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.Täèñ ≈1W2 1 + ln(W/T0)Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñòðàííîå ïîâåäåíèå α â (18) ïðè T → ∞.Ïðè÷èíà â íåêîððåêòíîì ó÷¼òå êîëåáàòåëüíûõ óðîâíåé ýíåðãèèïðè âû÷èñëåíèè zvib (ïîäðîáíåå ñì.

â [7, Ÿ 50]).3.21. Åñëè ïåðåâåðí¼òñÿ N1 ýëåêòðîíîâ, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó IΩ = ~N1 , ãäå I ìîìåíòèíåðöèè öèëèíäðà, Ω åãî óãëîâàÿ ñêîðîñòü. Ýíåðãèÿ âðàùåíèÿEk = Ω2/2I áóäåò âçÿòà èç âíóòðåííåé ýíåðãèè, òàê ÷òî ýíòðîïèÿ öèëèíäðà óìåíüøèòñÿ íà S0 = Ek /T , ãäå T òåìïåðàòóðàöèëèíäðà. (ż ñ÷èòàåì íåèçìåííîé, ïðèíèìàÿ, ÷òî òåïëî¼ìêîñòüöèëèíäðà äîñòàòî÷íî âåëèêà.) Ýíòðîïèÿ ýëåêòðîíîâ, ñâÿçàííàÿ ñN!.îðèåíòàöèåé èõ ñïèíîâ, ñòàíåò ðàâíà Se = ln CN 1 = ln N !(NN−N11 )!Âåëè÷èíà N1 îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì, ÷òîáû ïðèðîñò ýíòðîïèè∂(Se −S0) = 0 , îòêóäà Ω = N ~/I(1+e~Ω/T ).áûë ìàêñèìàëüíûì: ∂N14.Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàç4.1. Ðàçîáüåì ïîâåðõíîñòü íà ÿ÷åéêè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ëèáîïóñòû, ëèáî çàíÿòû òîëüêî îäíîé ÷àñòèöåé.