tus2 (Практические занятия по теории управления), страница 2

Выходной сигналx (t )  x c (t )  x вын (t )  cos 2t 1tsin 2t  sin 2t , t  0 . 24Пример 6. Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигналсистемы, описываемой уравнениемx(t )  3 x(t )  3x (t )  x (t )  g (t )сначальнымиx (0)  0, x (0)  0, x(0)  2условиямипривходномсигналеg (t )  e t  1 (t ) . 1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциальx(t )  3 x(t )  3 x (t )  x (t )  0приначальныхусловияхногоуравненияx (0)  0, x (0)  0, x(0)  2 .Характеристическое уравнение 3  32  3  1  (  1)3  0 имеет один корень  1 кратности k  3 .

Согласно (2) получаем общее решение однородного уравнения:x 0 (t )  (c1  c 2t  c3t 2 ) e t .Из начальных условий последовательно получаемx (0)  c1  0,x (0)  [ (c 2  2c3t ) e t  (c 2t  c3t 2 ) e t ]t 0x(0)  [ 2c3 e t  2c3t e t  2c3t e t  c3t 2e t ] c2  0 ,t 0 2c3  2имеем c1  c 2  0, c3  1, а свободное движение x c (t )  t 2e t .2.

Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравненияx(t )  3x(t )  3 x (t )  x (t )  e tс нулевыми начальными условиями x (0)  0, x (0)  0, x(0)  0 :а) общее решение однородного уравнения получено в п.1:x 0 (t )  (c1  c 2t  c3t 2 ) e t ;б) поскольку параметры правой части   1,   0, q  0 , а число   i   1 совпадает с корнем   1 характеристического уравнения кратности k  3 , то s  3, m  0 ичастное решение ищется в форме:x н (t )  A t 3e t .34Последовательно дифференцируя, имеемx н (t )  3 A t 2e t  A t 3e t ,xн (t )  6 A t 2e t  6 A te t  A t 3e t ,xн (t )  A t 3e t  9 A t 2e t  18 A te t  6 A e t .Подставляя в неоднородное уравнение, получаемA t 3e t  9 A t 2e t  18 A te t  6 A e t  18 A t 2e t  18 A te t  3 A t 3 e t  9 A t 2 e t  3 A t 3 e t  A t 3e t  e tили6A e t  e t .1t3 tОтсюда 6 A  1, A  и x н (t )  e .66в) общее решение неоднородного уравнения:x (t )  x 0 (t )  x н (t )  (c1  c 2t  c3t 2 ) e t t3 te ;6г) используя нулевые начальные условия, последовательно получаемx (0)  c1  0,x (0)  c 2  0,Отсюда вынужденное движение x вын (t ) x(0)  2c3  0.t3 te .63.

Выходной сигналt3 tx (t )  x c (t )  x вын (t )  t e  e ,62 tt  0. 35.