1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (Коткин, Образовский - Задачи по статической физике), страница 6

Äàëüíåéøèé õîä ðåøåíèÿ çàäà÷è âïîëíåÐåøåíèÿ38àíàëîãè÷åí ïóòè ðåøåíèÿ çàäà÷ 1.6, 1.8.µ¶3V E 2 1 − ε 3V E 23∆F = F(T, E) − F(T, 0) ==−1 ,8π 2 + ε8π2+嵶T ∆S∂∆F9V E 2 ε0(T )∆S = −=,δT=−.∂T E8π (2 + ε)2VCÏîä÷åðêí¼ì, ÷òî â ðàâåíñòâå (8) ðàáîòà −PdE ñîäåðæèò íå òîçíà÷åíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, êîòîðîå èìååòñÿ îêîëî øàðà èëèâíóòðè íåãî, à ïîëå âäàëè îò øàðà, ò.

å. òî, êîòîðîå áûëî áûâ îòñóòñòâèå øàðà. Ôàêòè÷åñêè ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ F ó÷èòûâàåòâêëàä â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ïîëåé â ïðîñòðàíñòâå, îêðóæàþùåìøàð.2.Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ2.1. [8, ãë. 1, çàäà÷à 13]. 7 Ïóñòü ÷èñëî ñåãìåíòîâ, íàïðàâëåííûõâíèç, ðàâíî N+ = N/2 + m, à ââåðõ N− = N/2 − m. Òîãäà äëèíà öåïè ðàâíà l = 2ma.  êà÷åñòâå ýíåðãèè öåïî÷êè ïðèíèìàåìïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ãðóçàE = −lf = −2maf.(Çà íà÷àëî îòñ÷åòà ïðèíÿò óðîâåíü òî÷êè ïîäâåñà.  ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ìîëåêóëû êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåïëîâîãî äâèæåíèÿ çâåíüåâ íå ó÷èòûâàåòñÿ.) Ýíòðîïèÿ ñîñòîÿíèÿ ñ çàäàííîéäëèíîéS = lnCNN+ = lnN!.N+!N−!Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì ìèêðîêàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå ïðîùå, ÷åì ñ èñïîëüçîâàíèåì êàíîíè÷åñêîãî, íî èìåííî òàêîé ïîäõîäê çàäà÷àì ìû õîòèì ïðîèëëþñòðèðîâàòü.7Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ39Ñâÿçü òåìïåðàòóðû ñ ýíåðãèåéîòêóäà∂S1 ∂S1 N−1===ln,T∂E −2af ∂m 2af N+N − 2mN af= e−2maf /T , m = th ,N + 2m2Tl = N a thaf.TÑ ðîñòîì òåìïåðàòóðû äëèíà öåïî÷êè óáûâàåò.

Äëÿ ðåçèíû ýòîìóîòâå÷àåò óñëîâèåµ ¶∂l∂T< 0.(9)fÑ òî÷êè çðåíèÿ ôîðìàëüíûõ âû÷èñëåíèé, ýòà çàäà÷à íå îòëè÷àåòñÿ îò çàäà÷ î äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìå, î íàìàãíè÷èâàíèè ãàçàìàãíèòíûõ äèïîëåé ñî ñïèíîì 1/2.Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ðåçèíêè ïðè àäèàáàòè÷åñêîì èçìåíåíèè äëèíû õàðàêòåðèçóåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîìµ∂T∂l¶.S∂(T, S)= −1 .∂(f, l)µ ¶∂T∂(T, S)∂(f, l) ∂(f, T ) ∂(l, T )==−=∂l S∂(l, S)∂(f, T ) ∂(l, T ) ∂(l, S)µ ¶ µ ¶∂l∂fT=−.∂T f ∂l T ClÏðåîáðàçóåì åãî, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèåÏîñêîëüêó äëÿ êàó÷óêà, î÷åâèäíî,µ∂l∂f¶> 0,(10)Tµ ¶∂Tñ ó÷¼òîì íåðàâåíñòâà (9) ïîëó÷àåì> 0: ïðè ðàñòÿãèâà∂l SCl > 0 ,íèè ðåçèíû îíà íàãðåâàåòñÿ.  ÷àñòè êóðñà, ïîñâÿùåííîé ôàçîâûì ïåðåõîäàì è ôëóêòóàöèÿì, áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî íåðàâåíñòâàÐåøåíèÿ40âèäà (10) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ äëÿ ëþáîãî âåùåñòâà.2.2.

L êâàíòîâ ìîæíî ðàñïðåäåëèòü ìåæäó N îñöèëëÿòîðàìèΓ ñïîñîáàìè. ×òîáû íàéòè ýòî ÷èñëî, ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî â ðÿäïîñòàâëåíû N − 1 + L îáúåêòîâ. Ëþáîå âîçìîæíîå ðàñïðåäåëåíèåêâàíòîâ ïî îñöèëëÿòîðàì ìîæíî ïîëó÷èòü, îáúÿâèâ L èç ýòèõîáúåêòîâ êâàíòàìè, à îñòàëüíûå N − 1 ïåðåãîðîäêàìè ìåæäóN ÿùèêàìè îñöèëëÿòîðàìè. Òàêîé âûáîð âîçìîæåí(N − 1 + L)! (N + L)!Γ = CNL −1+L =≈(N − 1)!L!N !L!ñïîñîáàìè.Ýíòðîïèÿ ñèñòåìû åñòü S = ln Γ, à òåìïåðàòóðà îïðåäåëÿåòñÿèç ñîîòíîøåíèÿµ¶∂S1 ∂S1N +L1===ln.T∂E ~ω ∂L ~ωLÎòñþä൶11~ω ~ωE = N ~ω+ ~ω/T= N cth ,2 e22T−1µ ¶2µ ¶~ω~ωC=Nsh−2.2T2TÏðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ, ~ω ¿ T ,µµ ¶¶~ωE = NT 1 + OT(òîò ôàêò, ÷òî â ðàçëîæåíèè íåò ÷ëåíà ñ (~ω / T )0 , î÷åâèäåí èç-çàíå÷¼òíîñòè ôóíêöèè cthx.)Òåïëî¼ìêîñòü C ≈ N .Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, ~ω À T ,µE ≈ E0 + N ~ω exp(−~ω/T ),C=N~ωT¶2exp(−~ω/T ) ¿ NÌèêðîêàíîíè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ31.2E/Nh̄ω2.5C/N120.81.50.610.40.50.2T /h̄ωT/h̄ω00410.511.522.53000.511.522.53Ðèñ.

5. Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ãàðìîíè÷å-Ðèñ. 6. Òåïëî¼ìêîñòü ãàðìîíè÷åñêîãîñêîãî îñöèëëÿòîðà â çàâèñèìîñòè îòòåìïåðàòóðûîñöèëëÿòîðà â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðûÇàâèñèìîñòè E(T ) , C(T ) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5, 6.2.3.  îäíîìåðíîé çàäà÷å âîëíîâûå ôóíêöèè è óðîâíè ýíåðãèè÷àñòèöûrψn =2πnsin knx, kn =, n = 1, 2, ...,LLp2n~πnεn =, pn = ~kn =.2mL øêàëå èìïóëüñîâ óðîâíè ýíåðãèè ðàñïðåäåëåíû ðàâíîìåðíî, âLdpóðîâíåé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òîπ~rr√mLdε mdε, ïîëó÷àåì dn =.p = 2mε, dp =επ~εèíòåðâàëå dp íàõîäèòñÿ dn =Ïåðåõîäÿ ê òð¼õìåðíîé çàäà÷å, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÷àñòèöàäâèæåòñÿ â êóáå ñî ñòîðîíîé L.

 óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ïåðåìåííûå x, y, z ðàçäåëÿþòñÿ. Ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ýíåðãèèâ ïðîñòðàíñòâå èìïóëüñîâ îòâå÷àþò òî÷êè, êîîðäèíàòû êîòîðûõðàñïðåäåëåíû âäîëü êàæäîé èç îñåé (px , py , pz ) ñ ïîñòîÿííûì øàãîì L/(π~) (òî÷íåå, âäîëü êàæäîé èç ïîëóîñåé px,y,z > 0). Êàæäîìó èç ñîñòîÿíèé â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóåò îáú¼ì(π~/L)3.

Îáú¼ìó d3p â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå îòâå÷àåò dn =Ðåøåíèÿ42d3p/(π~/L)3 ñîñòîÿíèé. Çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî îáú¼ì â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå d3 p äîñòàòî÷íî âåëèê, ÷òîáû îêàçàëîñüdn À 1. Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèì çíà÷åíèåì âåëè÷èíû V = L3 . Ïðè ñîåäèíåíèè íåñêîëüêèõ îáú¼ìîâ V1 , V2 , ...÷èñëî ñîñòîÿíèé ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî èõ ñóììå.

Î÷åíü ÷àñòî ìîæíî áûâàåò òàêæå ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå îáú¼ìà Vìàëûé (ñ äðóãèõ òî÷åê çðåíèÿ) îáú¼ì dV , íå íàðóøàÿ óñëîâèÿ3dn À 1. ×òîáûïåðåéòèêèíòåðâàëóýíåðãèèdε,çàìåíèìdp íà√p2dpdΩp = 2mεdε(4π/8).  èòîãådn = L3√2mεdε/(2π 2~3).Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ïðèíÿòü äëÿ âîëíîâûõôóíêöèé öèêëè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ:ψ(0) = ψ(L), ψ 0(0) = ψ 0(L).Òîãäà12πnψn = √ eiknx, kn =, n = 0, ±1, ±2, ...LL(è àíàëîãè÷íî äëÿ äâèæåíèé â íàïðàâëåíèÿõ y è z .) Ñîñòîÿíèÿ â øêàëå èìïóëüñîâ ðàñïîëîæåíû âäâîå ðåæå, íî êàæäîìóçíà÷åíèþ ýíåðãèè (êðîìå îñíîâíîãî) ñîîòâåòñòâóåò äâà çíà÷åíèÿèìïóëüñà, îòëè÷àþùèõñÿ çíàêîì.

 òàêîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèåèìïóëüñà ìîæåò ëåæàòü â ëþáîì êâàäðàíòå, à ðàçìåð ÿ÷åéêè âèìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, îòâå÷àþùåé îäíîìó êâàíòîâîìó ñîñòîÿíèþ ÷àñòèöû, (2π~/L)3 , â 8 ðàç áîëüøå.Çàìåòèì, íàêîíåö, ÷òî ÷èñëî ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå (â îäíîìåðíîé çàäà÷å) èëè â ïîëå êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¼òêè âûðàæàåòñÿ ïîäîáíûì æå îáðàçîì, íî ñ çàìåíîé èìïóëüñàíà êâàçèèìïóëüñ.2.4.

Îòâåò: dNe ∝√εe(E − εe)2dεe (ïðè mν = 0, εe ¿ mec2).Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ432.5. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà ÷àñòèöû ïðèìåñè (òî÷íåå, ÷àñòü åå,ñâÿçàííàÿ ñ îðèåíòàöèåé ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ â ìàãíèòíîì ïîëå)z = eµ H/T + e−µH/T , ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ ½ãàçà“ , ñîäåðæàùåãî N÷àñòèö, FH = −N T ln z , åãî ýíòðîïèÿ ∂FHN T ∂z= N ln z +=∂Tz ∂T´ N µH µH³µH/T−µH/T−th.= N ln e+eTTSH = −Òåïëî¼ìêîñòü êðèñòàëëà ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ C0 = AT 3 ,ãäå A âåëè÷èíà, íå çàâèñÿùàÿ îò òåìïåðàòóðû (çàêîí Äåáàÿ).Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýíòðîïèÿ S0 = AT 3 /3.Ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàçìàãíè÷èâàíèèS0 + SH = S = const.(11)Íà ðèñ.

7 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü T (H), îòâå÷àþùàÿ (11). Ïðèî÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ S0 ¿ SH , SH ≈ const, òàê ÷òî, î÷åâèäíî, T ∝ H.Ïîâûøåíèå êîíöåíòðàöèè ïðèìåñè âåäåò ê óñèëåíèþ ýôôåêòàîõëàæäåíèÿ. Îäíàêî ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå ñïîíòàííîãî íàìàãíè÷åíèÿ, èñêëþ÷àþùåãî äàëüíåéøåå ðàçìàãíè÷èâàíèå. Ïîýòîìó îïòèìàëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ïðèìåñè íå ìîæåò áûòü ñëèøêîì âåëèêà.

(Ñì. òàêæå [7, Ÿ 15].)2.6. ([7, Ÿ 44]).Ðàçóìååòñÿ, ðå÷ü èäåò î ñîâîêóïíîñòè î÷åíüáîëüøîãî ÷èñëà òàêèõ ñèñòåì, òðåáóåòñÿ æå îïðåäåëèòü òåïëî¼ìêîñòü â ðàñ÷åòå íà îäíó ñèñòåìó. Ïåðåõîä ê òàêîé ñîâîêóïíîñòèè âîçâðàò ê îäíîé ñèñòåìå ìû îñòàâèì çà ðàìêàìè âû÷èñëåíèé.Ýíåðãèþ è òåïëî¼ìêîñòü â ðàñ÷åòå íà îäíó ñèñòåìó ìû îáîçíà÷àåì â äàííîì ñëó÷àå E è C .Ïðèíÿâ çà íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèþ îñíîâíîãî óðîâíÿ è îáîçíà÷èâ ýíåðãèþ âåðõíåãî óðîâíÿ ε, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñòàò-Ðåøåíèÿ448C/N7T654321µHÐèñ. 7. Çàâèñèìîñòüòåìïåðàòóðûêðèñòàëëà îò ïðèëîæåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàçìàãíè÷èâàíèè (ïðè ðàçëè÷íûõ êîíöåíòðàöèÿõ ïðèìåñè ïàðàìàãíèòíûõ èîíîâ)000.20.40.60.8T/ε1Ðèñ.

8. Òåïëîåìêîñòü äâóõóðîâíåâîéñèñòåìû ñ ñèëüíî âûðîæäåííûìâåðõíèì óðîâíåì (g = 150) â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû. Ïóíêòèðîì ïîêàçàíà òà æå çàâèñèìîñòü ïðèg=1ñóììû îäíîé äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìûZ = 1 + ge−ε/T .Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿdZεge−ε/Tε==hEi ≡ E = −.1 ε/Td(1/T ) 1 + ge−ε/Te+1gÏðè T ¿ ε ýíåðãèÿ E ≈ 0, ïðè T À ε ýíåðãèÿ E ≈ ε. Îáîçíà÷èì x = (1/g)eε/T . Çíà÷åíèå E = ε/2 äîñòèãàåòñÿ ïðè x(T ) = 1.Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðè òàêîì ïðèìåðíî çíà÷åíèè òåìïåðàòóðûîêàæåòñÿ ìàêñèìàëüíîé è òåïëî¼ìêîñòü C = dE/dT . Òåïëî¼ìêîñòüC=³ ε ´2T³1 ε/Tge1 ε/Tge+1(ε/T )2√ .´2 = √( x + 1/ x)2Ïðè T ¿ ε ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ x(T ) ìåíÿåòñÿ ãîðàçäîÌèêðîêàíîíè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ45áûñòðåå8 ÷åì (ε/T )2 , è ìîæíî íàéòè ïðèáëèæåííîå ïîëîæåíèåìàêñèìóìà òåïëî¼ìêîñòè T0 , íàõîäÿ çíà÷åíèå x, ïðè êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì çíàìåíàòåëÿ.

Ýòî çíà÷åíèå, êàê ìû è îæèäàëè, x = 1, îòêóäà ε/T0 ≈ ln g . Òàêèì îáðàçîì, òåìïåðàòóðà, ïðèêîòîðîé òåïëî¼ìêîñòü äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðèáëèæåííî ðàâíàT0 ≈ε¿ ε,ln gà çíà÷åíèå òåïëî¼ìêîñòè â ìàêñèìóìå(ln g)2C(T0) ≈À 1.4Øèðèíó ∆T ïèêà òåïëî¼ìêîñòè ìîæíî îöåíèòü èç óñëîâèÿZ∞E(T → ∞) =CdT ≈ ∆T C(T0) ≈ ε,0îòêóäà∆T ≈4ε4T0=¿ T0.(ln g)2 ln gÒàêèì îáðàçîì, ìàêñèìóì òåïëî¼ìêîñòè ñìåùàåòñÿ â ñòîðîíóáîëåå íèçêèõ òåìïåðàòóð, à øèðèíà ïèêà ñóæàåòñÿ (ðèñ.

8).2.7. Âêëàä â ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóë òàêîâ æå êàê äëÿ ãàçà â ïîñòîÿííîì îáúåìå. Âêëàä ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (çàïèñàííûé äëÿ îäíîé ÷àñòèöû) µzU = (V − V1) + V1eU0/T = V1eU0/TV − V1 −U0/T1+eV1¶ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ, íå äàþùåãî âêëàäà â òåïëî¼ìêîñòü,ïîäîáåí ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììå, äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû ñ ñèëüíîâûðîæäåííûì âåðõíèì óðîâíåì. Çàâèñèìîñòü C(T ) èìååò ìàêñèìóì ïðè T ∼ U0 / ln V V−V1 .182dxd εÏðè T ¿ ε, x ≈ 1 èìååì | dTT 2 |/| dT | =2Tε x¿ 1.Ðåøåíèÿ46Ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû ïîìîãàåò ïîíÿòü,ïî÷åìó ìàêñèìóì òåïëî¼ìêîñòè ñäâèãàåòñÿ â îáëàñòü òåìïåðàòóð,íèçêèõ ïî ñðàâíåíèþ ñ U0 .2.8. Äëÿ èçîòðîïíîãî äèýëåêòðèêà äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ² íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ²=1+4π|P|,|E|ãäå P åñòü âåêòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòà åäèíèöû îáúåìà, íàâåäåííûé ïðèëîæåííûì âíåøíèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì E, (Ed ¿ Täëÿ íå î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóð)R dE/TRdedΩd(1 + dE/T + ...)dΩ nd2EP = nhdi = n R dE/T≈n R=,3T(1 + dE/T + ...)dΩedΩãäå n êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë, d äèïîëüíûé ìîìåíò ìîëåêóëû,dΩ ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà âäîëü íàïðàâëåíèÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòà ìîëåêóëû.

Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà èñïîëüçîâàíî, ÷òîhdi = 0, hdidj i = δi,j d2/3. Òàêèì îáðàçîì, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ãàçà ìîëåêóë, îáëàäàþùèõ ñîáñòâåííûì äèïîëüíûììîìåíòîì, ðàâíà4πnd2.²=1+3T2.9. Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ äèïîëåé d1 è d2, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè R, ðàâíàU=d1d2 − 3(d1n)(d2n),R3çäåñü n åäèíè÷íûé âåêòîð, çàäàþùèé íàïðàâëåíèå îò îäíîãîäèïîëÿ ê äðóãîìó. Äåéñòâóÿ òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåé çàäà÷å,è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî óñðåäíåíèå ïî íàïðàâëåíèÿì äâóõäèïîëåé äîëæíî áûòü íåçàâèñèìûì, ïîëó÷àåìhU i =−U 2/T2 d21d22,=−3 T R6Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ47ãäå ÷åðòà íàä âûðàæåíèåì îçíà÷àåò óñðåäíåíèå ïî íàïðàâëåíèÿìâåêòîðîâ d1 , d2 .Ïðè ïîïûòêå óñðåäíåíèÿ ïî ðàñïîëîæåíèþ ìîëåêóë íåîáõîäèìî áûëî áû ïðèíÿòü âî âíèìàíèå íå òîëüêî èõ ïðèòÿæåíèå, íî èîòòàëêèâàíèå íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ.2.10.