1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (Коткин, Образовский - Задачи по статической физике), страница 2

Äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç áîëüøîãî ÷èñëà N îäèíàêîâûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ, íàéòè ñòàòèñòè÷åñêèé âåññîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé E = (3N/2 + L)~ω (ïåðâîå ñëàãàåìîå Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ9óðîâåíü íóëåâûõ êîëåáàíèé). Íàéòè çàâèñèìîñòü ýíåðãèè è òåïëî¼ìêîñòè ñèñòåìû îò òåìïåðàòóðû.2.3. Íàéòè ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû ìåæäó ñòåíêàìè 0 ≤ x ≤ L ñ ýíåðãèÿìè â èíòåðâàëå îò ε äî ε + dε. Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè, êîãäà ñòåíêè íåïðîíèöàåìû è êîãäà âûïîëíÿþòñÿöèêëè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. (Îäíîìåðíàÿ çàäà÷à).Òî æå äëÿ ÷àñòèöû â êóáå ñ ðåáðîì L.2.4. Íàéòè ôîðìó ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ýëåêòðîíîâ ïðèβ -ðàñïàäå àòîìíîãî ÿäðà (AZ →A (Z + 1) + e + ν̄ ), ñ÷èòàÿ, ÷òîâñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ýëåêòðîí+àíòèíåéòðèíî ïðèçàäàííîé èõ ñóììàðíîé ýíåðãèè (εe + εν̄ = E ) ðàâíîâåðîÿòíû1 .Ýíåðãèåé îòäà÷è ÿäðà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.2.5.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íèçêèõ (½ãåëèåâûõ“ ) òåìïåðàòóð T0 & 1Êèñïîëüçóþò êîíòàêò òåëà ñ êèïÿùèì ïðè íèçêîì äàâëåíèè ãåëèåì. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ åùå áîëåå íèçêèõ òåìïåðàòóð ÷àñòî èñïîëüçóþò ìåòîä àäèàáàòè÷åñêîãî ðàçìàãíè÷èâàíèÿ. Êðèñòàëë, â êîòîðûé ââåäåíà ïðèìåñü ïàðàìàãíèòíîé ñîëè, íàìàãíè÷èâàþò ïðèòåìïåðàòóðå T0 ∼ 1Ê, òåïëîèçîëèðóþò, à çàòåì ìåäëåííî âûêëþ÷àþò âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå. Ïðîèñõîäèò àäèàáàòè÷åñêîåðàçìàãíè÷èâàíèå êðèñòàëëà, è îí îõëàæäàåòñÿ.Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ òåïëî¼ìêîñòü êðèñòàëëà2 C = AT 3 .Íàéòè òåìïåðàòóðó êðèñòàëëà ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñ÷èòàòü, ÷òî àòîìû ïðèìåñè èìåþò ñïèí 1/2.Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ñïðàâåäëèâî ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. Ðàçóìååòñÿ, ïðè÷èíà ýòîãî íå â õàðàêòåðíîì äëÿ çàäà÷ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè½ïåðåìåøèâàíèè“ , îáóñëîâëåííîì äëèòåëüíûì äâèæåíèåì ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè î÷åíü ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ å¼ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé, à â îñîáåííîñòÿõβ -ðàñïàäà.

Ýòà çàäà÷à ïðèâåäåíà çäåñü êàê ïðèìåð ýôôåêòèâíîãî èñïîëüçîâàíèÿ âàæíîãî äëÿ íàñ ïðåäñòàâëåíèÿ î ñòàòèñòè÷åñêîì âåñå.2Âåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà A îïðåäåëÿåòñÿ òåïëî¼ìêîñòüþ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¼òêè. Îöåíêó å¼ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [1, Ÿ 66],[7, Ÿ 53],[11, ï. 7.9].1Çàäà÷è102.6. Íàéòè òåïëî¼ìêîñòü äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû, âåðõíèéóðîâåíü êîòîðîé èìååò î÷åíü âûñîêóþ êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ g ,òàê ÷òî äàæå ln g À 1.2.7. Ãàç íàõîäèòñÿ â îáú¼ìå V , â ìàëîé ÷àñòè êîòîðîãî V1èìååòñÿ ½ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà“ ãëóáèíû −U0 .

Íàéòè òåïëî¼ìêîñòüãàçà.2.8. Ãàç ñîñòîèò èç ìîëåêóë, êîòîðûå èìåþò îïðåäåë¼ííûéäèïîëüíûé ìîìåíò è ìîãóò ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì îðèåíòèðîâàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå. Íàéòè äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòüãàçà â ïðåäåëå âûñîêèõ òåìïåðàòóð.2.9. Íàéòè ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ìîëåêóë hU i, èìåþùèõ ýëåêòðè÷åñêèå äèïîëüíûå ìîìåíòû, óñðåäí¼ííóþ ïî èõ íàïðàâëåíèÿì, â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè âñëó÷àå, êîãäà U ¿ T .2.10. N øàðîâ äâèæóòñÿ íà ïëîñêîì áèëüÿðäå, èñïûòûâàÿóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ äðóã ñ äðóãîì è ñî ñòåíêàìè. Îïðåäåëèòüðàñïðåäåëåíèå øàðîâ ïî êîìïîíåíòå ñêîðîñòè vx .

Ïðèíÿòü, ÷òîäëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû øàðîâ ñïðàâåäëèâî ìèêðîêàíîíè÷åñêîåðàñïðåäåëåíèå. ( ýòîé çàäà÷å ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî áèëüÿðä ½ðåàëèçîâàí“ íà êîìïüþòåðå.)2.11. N ½êîìïüþòåðíûõ“ øàðîâ äâèæóòñÿ íà íàêëîííîì ïëîñêîì áèëëèàðäå, èñïûòûâàÿ óïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ äðóã ñ äðóãîìè ñ áîðòèêàìè. Îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå øàðîâ ïî ½âûñîòå“ (ïîëàãàÿ, ÷òî âåðõíåãî áîðòèêà øàðû íå äîñòèãàþò).3.Áîëüöìàíîâñêèé ãàç3.1. Îöåíèòü òåìïåðàòóðó â öåíòðå Ñîëíöà. (Ðàäèóñ Ñîëíöà∼1 ìëí êì, åãî ìàññà ∼ 2 · 1033 ã.)Áîëüöìàíîâñêèé ãàç11Óêàçàíèå: óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé î âèðèàëå.3.2. Äâà ðàçëè÷íûõ èäåàëüíûõ ãàçà, íàõîäèâøèåñÿ â îáú¼ìàõ V1 è V2 , èìåëè îäèíàêîâûå òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ è áûëèðàçäåëåíû ïåðåãîðîäêîé.

Ïåðåãîðîäêó óáèðàþò, è ãàçû ñìåøèâàþòñÿ (ïóòåì äèôôóçèè), ðàâíîìåðíî çàïîëíÿÿ âåñü îáúåì V1 +V2 .Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ ñóììàðíàÿ ýíòðîïèÿ ãàçîâ? ×èñëà ÷àñòèöâ óêàçàííûõ îáú¼ìàõ áûëè ðàâíû N1 è N2 .3.3. Íàéòè òåïëî¼ìêîñòü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà, çàêëþ÷¼ííîãîâ ÿùèê âûñîòîé L ïðè òåìïåðàòóðå T â ïîëå òÿæåñòè.3.4. Áîëüöìàíîâñêèé ãàç íàõîäèòñÿ â ïîëå½U (z) =U0 ln ar ïðè r < a,∞ ïðè r > a.Íàéòè òåïëî¼ìêîñòü ãàçà è åãî äàâëåíèå íà ñòåíêó ïðè r = a.3.5. Îöåíèòü êîëè÷åñòâî N ìîëåêóë â àóäèòîðèè ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé íå ìåíåå ε0 äëÿ ε0 =1,2,3,4 ý (ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ Ìàêñâåëëà). Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îêàæåòñÿ N ¿ 1, îöåíèòüâðåìÿ, ñïóñòÿ êîòîðîå ïîÿâèòñÿ õîòÿ áû îäíà ìîëåêóëà ñ òàêîéýíåðãèåé.3.6.

Ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà ðàâíà 32 T . Íàéòè ñðåäíþþ âåëè÷èíó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèèìîëåêóëû, ïàäàþùåé íà ñòåíêó.3.7. Ñêîëüêî âîäû èñïàðèòñÿ ïðè 20 0 Ñ çà 1 ñ ñ 1 ñì2 å¼ ïîâåðõíîñòè, îáäóâàåìîé ñóõèì âîçäóõîì? Äàâëåíèå íàñûùåííûõïàðîâ ïðè 20 0 C ðàâíî 18 ìì ðò. ñò. Êàêîé ïîòîê òåïëà äîëæåíáû ïîäâîäèòüñÿ ê ïîâåðõíîñòè, ÷òîáû îáåñïå÷èòü òàêóþ ñêîðîñòüèñïàðåíèÿ?3.8. Ãàç ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñìåñü ÷àñòèö íåñêîëüêèõ òèïîâñ ìàññàìè mi è êîíöåíòðàöèÿìè ni , i = 1, 2, . . .. Ñå÷åíèå ñòîëê-12Çàäà÷èíîâåíèé ÷àñòèö ½1“ è ½2“ çàâèñèò îò èõ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè,3σ(vîòí). Âûðàçèòü ñðåäíåå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé ýòèõ ÷àñòèö â åäèíèöå îáúåìà çà åäèíèöó âðåìåíè.3.9. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ñòîëêíîâåíèé ìîëåêóë ìàêñâåëëîâñêîãî ãàçà îïðåäåëÿåòñÿ ñå÷åíèåì ñòîëêíîâåíèÿ, çàâèñÿùèì îò2èõ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè: σ = σ0 (1 + v02 /vîòí). Íàéòè ÷àñòîòóñòîëêíîâåíèé è ñðåäíþþ äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë.3.10.

Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè â àòìîñôåðå ïëàíåòû,ñ÷èòàÿ å¼ èçîòåðìè÷åñêîé.3.11.  ãðàâèòàöèîííîì ïîëå çâåçäû ìàññû M è ðàäèóñà Ríàõîäèòñÿ ðàçðåæåííûé áîëüöìàíîâñêèé ãàç, ñîñòîÿùèé èç ÷àñòèö ìàññû m. Òåìïåðàòóðà ãàçà T , ïëîòíîñòü åãî íà áîëüøîìóäàëåíèè îò çâåçäû n. Íàéòè ÷èñëî ÷àñòèö ãàçà, ïàäàþùèõ íàçâåçäó çà îäíó ñåêóíäó.Ñ÷èòàòü, ÷òî äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèö ãàçà âåëèêà ïîñðàâíåíèþ ñ ðàäèóñîì çâåçäû.3.12. Îöåíèòü âðåìÿ, çà êîòîðîå ïëàíåòà ìîæåò ïîòåðÿòüñâîþ àòìîñôåðó. (Ïðèíèìàÿ, ÷òî àòìîñôåðà èçîòåðìè÷åñêàÿ).3.13. Ê êàêîìó âêëàäó â ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó àòîìà âîäîðîäà ïðèâîäèò ó÷¼ò âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé àòîìà?3.14. Áîëüöìàíîâñêèé ãàç çàðÿæåííûõ ÷àñòèö íàõîäèòñÿ âïîëå U = 21 mω 2 r2 è ïîñòîÿííîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå,íàïðàâëåííîì ïî îñè z.

Ïðåíåáðåãàÿ âçàèìîäåéñòâèåì çàðÿäîâìåæäó ñîáîé, íàéòè ìàãíèòíûé ìîìåíò ãàçà. Âûðàçèòü ìàãíèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü â ðàñ÷¼òå íà îäíó ÷àñòèöó.3.15. Ðàññìîòðåòü çàâèñèìîñòü òåïëî¼ìêîñòè îò òåìïåðàòóðûäëÿ ãàçîâ CO2 è SO2 . Ìîëåêóëû CO2 èìåþò ëèíåéíóþ ôîðìó, àìîëåêóëû SO2 òðåóãîëüíóþ.Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ýòî âåëè÷èíà ñêîðîñòè îäíîé èç ÷àñòèö â òîéñèñòåìå îòñ÷¼òà, ãäå äðóãàÿ ïîêîèòñÿ.3Áîëüöìàíîâñêèé ãàç133.16.

Âûðàçèòü òåïëî¼ìêîñòè CV è CP ÷àñòè÷íî èîíèçèðîâàííîé ïëàçìû ÷åðåç å¼ ñòåïåíü èîíèçàöèè α(T ). Íàðèñîâàòü ãðàôèêè CV (T ) è CP (T ). (Ñ÷èòàÿ çàâèñèìîñòü α(T ) èçâåñòíîé).3.17. Íàéòè çàâèñèìîñòü ñòåïåíè äèññîöèàöèè äâóõàòîìíîãîãàçà îò òåìïåðàòóðû ïðè çàäàííîì îáú¼ìå.3.18. Íàéòè èçìåíåíèå ìîìåíòà èíåðöèè ìîëåêóëû, âûçâàííîåå¼ ½òåïëîâûì ðàñøèðåíèåì“ .3.19.

Âîäîðîä, èìåâøèé êîìíàòíóþ òåìïåðàòóðó, áûñòðîîõëàäèëè äî òåìïåðàòóðû T0 ¿ Trot = ~2 /2I , òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå ÷èñåë ìîëåêóë îðòî- è ïàðàâîäîðîäà îñòàëîñü ðàâíî 3 : 1.Çàòåì ïðîèñõîäèò ïåðåõîä ê ñîîòíîøåíèþ, ðàâíîâåñíîìó ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå.

Êàêîâà áóäåò â èòîãå òåìïåðàòóðà âîäîðîäà,åñëè ïðèíÿòü, ÷òî îí òåïëîèçîëèðîâàí è îáú¼ì åãî íåèçìåíåí?3.20. Ñêîëüêî òåïëà âûäåëèòñÿ â ðåàêöèè 203 À 302 ïðèT =27 0C, P = 1 àòì? Äëÿ îöåíîê ïðèíÿòü ýíåðãèþ äèññîöèàöèè02 ðàâíîé 5,12 ýÂ, ýíåðãèþ ðàçðûâà ñâÿçè 03 → 02 + 0 ðàâíîé1,04 ýÂ. Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ íàéäåííàÿ âåëè÷èíà, åñëè ðåàêöèÿèä¼ò ïðè ïîñòîÿííîì îáú¼ìå?3.21.  ýòîé çàäà÷å îáñóæäàåòñÿ ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò,âïðî÷åì, íå òàê óæ äàë¼êèé îò îïûòà Ýéíøòåéíà äå-Ãààçà. ïðîöåññå ðåøåíèÿ çàäà÷è äîïóñòèìî òàê èëè èíà÷å óòî÷íÿòüè ìîäèôèöèðîâàòü å¼ óñëîâèÿ.Íà öèëèíäð, êîòîðûé ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ñâîåé îñè, âäîëü íàïðàâëåíèÿ îñè ïàäàåò N ýëåêòðîíîâ, ïîëÿðèçîâàííûõ âäîëü òîé æå îñè.

Ýëåêòðîíû çàñòðåâàþò â öèëèíäðå è÷àñòè÷íî äåïîëÿðèçóþòñÿ. Âñëåäñòâèå ñîõðàíåíèÿ ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà íà îñü, öèëèíäð ïðèõîäèò âî âðàùåíèå. Ïåðâûé(ïðîñòîé) âîïðîñ: îòêóäà âçÿëàñü ýíåðãèÿ âðàùåíèÿ?Ãëàâíûé âîïðîñ: êàê óçíàòü, êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòè äîñòèãíåòöèëèíäð?Çàäà÷è144.Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàç4.1. Ìîëåêóëû ãàçà ìîãóò îñåäàòü (àäñîðáèðîâàòüñÿ) íà ïîâåðõíîñòè ñîñóäà. Èìååòñÿ îïðåäåë¼ííîå êîëè÷åñòâî ìåñò íà ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðûå ìîæåò áûòü àäñîðáèðîâàíà ìîëåêóëà. Êàæäîå èç íèõ ìîæåò ïðèíÿòü íå áîëåå îäíîé ìîëåêóëû. Êàêàÿ äîëÿ âîçìîæíûõ ìåñò îêàæåòñÿ çàíÿòà ìîëåêóëàìè? (Ýòà äîëÿ íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ àäñîðáöèè4 .) Ãàç áîëüöìàíîâñêèé, äàâëåíèååãî ðàâíî P , òåìïåðàòóðà T .

Ýíåðãèÿ àäñîðáèðîâàííîé ìîëåêóëû ðàâíà −ε.4.2. Íàéòè õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë, ñðåäíþþ ýíåðãèþ è äàâëåíèå ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â ìåäè, àòîìíûé âåñ A ≈ 64 ã/ìîëü,3ïëîòíîñòü ρ ≈ 9 ã/ñì , ñ÷èòàÿ, ÷òî êàæäûé àòîì ìåäè ïîñòàâëÿåòîäèí ýëåêòðîí ïðîâîäèìîñòè.Çàìå÷àíèå.

Íà ñàìîì äåëå â êðèñòàëëå ýëåêòðîíû äâèæóòñÿâ ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå, òàê ÷òî çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà çàìåòíî ñëîæíåå, ÷åì çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò èìïóëüñàäëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò ïðåäëàãàåìîãî ðàñ÷¼òà ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê îöåíêó.4.3. Íàéòè äàâëåíèå âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîãî ãàçà â çàâèñèìîñòè îò êîíöåíòðàöèè.4.4.  àòîìàõ ñ áîëüøèì ÷èñëîì Z ýëåêòðîíîâ áîëüøàÿ ÷àñòüèç íèõ äâèæåòñÿ âáëèçè ÿäðà â îáú¼ìå ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîìR.