tus17 (Практические занятия по теории управления), страница 2

Таким образом, дляx  (t )  0t 2222любого x 0 можно получить соответствующую пару: оптимальную траекторию иоптимальное управление.Применим принцип максимума для непосредственного определенияоптимального программного управления и соответствующей траектории:1а) составляем гамильтониан: H (t , , x, u )    u  u 2 ;2б) находим безусловный максимум H (t , (t ), x (t ), u ) по управлению: 2 H (t , (t ), x (t ), u) H (t , (t ), x (t ), u ) (t )  u  0 . Отсюда u  (t )  (t ) и 1  0 ;u u21 2x , то F  x  x и2x (t1 ) x  H (t1 ) t1  (t1 ) x  t1 1 0 . Поскольку t1  1 , то t1  1  0 и t1  0 .в) проверяем условия трансверсальности. Так как F ( x ) Ограничений на x (t1 ) не наложено, поэтому вариация x произвольна.

В результатеимеем  (t1 )  x (t1 ) x  t1 1  0 и, следовательно, (1)  x (1)  0 , т.е. (1)   x (1) ;г) выписываем канонические уравнения с учетом результата пп. “б”, “в”:x (t )  u  (t )  (t ) , (t )  x (0)  x 0 ; H (t , (t ), x (t ), u ) 0,x(1)   x (1) ;д) решаем полученную двухточечную краевую задачу. В результате имеем(t )  const   x (1)  u  (t ) , x (t )   x (1) t  x 0 . При t  1 : x (1)   x (1)  x 0 , отсюдаxx (2  t )x, u  (t )   0 . Заметим, что для любогоx (1)  0 и, следовательно, x  (t )  0222начального состояния x 0 оба подхода (уравнение Беллмана и принцип максимума)дают один и тот же результат.

6Пример 2. Даны модель объекта управления в формеx1 (t )  u(t ),x 2 (t )  x1 (t ),и квадратичный функционалI 122u 2 (t ) dt 01x1 2 (2)  x 2 2 (2)  min .2Здесь x  R 2 , u  R , t  [ 0; 2 ] , f 0 (t , x, u ) f 2 (t , x, u)  x1 .1 21u , F (x ) x1 2  x 2 2 , f1 (t , x, u )  u ,22А. Требуется найти оптимальное управление u  (t , x ) . 1. Для рассматриваемой задачи уравнение Беллмана имеет вид  (t , x )  (t , x )1  (t , x )ux1  u 2   0 ,max u t x12  x2(2, x )  1 2 1 2x1  x 2 .222.

Дифференцируя по управлению и приравнивая производную нулю, находим (t , x ).структуру оптимального управления: u  (t , x )  x13. Подставим полученное выражение для управления в уравнение:2 (t , x ) (t , x ) 1   (t , x )  x1  0 .  x22   x1 t4. Будем искать решение этого уравнения в виде(t , x ) 11K 11 (t ) x12  K 12 (t ) x1 x 2  K 22 (t ) x 22 ,22где K 11 (t ) , K 12 (t ) , K 22 (t ) – неизвестные функции. Подставляя (t , x ) в уравнение играничное условие, приравнивая затем члены при одинаковых степенях x1 и x 2 нулю,получаем22K 11  2K 12  K 11, K 12  K 22  K 12 K 11 , K 22  K 12,K 11 (2)  1 , K 12 (2)  0 , K 22 (2)  1 .Решение системы имеет видK 11 (t )  [ 12  4 (2  t ) 2 (5  t ) ]12 (3  t )  (2  t )3 (6  t )K 22 (t ) , K 12 (t )  6 (2  t ) (4  t )12 (3  t )  (2  t )3 (6  t )12 (3  t )12 (3  t )  (2  t )3 (6  t ),,7а оптимальное управление с полной обратной связьюu  (t , x )  K 11 (t ) x1  K 12 (t ) x 2  12  4 (2  t ) (5  t )  x21 6 (2  t ) (4  t ) x 212 (3  t )  (2  t )3 (6  t ).Б.

Требуется найти оптимальное программное управление u  () для начальногоусловия x (t 0 )  x 0 . Применим условия принципа максимума для данной задачи.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )  1  u   2  x1 1 2u .22. Находим безусловный максимум функции H (t , (t ), x (t ), u ) по управлению: H (t , (t ), x (t ), u ) 1 (t )  u  0 . Поэтому u  (t )  1 (t ) .u3.

Выписываем соотношения (6):x1 (t )  u  (t )  1 (t ) , x1 (0)  x10 , 1 (t )    2 (t ) ,x 2 (t )  x1 (t ) , x 2 (0)  x 20 , 2 (t )  0 .4. Проверяем условия трансверсальности. Так как F ( x ) F  x1 x1  x 2 x 2 и1 2 1 2x1  x 2 , то22[ x1 x1  x 2 x 2  H (t1 ) t1  1 (t1 ) x1   2 (t1 ) x 2 ] t1  2  0 .Так как t1  2 , то t1  2  0 и t1  0 . Ограничений на x1 (t1 ) , x 2 (t1 ) не наложено,поэтому вариации x1 , x 2 произвольны. В результате имеем[ 1 (2)  x1 (2) ] x1  [  2 (2)  x 2 (2) ] x 2  0и, следовательно, 1 (2)   x1 (2) ,  2 (2)   x 2 (2) .5.

Записываем двухточечную краевую задачу:x1 (t )  u  (t )  1 (t ) , x1 (0)  x10 ; x 2 (t )  x1 (t ) , x 2 (0)  x 20 ; 1 (t )   2 (t ) , 1 (2)   x1 (2) ; 2 (t )  0 ,  2 (2)   x 2 (2) .Ее решение:1 (t )   x1 (2)  x 2 (2)  (2  t ) ,  2 (t )   x 2 (2) ,x1 (t )  x1 (2)  (3  t ) 1x 2 (2)  (2  t ) 2 ,2(2  t )  (4  t )(2  t )3x 2 (t )  x 2 (2)  x1 (2) x 2 (2).26Из последних двух соотношений при t  0 получаем8x1 (2)  x10  6 x 2021x 2 (2) ;4 x10  3x 207.Тогда оптимальное программное управление имеет видu  (t ) x10  6 x 20(2  t )(4 x10  3 x 20 ).217Подстановкой найденной оптимальной траектории x  (t ) в управление u  (t , x )можно показать, что для заданного начального условия x 0  ( x10 ,x 20 )T оптимальноеуправление u  (t , x ) с полной обратной связью порождает оптимальное программноеуправление u  () .

Пример 3. Дана модель объекта управленияx (t )  u(t ) ,где x  R , u  [1; 1] , t  [0, t1 ] .связью,Требуется найти оптимальное управление u  (t , x ) с полной обратнойпереводящее объект из любого начального состояния в начало координат занаименьшее время, т.е. обеспечивающее минимум функционалаI t1 dtx (0)  R .0 Сравниваясобщейпостановкойзадачи,имеем:f (t , x, u )  u ,0f (t , x, u )  1 , F (t1 , x )  0 . Решается задача Лагранжа или, с учетом смыслафункционала, задача быстродействия с конечным условием x (t1 )  0 .1. Выписываем уравнение Беллмана (1.5) и граничное условие:   Б (t , x )   Б (t , x )min u  1   0,u 1 xt Б (t1 ,0)  0 .Так как все траектории системы должны попасть в точку x  0 при t  t1 , тограничное условие определено только в этой точке.

С учетом (1.8) и смыслафункционала (наименьшее время достижения начала координат неотрицательно)следует добавить условие  Б (t , x )  0 .2. Находим структуру оптимального управления из условия минимума  Б (t , x )выражения в фигурных скобках: u  (t , x )   sign.x3. Подставляем полученное выражение для управления в уравнениеБеллмана:  Б (t , x )  Б (t , x )1  0,xt Б (t1 ,0)  0 , Б (t , x )  0 .4. Функция  Б (t , x )  x является решением уравнения, так как удовлетворяетему в двух областях: при x  0 и при x  0 , в чем можно легко убедиться прямой9подстановкой.

Граничное условиеоптимальное управление имеет видтакжевыполняетсяприx  0.Искомое 1, x  0 ,u (t , x )   0, x  0 , 1, x  0 ,а минимальное значение функционала для произвольного начального состояния x 0определяется по формулеt1 ( x 0 ) mind  D (t0 , x0 )I (d )   Б (t 0 , x 0 )  x 0x 0  R . Пример 4. Дана модель объекта управления в видеx1 (t )  x 2 (t ) ,x 2 (t )  u(t ) ,где x  R 2 , u  [1; 1] , t  [0, t1 ] .Требуется найти оптимальное управление u  (t , x ) с обратной связью,переводящее объект из любого начального состояния в начало координат занаименьшее время, т.е. обеспечивающее минимум функционалаI t1 dtx (0)  R .0 Сравниваясобщейпостановкойзадачи,имеем:f1 (t , x, u )  x 2 ,f 2 (t , x, u )  u , f 0 (t , x, u )  1 , F (t1 , x )  0 , x (t1 )  0 0 T . Решается задача Лагранжа.1. Для рассматриваемой задачи записываем уравнение Беллмана и граничноеусловие:   Б (t , x )   Б (t , x )  Б (t , x )min u 1  0,x2 u 1  x2 x1t Б (t1 ,0)  0 .Так как все траектории системы должны попасть в точку x  (0, 0)T при t  t1 ,то граничное условие определено только в этой точке.

Аналогично п.1 примера 3добавим условие  Б (t , x )  0 , следующее из физического смысла функционала и (1.8).2. Находим структуру оптимального управления из условия минимума  Б (t , x )выражения в фигурных скобках: u  (t , x )   sign. x23. Подставляем полученное выражение для управления в уравнение Беллмана:  Б (t , x )  Б (t , x )   Б (t , x )1  0,x2  x2 x1t Б (t1 ,0)  0 , Б (t , x )  0 .104. Функция12x1   x 2 x 2 , x 2  4 x1  2 x 2 ,21Бx1   x 2 x 2 , (t , x )   x 2 ,2  x   4 x  2x 2 , x   1 x x21212 22удовлетворяет граничному условию и уравнению в трех характерных областях,можно убедиться подстановкой.Искомое оптимальное управление с полной обратной связью имеет видв чем1x1   x 2 x 2 ,  1,21u (t , x )   sign x 2 , x1   x 2 x 2 ,21 1,x1   x 2 x 2 ,21x 2 x 2 – уравнение линии переключения оптимального управления.21Вычисляя, например, при x1   x 2 x 2 производные функции Беллмана:2где x1   Б (t , x )  0 ,t Б (t , x)  x124 x1  2 x 22, Б (t , x )  1  x22x 24 x1 2 x 22,  Б (t , x )Б (t , x )  0 , т.е.

u (t , x )   sign 1 . Подставляя этизамечаем, что x2 x2выражения в левую часть уравнения Беллмана, получаем  Б (t , x )   Б (t , x )  Б (t , x )x2 1 t x1 x2 024 x1  2 x 22x2  1 2x24 x1  2 x 221  0 .1x 2 x 2 полученные функции  Б (t , x ) и u  (t , x )2являются решением задачи. В других областях проверка выполняется аналогично. Следовательно, в области x1  11.