1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (Коткин, Образовский - Задачи по статической физике), страница 7

Ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì äëÿ ñèñòåìû N øàðîâdw = Aδ(ε1 + ε2 + ... + εN − E)d2p1d2p2...d2pN ,p2iãäå εi =, E ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû øàðîâ, A íîðìèðî2mâî÷íàÿ êîíñòàíòà. ×òîáû ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ïî êîìïîíåíòåñêîðîñòè vx îäíîãî øàðà (íàïðèìåð, ïåðâîãî), ñëåäóåò ïðîèíòåãðèðîâàòü dw ïî âñåì êîìïîíåíòàì èìïóëüñîâ, êðîìå dp1x . Ïðèýòîì ó÷òåì, ÷òî d2 pi ∝ dεi , à òàêæå ñäåëàåì çàìåíû ïåðåìåííûõqεi = (E2− mv1x/2)zi,i = 2, 3, ..., N, v1y =2 /2)/m z ,(E − mv1x1yïîçâîëÿþùèå ïðèâåñòè èíòåãðàë ê áåçðàçìåðíîìó âèäó (è òåìñàìûì óéòè îò åãî ôàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ)Zdw = A0¡¢2δ (E − mv1x/2)(z1y + z2 + z3 + ... + zN − 1) ·22· dz1y dz2...dzN (E − mv1x/2)N −1/2 = A00(E − mv1x/2)N −3/2. èòîãå,¶N −3/2µ2dwmv1x.=B 1−dvx2ERÈç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè,dw = 1, ìîæåò áûòü íàéäåíà è ïîr1 2m (2N − 4)!!ñòîÿííàÿ B =.π E (2N − 3)!!Ðåøåíèÿ483.Áîëüöìàíîâñêèé ãàç3.2.

Ïåðâîíà÷àëüíîå çíà÷åíèå ýíòðîïèè ðàâíîSí = S1 + S2, Si = Ni lnVi+ Nif (mi, T ), i = 1, 2,Niãäå ôóíêöèÿ f âêëþ÷àåò â ñåáÿ âåëè÷èíû, íå çàâèñÿùèå îò ïëîòíîñòè Ni /Vi . Ïîñëå ñìåøèâàíèÿ êàæäûé èç ãàçîâ íàõîäèòñÿ âîáú¼ìå V = V1 + V2 è ýíòðîïèÿ ðàâíàSê = S1 + S2, Si = Ni lnV1 + V2+ Nif (mi, T ), i = 1, 2NiÈçìåíåíèå ýíòðîïèè ðàâíî∆S = N1 lnV1 + V2V1 + V2+ N2 ln>0V1V2Åñëè áû ãàçû íå áûëè áû ðàçíûìè, òî èçìåíåíèå ýíòðîïèèáûëî áû, åñòåñòâåííî, ðàâíî íóëþ.Òîò ôàêò, ÷òî ïåðåõîäå îò ãàçîâ, ìîëåêóëû êîòîðûõ ðàçëè÷àþòñÿ êàê óãîäíî ìàëî, ê ãàçàì ñ òîæäåñòâåííûìè ìîëåêóëàìèýíòðîïèÿ ñìåøåíèÿ èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì, ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèåïàðàäîêñà Ãèááñà.3.3.

Ýíåðãèÿ ÷àñòèöû åñòüp2ε=+ mgz,2mïîýòîìó ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà ÷àñòèöû z ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñîìíîæèòåëåé, îäèí èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿèíòåãðèðîâàíèåì ïî èìïóëüñàì, à äðóãîé ïî êîîðäèíàòàì,z = zp + zu, òàê ÷òî ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ â ðàñ÷¼òå íà ÷àñòèöóhE/N i = −d(ln zp + ln zu)dβÁîëüöìàíîâñêèé ãàç49ñîäåðæèò âêëàäû îò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (cV T ) è îò ïîòåíöèàëüíîé:µZ¶hU/N i = −dlndβe−βmgz d3r=mgL.exp(mgL/T ) − 1Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, T ¿ mgL,=T+hE/N i ≈ (cV + 1)T = cP T , C = N cP ,(ñð. ñ çàäà÷åé 1.1); ïðè âûñîêèõ hE/N i ≈ (cV )T = cV T , C = N cV .3.4. Âêëàä â ñòàòñóììó ÷àñòèöû îò ðàñïðåäåëåíèÿ ïî èìïóëüñàì òàêîâ æå, êàê äëÿ ãàçà â çàäàííîì îáú¼ìå.

Âêëàä îò ðàñïðåäåëåíèÿ ïî êîîðäèíàòàìZaZae−U/T dV = 4πaU0/Tzu =0r2−U0/T dr =0ãäå îáîçíà÷åíîV,1 − T0/T(12)4U0V = πa3, T0 = .33Ïðè T < T0 èíòåãðàë (12) ðàñõîäèòñÿ, òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àåïîòðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå èññëåäîâàíèå.Âêëàä zu â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ãàçàFu = −N T ln V + N T ln (1 − T0/T ) ,(13)ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ãàçàEu = −T 2∂ FuN T0=−,∂T T1 − T0/T(14)òåïëî¼ìêîñòüC = N (cV + cu) , N cu =∂EuN.=∂T(T /T0 − 1)2(15)Ðåøåíèÿ50Ïðè U0 → 0, ðàçóìååòñÿ, Cu → 0. Ïðè T → T0 + 0 îêàçûâàåòñÿEu → −∞ , Cu → ∞, ïîíèçèòü òåìïåðàòóðó òàêîãî ãàçà íèæåT0 íåâîçìîæíî: íóæíî áûëî áû îòâåñòè áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâîýíåðãèè. Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî ýòà ýíåðãèÿ áåð¼òñÿ çà ñ÷¼òïàäåíèÿ ÷àñòèö â öåíòð ïîëÿ.Êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö n ∝ e−U/T = (a/r)U0 /T ,n=NVµ¶³ ´T0a 3T0/T1−.TrÍàéä¼ì, ñêîëüêî ÷àñòèö îêàæåòñÿ â î÷åíü ìàëîé îêðåñòíîñòè öåíòðà, ïðè r < ε.Zε2nr dr = NNε = 4π³ ε ´3(1−T0/T )0a.Ïðè T → T0 + 0 îêàçûâàåòñÿ Nε → N : â öåíòð ïîïàäàþò âñå÷àñòèöû.

Ïîäðîáíåå î ïðåäåëüíûõ òåìïåðàòóðàõ ñì. [7, Ÿ 67].Äàâëåíèå ãàçà ïðè r = a íàõîäèì êàê P = nT ,P |r=aNT=VµT01−T¶.¡ ∂F ¢Ïîïûòêà âûðàçèòü äàâëåíèå êàê P = − ∂V T (c F èç (13) )ïðèâîäèò ê îøèáî÷íîìó ðåçóëüòàòó, ëåãêî ñîîáðàçèòü, ïî÷åìó.Çàìåòèì, ÷òî â ïîëå ñ áîëåå ñèëüíîé îñîáåííîñòüþ, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêàÿ, íàïðèìåð, â ïîëå U = −α/r ÷àñòèöû êëàññè÷åñêîãî èäåàëüíîãî ãàçà â ñòàòèñòè÷åñêîìðàâíîâåñèè óïàäóò â öåíòðRïîëÿ ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå:ndV → ∞. Ýòî îçíà÷àåò, êîr<εíå÷íî, ÷òî òàêàÿ ìîäåëü ãàçà â òàêîì ñëó÷àå íåïðèìåíèìà.

Òåìèíòåðåñíåå áóäåò óâèäåòü, êàê ñïðàâèëèñü ñ ýòîé òðóäíîñòüþ ïðèðàññìîòðåíèè ðàâíîâåñíîé ïëàçìû.3.5. Èç ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñêîðîñòÿì³ m ´3/22w(v)dv = 4πe−mv /2T v 2dv.2πTÁîëüöìàíîâñêèé ãàç51ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèÿì. Íàïðèìåð, äëÿε = mv 2/2 ïîëó÷àåì2dw = √ e−ε/Tπrε ³ε´d.TTÂåðîÿòíîñòü íàéòè ìîëåêóëó ñ ýíåðãèåé ε ≥ ε0 äëÿ ε0 À Täà¼òñÿ èíòåãðàëîì2w0 = w(ε ≥ ε0) = √πZ∞ε0 /Tre−ε/Tr³´εεε0 −ε0/Td≈eTTTÄëÿ ε0 = 1 ý ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ â 1 ñì3 íàõîäèòñÿ ïðèìåðíî 600 ìîëåêóë.

Îäíàêî óæå äëÿ ε0 = 2 ý âåðîÿòíîñòü íàéòèòàêóþ ìîëåêóëó ñîñòàâëÿåò ∼ 10−34 , ïîýòîìó òàêèõ ýíåðãè÷íûõ÷àñòèö íåò äàæå â áîëüøîé àóäèòîðèè.Ñêîðî ëè ïîÿâèòñÿ ìîëåêóëà ñ ýíåðãèåé ε > ε0 ∼ 2 ýÂ? Äëÿîäíîé ìîëåêóëû ½èñïûòàíèÿ“ ïðîèñõîäÿò ñ ÷àñòîòîé å¼ ñòîëêíîâåíèé (ïðè êàæäîì ñòîëêíîâåíèèp èçìåíÿåòñÿ å¼ ñêîðîñòü). ÝòîT /m õàðàêòåðíàÿ (òåïëîâàÿ)÷àñòîòà ν ∼ vT /l, ãäå vT ∼ñêîðîñòü ìîëåêóëû, l ∼ 1/nσ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà, n êîíöåíòðàöèÿ ãàçà, σ ñå÷åíèå ñòîëêíîâåíèé ìîëåêóë.

ÄëÿN ìîëåêóë ÷èñëî ½èñïûòàíèé“ çà âðåìÿ t ðàâíî N νt (N = nV ÷èñëî ìîëåêóë â êîìíàòå, îáú¼ì êîòîðîé ðàâåí V ). Ñðåäíåå÷èñëî ½óñïåøíûõ èñïûòàíèé“ ñîñòàâëÿåò w0 N νt. Âðåìÿ îæèäàíèÿ ïîÿâëåíèÿ ìîëåêóëûñ ýíåðãèåé âûøå ε0 îöåíèâàåòñÿ êàêrt ∼ 1/(w0N ν) ∼T ε0/Te /(N ν) ∼ 10−36+17ε0(ýÂ)c. Äëÿ ε0 ≥ 3 ýÂε0ýòî âðåìÿ ïðåâûøàåò âîçðàñò Âñåëåííîé.3.6. Ïîñêîëüêó ÷àñòèöû, èìåþùèå áîëüøåå çíà÷åíèå ñêîðîñòè,áûñòðåå äîñòèãàþò ñòåíêè, ìîæíî îæèäàòü ÷òî èñêîìàÿ ýíåðãèÿhεi áîëüøå ñðåäíåé ýíåðãèè ìîëåêóëû â îáú¼ìå ãàçà, 3T /2.Ïóñòü îñü z íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòåíêå íàðóæó.

Ðàçîáüåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìîëåêóëû mv 2 /2 íà äâà ñëàãàåìûõ:Ðåøåíèÿ52εxy = m(vx2 + vy2)/2 è εz = mvz2/2. ×èñëî ÷àñòèö, íàëåòàþùèõíà åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó ñòåíêè çà åäèíèöó âðåìåíè, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîíöåíòðàöèþ ìîëåêóë n0 è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîêîìïîíåíòå ñêîðîñòè vzrf (vz ) =êàêrZ∞n = n0m −mvz2/2Te2πTvz f (vz )dvz = n00T2πmZ∞2ze−z dz =0n02rT,2πmà âêëàä εz â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ýòèõ ÷àñòèörZ∞nhεz i = n0εz vz f (vz )dvz = n00TT2πmZ∞2z 3e−z dz =0n02rTT.2πmÒàêèì îáðàçîì hεz i = T . Íà âåëè÷èíó hεxy i = T , äâèæåíèå âíàïðàâëåíèè z , ïðèâîäÿùåå ê ñòîëêíîâåíèþ ñî ñòåíêîé, íå âëèÿåò.

 èòîãå hεi = 2T. (Äëÿ äâóõàòîìíîãî ãàçà ýòî äâèæåíèå íåâëèÿåò è íà ýíåðãèþ âðàùåíèé è êîëåáàíèé ìîëåêóë).Eñëè â îòêà÷àííûé ñîñóä âïóñòèòü ÷åðåç îòâåðñòèå ðàçìåðàd ¿ λ (ãäå λ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà) íåáîëüøóþ ïîðöèþãàçà c òåìïåðàòóðîé T (íåáîëüøóþ äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíîáûëî ïðåíåáðå÷ü îáðàòíûì ïîòîêîì), òî ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òåìïåðàòóðà ãàçà â ñîñóäå ñòàíåò ðàâíîé T 0 = (2/3)hεi == 4T /3.Äëÿ îáðàòíîãî ñëó÷àÿ, d À λ, òåìïåðàòóðà âîøåäøåãî â îòâåðñòèå îäíîàòîìíîãî ãàçà T 0 = 5T /3 (ñì.

çàäà÷ó 1.3, [1, Ÿ 39]).Ðàçëè÷èå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ íå äîëæíî íàñ óäèâëÿòü, ïîòîìó ÷òîìåõàíèçìû óâåëè÷åíèÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ïîïàâøèõ â ñîñóä ÷àñòèöðàçëè÷íû: â ñëó÷àå d ¿ λ â îòâåðñòèå ïîïàäàåò áîëüøå áûñòðûõ÷àñòèö, à â ñëó÷àå d À λ, ãàç äâèæåòñÿ, êàê ñïëîøíàÿ ñðåäà, èíàä íèì ñîâåðøàåò ðàáîòó àòìîñôåðíûé âîçäóõ.Áîëüöìàíîâñêèé ãàç533.7. Ïóñòü ïîâåðõíîñòü âîäû íàõîäèòñÿ â êîíòàêòå ñ íàñûùåííûì ïàðîì. Òîãäà ïîòîê ìîëåêóë, ïîêèäàþùèõ âîäó, êîìïåíñèðóåòñÿ ïîòîêîì ìîëåêóë, ïîïàäàþùèõ â íåå èç ïàðà. Ïëîòíîñòü ïîòîêà ìîëåêóë, äîñòèãàþùèõ ïîâåðõíîñòè âîäû, íàéäåíà â ïðåäûäóùåé çàäà÷å:rj=n02PT=√.2πm2πmTÅñëè ïðèíÿòü, ÷òî êàæäàÿ ìîëåêóëà, äîñòèãàþùàÿ ïîâåðõíîñòèâîäû, ïîãëîùàåòñÿ, òî òàêîé æå äîëæíà áûòü è ïëîòíîñòü ïîòîêàìîëåêóë, ïîêèäàþùèõ âîäó. [1, Ÿ 39].Íåîáõîäèìûé ïîäâîä òåïëà â çàäà÷å îïðåäåëÿåòñÿ êàê Q = qj ,ãäå q = 2500(Äæ/ã)/(6 ·1023 ÷àñòèö /18ã) =7,5 ·10−20 Äæ/÷àñòèöà ñêðûòàÿ òåïëîòà èñïàðåíèÿ.

 èòîãåj = 2.4 · 1020 1/(ñì2 c). Q =180 êÂò/ñì2.(Âåëè÷èíà q âêëþ÷àåò íå òîëüêî ñðåäíþþ ýíåðãèþ âûëåòàþùèõ ÷àñòèö è èõ ýíåðãèþ ñâÿçè, íî è ðàáîòó âûòåñíåíèÿ, ñâÿçàííóþ ñ óâåëè÷åíèåì îáú¼ìà âåùåñòâà ïðè èñïàðåíèè. Âïðî÷åì,äîëÿ ðàáîòû âûòåñíåíèÿ íåâåëèêà.) Íåîáõîäèìûé ïîäâîä òåïëàî÷åíü âåëèê, òàê ÷òî íàéäåííàÿ ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ ìîæåò ïîääåðæèâàòüñÿ â òå÷åíèå ìàëîãî âðåìåíè.

Ïîâåðõíîñòü âîäû î÷åíüáûñòðî îõëàäèòñÿ.Íàñêîëüêî ñïðàâåäëèâî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïðèëèïàåò êàæäàÿìîëåêóëà?  ðàáîòå [13] óêàçàíî, ÷òî ê ïîâåðõíîñòè âîäû â óñëîâèÿõ, ïðèìåðíî òàêèõ, êàê â ýòîé çàäà÷å, ïðèëèïàåò íà ñàìîìäåëå ëèøü îäíà ìîëåêóëà èç 25. Ýòî ñíèæàåò ÷èñëåííûå îöåíêè ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ, íåîáõîäèìîãî ïîäâîäà òåïëà è ñêîðîñòèîõëàæäåíèÿ âîäû, íî íå îòìåíÿåò òîò ôàêò, ÷òî ïîâåðõíîñòü âîäû î÷åíü áûñòðî îõëàäèòñÿ è ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ î÷åíü áûñòðîóïàä¼ò.3.8.

Âûáåðåì îäíó ÷àñòèöó òèïà ½1“ ñî ñêîðîñòüþ v1 è âûðàçèìñðåäíåå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé åå dν çà 1 ñåêóíäó ñ ÷àñòèöàìè òèïàÐåøåíèÿ54½2“ , ñêîðîñòü êîòîðûõ ëåæèò â îáëàñòè d3 v2 âáëèçè v2 . Ïëîòíîñòüïîòîêà òàêèõ ÷àñòèö, çàïèñàííàÿ â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, â êîòîðîé ÷àñòèöà ½1“ íåïîäâèæíà ïåðåä ñòîëêíîâåíèåì,9 j 0 = vîòí n2 f2 (v2 )d3 v2 ,ãäå vîòí = |v2 − v1 | ñêîðîñòü ÷àñòèöû ½2“ â ñèñòåìå ÷àñòèöû ½1“ ,à ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñå÷åíèå: dν = σ(vîòí )j 0 .Ïîëíîå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé â îáúåìå dV (çà 1 ñåêóíäó) ïîëó÷àåì,ïðîñóììèðîâàâ ïî âñåì ñêîðîñòÿì ÷àñòèö ½2“ è ïî âñåì ÷àñòèöàì½1“ :Zν=σ(vîòí)vîòín2f2(v2)d3v2n1f1(v1)d3v1dV.Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, âåëè÷èíà ν íå èçìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå1 À 2.Äàëåå îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ñêîðîñòè ÷àñòèö íåðåëÿòèâèñòñêèå.Óäîáíî ïåðåéòè â èíòåãðàëå ê îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè è ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ:vîòí = v2 − v1 , Vöì = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2).Òîãäàf1(v1)f2(v2)d3v1d3v2 = föì(Vöì)fîòí(vîòí)d3V öìd3v îòí,ãäå³ m + m ´3/2212föì(Vöì) =e−(m1+m2)Vöì/2T ,2πT³ m ´3/22e−mvîòí/2T ,fîòí(vîòí) =2πTÄëÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ñèñòåìå ïîêîÿ ÷àñòèöû p½1“ êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö ½1“ ðàâíà n01=n1 /Γ, ãäå22Γ = 1/ 1 − v1 /c , à ïëîòíîñòü ïîòîêà ÷àñòèö ½2“ (òåõ, ñêîðîñòü êîòîðûõ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ëåæèòâ îáëàñòè d3 v2 âáëèçè v2 ) pj 0 = n02 vîòí f2 (v2 )d3 v2 , ãäå vîòí =(v2 − v1 )2 − [v1 v2 ]2 /c2 /(1 − v1 v2 /c2 ),9n02 = n2 (1 − v1 v2 /c2 )Γ.Áîëüöìàíîâñêèé ãàç55m = m1m2/(m1 + m2) ïðèâåäåííàÿ ìàññà.

Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïîñêîðîñòè öåíòðà ìàññ, ïîëó÷èì äëÿ ÷èñëà ñòîëêíîâåíèé â îáú¼ìådV çà âðåìÿ dtZ∞³ m ´3/223dν12 = 4πn1n2dV dt vîòíσ(vîòí)e−mvîòí/2T dvîòí2πT0Åñëè ðå÷ü èäåò î ñòîëêíîâåíèÿõ îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, òî íàéäåííûé ðåçóëüòàò íóæíî ðàçäåëèòü ïîïîëàì, n1 n2 → n2 /2, òàêêàê â ýòîì ñëó÷àå â íàøåé ñõåìå ðàñ÷¼òà êàæäîå ñòîëêíîâåíèåîêàæåòñÿ ó÷ò¼ííûì äâàæäû (êàæäàÿ èç ÷àñòèö ìîæåò èãðàòüðîëü êàê ïîêîÿùåéñÿ, òàê è íàëåòàþùåé).3.10.

Êîíöåíòðàöèÿ ãàçà ñ ìàññîéìîëåêóëûm ¶¸íà ðàññòîÿíèè rµ·11−. Ïðè r → ∞rT r0µT¶v22êîíöåíòðàöèÿ ñòðåìèòñÿ ê ïîñòîÿííîé n0 exp − 2 , ãäå v2 vTâòîðàÿ êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü, à vT òåïëîâàÿ. Ïîëíîå ÷èñëî ìîîò öåíòðà ïëàíåòû n = n0 exp γmm0ëåêóë, îêðóæàþùèõ ïëàíåòó áåñêîíå÷íî. Åñëè ïðåäñòàâèòü ñåáå,÷òî â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè âåñü ãàç áûë ñâÿçàí ñ ïëàíåòîé, òî âðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè äîëæíî áûòü n0 → 0, ò. å.