1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (Коткин, Образовский - Задачи по статической физике), страница 3

 ìîäåëè Òîìàñà Ôåðìè ýòè ýëåêòðîíû ðàññìàòðèâàþòñÿêàê âûðîæäåííûé ýëåêòðîííûé ãàç, òåìïåðàòóðà êîòîðîãî ðàâíà íóëþ. (Îäèí-äâà ýëåêòðîíà äâèæóòñÿ âáëèçè íàðóæíîé ÷àñòèàòîìà, ãäå ïîëå ÿäðà ïî÷òè ïîëíîñòüþ ýêðàíèðîâàíî. ÏîýòîìóÝòà çàäà÷à îòíåñåíà ê òåìå ½ôåðìè-ãàç“ â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ïðåäïîëàãàåìûé ìåòîä å¼ ðåøåíèÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ýòîì ðàçäåëå.4Ôåðìè-ãàç15ðàçìåðû âñåõ àòîìîâ áëèçêè äðóã ê äðóãó.) Ïðåíåáðåãàÿ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì ýëåêòðîíîâ äðóã ñ äðóãîì, îöåíèòü âåëè÷èíó R.4.5. Íàéòè ìàãíèòíûé ìîìåíò è ìàãíèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà, ñâÿçàííûå ñ ìàãíèòíûììîìåíòîì ýëåêòðîíà.4.6.

Êîãäà â îáû÷íîé çâåçäå âûãîðàåò çàìåòíàÿ ÷àñòü âîäîðîäà (ïðåâðàùàÿñü â ãåëèé), òåðìîÿäåðíàÿ ðåàêöèÿ ïðåêðàùàåòñÿ èçâåçäà, èçëó÷àÿ, áóäåò ñæèìàòüñÿ. Ñ ïîâûøåíèåì ïëîòíîñòè ãàçýëåêòðîíîâ ñòàíîâèòñÿ âûðîæäåííûì. Ñæàòèå îñòàíàâëèâàåòñÿáëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ãðàâèòàöèîííûå ñèëû òàêîé çâåçäû áóäóòêîìïåíñèðîâàòüñÿ äàâëåíèåì âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà.Òàêàÿ çâåçäà, íàçûâàåòñÿ áåëûì êàðëèêîì. Îöåíèòü ðàäèóñ áåëîãî êàðëèêà, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà M ∼ M¯ , ãäå M¯ ∼ 2 · 1033 ã ìàññà Ñîëíöà.4.7. Åñëè çâåçäà íà íà÷àëüíîé ñòàäèè èìåëà ìàññó, çàìåòíîáîëüøóþ ìàññû Ñîëíöà, èëè ìàññà áåëîãî êàðëèêà ìîæåò óâåëè÷èâàòüñÿ çà ñ÷åò çàõâàòà îêðóæàþùåãî âåùåñòâà, òî ýíåðãèÿ Ôåðìè ýëåêòðîííîãî ãàçà ìîæåò äîñòè÷ü ïîðîãà ðåàêöèè e+p → n+ν ,(∆m = mn −mp = 1, 3 ÌýÂ), ýëåêòðîííûé ãàç ïðè ýòîì ñòàíîâèòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì, (me = 0, 511 ÌýÂ).

Ãàçû ýëåêòðîíîâ è ïðîòîíîâ ïî÷òè ñîâñåì èñ÷åçàþò, íåéòðèíî óëåòàþò. Çâåçäà ñòàíîâèòñÿíåéòðîííîé (âîçìîæíî, ïóëüñàðîì). Îöåíèòü ðàäèóñ íåéòðîííîéçâåçäû, ìàññà êîòîðîé ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ìàññîéÑîëíöà.4.8. Íàéòè êâàíòîâóþ ïîïðàâêó ê äàâëåíèþ ôåðìè-ãàçà èòåïëî¼ìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì îáú¼ìå, ñ÷èòàÿ ãàç ñëàáî âûðîæäåííûì.Íàéòè êâàíòîâóþ ïîïðàâêó ê òåïëî¼ìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîìäàâëåíèè äëÿ ñëàáî âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà.16Çàäà÷è4.9. Ñòîëá ñëàáî âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Íàéòè êâàíòîâûå ïîïðàâêè ê åãî òåïëî¼ìêîñòè è âûñîòå öåíòðà ìàññ.Óêàçàíèå.

Óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàçëîæåíèåì ïî ìàëîé âåëè÷èíå r = e µ/T .4.10. Íàéòè çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè è äàâëåíèÿ âûðîæäåííîãîôåðìè-ãàçà â ïîëå òÿæåñòè îò âûñîòû ïðè T = 0.4.11. Íàéòè òåïëî¼ìêîñòü âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà â ïîëåãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà U = 21 mω 2 r2 .4.12. Åñëè â ïîëóïðîâîäíèê IV ãðóïïû (Ge, Si) ââåñòè âíåáîëüøîì êîëè÷åñòâå àòîìû V ãðóïïû (P, As, Sb), òî ÷åòûðåýëåêòðîíà êàæäîãî èç íèõ îáðàçóþò âàëåíòíûå ñâÿçè ñ Ge, Si,à îäèí ýëåêòðîí îñòàåòñÿ ñëàáî ñâÿçàííûì; ýíåðãèÿ ñâÿçè ∆d ∼0, 01 − 0, 03 ýÂ, è îí ëåãêî ìîæåò ïåðåïðûãíóòü â çîíó ïðîâîäèìîñòè óæå ïðè òåìïåðàòóðå T ∼ 300 Ê.

Ëåãèðîâàííûå òàêèìîáðàçîì ïîëóïðîâîäíèêè íàçûâàþò äîíîðíûìè èëè ïîëóïðîâîäíèêàìè n-òèïà. Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, ñâÿçàííîãî ñ èîíîì äîíîðíîéïðèìåñè, ðàâíà εd .Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûì õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ýëåêòðîíîâ, íàéòè,êàêàÿ äîëÿ àòîìîâ äîíîðíîé ïðèìåñè áóäåò èîíèçèðîâàíà.4.13. Àòîì ïðèìåñè â ïîëóïðîâîäíèêå èìååò óðîâåíü ýíåðãèè,áëèçêèé ê ïîòîëêó âàëåíòíîé çîíû: εa = −∆/2 + ∆a ; ∆a ¿ ∆(îòñ÷¼ò ýíåðãèè îò ñåðåäèíû çàïðåù¼ííîé çîíû; òàêàÿ ïðèìåñüíàçûâàåòñÿ àêöåïòîðíîé). Íà ýòîì óðîâíå ìîæåò îêàçàòüñÿ îäèíýëåêòðîí, ïðè÷åì îí ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç äâóõ ñïèíîâûõñîñòîÿíèé.

Âûðàçèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýëåêòðîí îêàæåòñÿ âòàêîì ñîñòîÿíèè, ÷åðåç õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ýëåêòðîíîâ.4.14.  îáú¼ìå V ïîëóïðîâîäíèêà èìååòñÿ Nd àòîìîâ äîíîðíîé ïðèìåñè. Íàéòè ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè.Îãðàíè÷èòüñÿ ñëó÷àåì, êîãäà Nd À N0 , ãäå N0 ÷èñëî ýëåêòðî-Ôåðìè-ãàç17íîâ â ÷èñòîì ïîëóïðîâîäíèêå (ïðè òîì æå çíà÷åíèè òåìïåðàòóðû). Îòñ÷èòàííàÿ îò äíà çîíû ïðîâîäèìîñòè ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà,ñâÿçàííîãî ñ èîíîì äîíîðíîé ïðèìåñè, ðàâíà εd = −∆d .4.15. Íàéòè òåïëî¼ìêîñòü ãàçà ýëåêòðîíîâ è äûðîê â ÷èñòîìïîëóïðîâîäíèêå.4.16. Ïðè êàêîì äàâëåíèè âîäîðîä áóäåò èìåòü ïëîòíîñòü10 êã/ñì3 ? Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ ýòî äàâëåíèå, åñëè òåìïåðàòóðàïîäíèìåòñÿ îò 300 Ê äî 3000 Ê ?4.17.

Ýëåêòðîííûé ãàç â ìåòàëëå îáû÷íî áûâàåò ñèëüíî âûðîæäåííûì (T ¿ εF ≡ µ). Ïîýòîìó ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ óäîáíûìðàññìàòðèâàòü âìåñòî ãàçà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ ãàç êâàçè÷àñòèö ýëåêòðîíîâ è äûðîê ñ ýíåðãèåé, îòñ÷èòûâàåìîé îò óðîâíÿÔåðìè: ²(p) = |ε(p) − µ| = v0 |p − p0 |. Çäåñü v0 = p0 /m, p = |p|.(Ïðè p > p0 ýòî ýëåêòðîíû, ïðè p < p0 äûðêè.)Íàéòè îòíîøåíèå ÷èñëà êâàçè÷àñòèö ýëåêòðîííîãî ãàçà ê ÷èñëó ÷àñòèö.4.18. Êóñîê ìåòàëëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàòîä â ýëåêòðîâàêóóìíîì ïðèáîðå.

Ýòîò êóñîê ìåòàëëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äëÿýëåêòðîííîãî ãàçà ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó ñ êðóòûìè ñòåíêàìè. Ðàññòîÿíèå îò óðîâíÿ Ôåðìè ýëåêòðîííîãî ãàçà äî âåðõíåãî óðîâíÿÿìû A ðàáîòà âûõîäà. Êàòîä íàãðåò äî òåìïåðàòóðû T , òàêîé÷òî A À T , òàê ÷òî ëèøü íåáîëüøàÿ äîëÿ ýëåêòðîíîâ ìîæåòïîêèäàòü ìåòàëë. Ê ìåòàëëó ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå, ìàëî èçìåíÿþùåå ýòó ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó, íî äîñòàòî÷íîå äëÿ òîãî, ÷òîáûâñå ýëåêòðîíû, ïîêèíóâøèå êàòîä äîñòèãàëè àíîäà (îáðàçóåòñÿòîê íàñûùåíèÿ).Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü òîêà íàñûùåíèÿ îò òåìïåðàòóðû.4.19.

[1, Ÿ 55], [7, Ÿ 34], [11, ï. 7.1 ]. Ìèêðîñîñòîÿíèå èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî çàäàòü, óêàçàâ, ñêîëüêî ÷àñòèö íàõîäèòñÿ â êàæäîì âîçìîæíîì äëÿ ÷àñòèöû ñîñòîÿíèè. Îáúåäèíèì ½áëèçêèå“ , âÇàäà÷è18÷àñòíîñòè, èìåþùèå îäèíàêîâûå ýíåðãèè, ñîñòîÿíèÿ â áîëüøèåãðóïïû ïî Gi À 1 ÷àñòèö â êàæäîé. Çàäàâ ÷èñëî ÷àñòèö Ni âêàæäîé èç ãðóïï, ìû îïðåäåëÿåì ìàêðîñîñòîÿíèå ãàçà, âîîáùåãîâîðÿ, íåðàâíîâåñíîå.Íàéòè ýíòðîïèþ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ ôåðìè-ãàçà è âûðàçèòüå¼ ÷åðåç ÷èñëà çàïîëíåíèÿ ãðóïï ñîñòîÿíèé fi = Ni /Gi è Gi .Íàéòè ÷èñëà çàïîëíåíèÿ, îòâå÷àþùèå ìàêñèìóìó ýíòðîïèè ïðèôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö è ïîëíîé ýíåðãèè ãàçà. Íàéòè ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ îò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.5.Èäåàëüíûé áîçå-ãàç5.1.

Áîçå-ãàç íàõîäèòñÿ â ïîëå U = mω 2 r2 /2. Íàéòè òåìïåðàòóðó Tk êîíäåíñàöèè Áîçå Ýéíøòåéíà, òåïëî¼ìêîñòü ïðèT < Tk è ñêà÷îê òåïëî¼ìêîñòè â òî÷êå êîíäåíñàöèè.µ 5.2.¶ Äëÿ áîçå-ãàçà â çàäàííîì îáúåìå íàéòè ñêà÷îê âåëè÷èíû∂CVïðè òåìïåðàòóðå êîíäåíñàöèè Áîçå Ýéíøòåéíà.∂T V5.3. Áîçå-ãàç íàõîäèòñÿ â ïîëå½U (z) =F z ïðè z > 0,∞ ïðè z < 0.Íàéòè òåìïåðàòóðó Tk êîíäåíñàöèè Áîçå Ýéíøòåéíà, òåïëî¼ìêîñòü ïðè T < Tk , ñêà÷îê òåïëî¼ìêîñòè â òî÷êå êîíäåíñàöèè,∂hzi.∂T5.4. Äëÿ áîçå-ãàçà â öåíòðàëüíîì ïîëå U (r) = Arn íàéòè ñêà-âûñîòó öåíòðà òÿæåñòè ãàçà hzi è ñêà÷îê âåëè÷èíû÷îê âåëè÷èíû òåïëî¼ìêîñòè ïðè òåìïåðàòóðå êîíäåíñàöèè Áîçå Ýéíøòåéíà.Áîçå-ãàç195.5. Èçîáðàçèòü èçîòåðìû áîçå-ãàçà íà P V ïëîñêîñòè.5.6. Ðàññìàòðèâàåì çâåçäó áåëûé êàðëèê, êîòîðàÿ ïî÷òèöåëèêîì ñîñòîèò èç ñìåñè ÿäåð ãåëèÿ è ýëåêòðîíîâ è èìååò òåìïåðàòóðó T ∼ 107 K.( Òàêàÿ òåìïåðàòóðà ïîääåðæèâàëàñü, ïîêà íå ½âûãîðåë“ âåñü âîäîðîä.) Áëàãîäàðÿ âûñîêîé òåïëîïðîâîäíîñòè è ïðîçðà÷íîñòè âåùåñòâà áåëîãî êàðëèêà òåìïåðàòóðà åãî ïî÷òè îäíà è òà æå âñþäó.

Òîëüêî òîíêèé ïîâåðõíîñòíûé ñëîé èìååò ãîðàçäî ìåíüøóþòåìïåðàòóðó T1 ∼ 104 Ê.Îöåíèòü, çà êàêîå âðåìÿ òàêàÿ çâåçäà îñòûíåò (ïðåâðàòèâøèñüâ êîðè÷íåâîãî êàðëèêà).5.7. Èñïîëüçóÿ ìîäåëü Äåáàÿ, íàéòè ñðåäíèé êâàäðàò îòêëîíåíèÿ àòîìa îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ hr2 i.5.8. Íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîíöåíòðàöèÿìè ýëåêòðîíîâ,ïîçèòðîíîâ è ôîòîíîâ è ñîîòíîøåíèå ìåæäó èõ ýíåðãèÿìè ïðèòåìïåðàòóðå T À me c2 (òàêàÿ âûñîêàÿ òåìïåðàòóðà áûëà â ìàëûå äîëè ñåêóíäû ïîñëå Áîëüøîãî âçðûâà; â ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíîïðèíÿòü, ÷òî êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ è ïîçèòðîíîâ îäèíàêîâû).5.9.

Ãàç íàãðåò äî òàêîé âûñîêîé òåìïåðàòóðû, ÷òî êîëè÷åñòâî ôîòîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ ñ íèì â ðàâíîâåñèè, ñòàëî ñðàâíèìî ñ êîëè÷åñòâîì ÷àñòèö ãàçà. (Òàêèå óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿâ ãëóáèíå Ñîëíöà). Íàéòè ñêîðîñòü çâóêà â ýòîé ñìåñè ãàçîâ,c2s = (∂P/∂%)S . Òåìïåðàòóðà T ¿ mc2 (m ìàññà ÷àñòèöû ãàçà,c ñêîðîñòü ñâåòà).5.10. Èäåàëüíûé áîçå-ãàç â ïîëå òÿæåñòè íàõîäèòñÿ â ñîñóäå,èìåþùåì ôîðìó êîíóñà ñ âåðòèêàëüíîé îñüþ. Íàéòè òåìïåðàòóðóáîçå-ýéíøòåéíîâñêîé êîíäåíñàöèè, çàâèñèìîñòü îò òåìïåðàòóðûòåïëî¼ìêîñòè ãàçà è âûñîòû åãî öåíòðà òÿæåñòè.5.11. Ýòî çàäà÷à äëÿ áîçå-ãàçà, ïîñòàâëåííàÿ òàê æå, êàêçàäà÷à 4.19 äëÿ ôåðìè-ãàçà.Çàäà÷è20Íàéòè ýíòðîïèþ íåðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ áîçå-ãàçà è âûðàçèòü å¼ ÷åðåç ÷èñëà çàïîëíåíèÿ ãðóïï ñîñòîÿíèé fi = Ni /Gi è÷èñëà ñîñòîÿíèé â ãðóïïàõ Gi .Íàéòè ÷èñëà çàïîëíåíèÿ, îòâå÷àþùèå ìàêñèìóìó ýíòðîïèè ïðèôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö è ïîëíîé ýíåðãèè ãàçà.

Íàéòè ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ îò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.5.12. Àáñîëþòíî ÷¼ðíîå òåëî âðàùàåòñÿ âîêðóã Ñîëíöà ïî îðáèòå Çåìëè. Äî êàêîé òåìïåðàòóðû íàãðååò åãî èçëó÷åíèå Ñîëíöà? Âëèÿíèÿ ïîòîêîâ ÷àñòèö (ñîëíå÷íîãî âåòðà) íå ó÷èòûâàòü.6.Íåèäåàëüíûé ãàç. Ôàçîâûå ïåðåõîäû6.1. Äëÿ äâóõàòîìíîãî ñëàáî íåèäåàëüíîãî ãàçà èçâåñòåí âòîðîé âèðèàëüíûé êîýôôèöèåíò B(T ). Íàéòè ñðåäíþþ ýíåðãèþ âðàñ÷åòå íà îäíó ìîëåêóëó ãàçà.Êàê èçìåíÿåòñÿ òåìïåðàòóðà òàêîãî ãàçà ïðè ðàñøèðåíèè åãîâ ïóñòîòó?¡ ∂T ¢6.2.

Âûðàçèòü âåëè÷èíó ∂P H , õàðàêòåðèçóþùóþ èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ïðè ýôôåêòå Äæîóëÿ Òîìñîíà, ÷åðåç òåïëî¼ìêîñòü è óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äëÿ ãàçà âàí-äåð-Âààëüñà.6.3. Âûðàçèòü òåìïåðàòóðó, äàâëåíèå è ìîëÿðíûé îáú¼ì âêðèòè÷åñêîé òî÷êå ÷åðåç ïîñòîÿííûå, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå âàíäåð-Âààëüñà.6.4. Ãàç âàí-äåð-Âààëüñà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ãàçà îò âûñîòû, ñ÷èòàÿòåìïåðàòóðó ïîñòîÿííîé.6.5. Íàñûùåííûé âîäÿíîé ïàð íàõîäèòñÿ â òåïëîèçîëèðîâàííîì ñîñóäå. Îáú¼ì ñîñóäà óìåíüøàþò. Ñòàíåò ëè ïàð ïåðåñûùåí-Íåèäåàëüíûé ãàç.

Ôàçîâûå ïåðåõîäû21íûì?6.6. Íàéòè çàâèñèìîñòü ñêðûòîé òåïëîòû ôàçîâîãî ïåðåõîäàîò òåìïåðàòóðû dq/dT . Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè èñïàðåíèÿ (íàïðèìåð, âîäû ïðè T ∼ 100 o C ) è ïëàâëåíèÿ ëüäà.6.7. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ïðè íåêîòîðûõçíà÷åíèÿõ òåìïåðàòóðû:T (o C)20P (Ïà) 2333304240100101325(ñì. [18].)Ïðèíÿâ, ÷òî ñêðûòàÿ òåïëîòà èñïàðåíèÿ çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû ëèíåéíî, ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü P (T ) â ýòîì äèàïàçîíå òåìïåðàòóð.Íàéòè çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà îòòåìïåðàòóðû.6.8. Íàñûùåííûé âîäÿíîé ïàð ïðè T=100 o C èìåë äàâëåíèå1 àòì.