tus16 (Практические занятия по теории управления), страница 2

На одном интервале u(t )  1 , а на другом u(t )  1 .Построим фазовый портрет. Уравнение фазовых траекторий системыx1 (t )  x 2 (t ) ,x 2 (t )  u(t )  constx22 C . На рис. 2,а,бdx 2uu2uизображены два возможных семейства парабол. По траекториям, проходящим черезначало координат, движение происходит на последнем интервале знакопостоянствауправления. Результирующий фазовый портрет и искомая оптимальная траектория,соответствующая заданным начальным условиям, представлены на рис.

2,в.На первом участке оптимальной траектории до линии переключения u  (t )  1 , аимеет видdx1x2. Отсюда dx1 x2dx 2 илиx1 на втором u  (t )  1 .Найдем время T  1   2 , затрачиваемое на переход из точки x 0  (0,  4)T вначало координат. Здесь 1 – время движения с управлением u  (t )  1 до точкипереключения,  2 – время движения с управлением u  (t )  1 .6x2x2u(t )  1x2u(t )  1u(t )  100x10x1x1u(t )  1абвРис. 2На первом участкеx1 (t )  x 2 (t ) ,x 2 (t )  u  (t )  1 , откудаx 2 (t )  t  C1 ,2t C1t  C 2 . При t  0 имеем x 2 (0)  C1   4 , x1 (0)  C 2  0 , поэтому2t2x1 (t )  4 t , x 2 (t )  t  4 .2На втором участке x1 (t )  x 2 (t ) , x 2 (t )  u  (t )  1 , откуда x 2 (t )   t  C1 ,x1 (t ) t2 C1 t  C 2 .

В конечный момент времени T  1   2 траектория должна2попасть в начало координат:(   2 ) 2x1 (1   2 )   1 C1 (1   2 )  C 2  0 ,2x1 (t )  x 2 (1   2 )   (1   2 )  C1  0 ,из чего следует C1  1   2 , C 2  (1   2 ) 2.2В силу непрерывности траектории при t  1 , имеем(1   2 ) 21212,x1 (1 )  4 1   (1   2 ) 1 222x 2 (1 )  1  4   1  1   2 .В результате получаем  2  1  4 , 12  8 1  8  0 и 1  4  2 2 , так как 2  0 .

Поэтому  2  2 2 и T = 4 + 4 2 . Решение задачи найдено.Рассмотрим одну модификацию рассмотренной постановки задачи. Если модельобъекта управления описывается системой дифференциальных уравненийx1 (t )  x 2 (t )  p ,x 2 (t )  u(t ) ,7где p – заданное действительное число, то методика решения задачи не изменяется.Оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, имеющей не болеедвух интервалов знакопостоянства: на одном интервале u(t )  1 , а на другомu(t)  1 . Уравнения фазовых траекторий получаются при u(t )  const :dx1dx 2x2  pudx1 ,x2  pudx 2или, интегрируя,x22 p x21x1 C ( x 2  p ) 2  C~ .2uu2ux2x2x2u(t )  1pp00x1u(t )  1x1x1u(t )  1аu(t )  1вбРис.

3На рис. 3, а,б изображены соответствующие фазовые траектории при u(t )  1 иu(t )  1 , а на рис. 3,в – результирующий фазовый портрет с характернымиоптимальными фазовыми траекториями. Пример 10. Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ) ,x (0)  0 ,где x  R , | u |  1 , t  [0; T ] , и функционалTI  [ x (t )  u2(t ) ] dt  min ,0где T – заданный параметр.Требуется найти оптимальную пару ( x  (), u  ()) , на которой достигаетсяминимум функционала при T  1 и T  3 .f (t , x, u )  u , Сравнивая с общей постановкой задачи, имеемf 0 (t , x, u )  x  u 2 , F (t1 , x )  0 , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  T  0 .

Решается задача Лагранжа.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )    u  x  u 2 .82. Находим максимум H (t , (t ), x (t ), u ) по управлению. При этом решаетсязадача поиска наибольшего значения квадратного трехчлена на отрезке [1; 1]допустимых значений управления. В результате получаем структуру оптимальногоуправления:(t ) 1 ,  1,2 (t )(t ) 1,u  (t )  , 1 22(t ) 1, 1.23. Выписываем уравнения системы (6):x (t )  u  (t ) , x (0)  0 , (t )  H (t , (t ), x (t ), u  (t ))  1 .x4.

Проверяем условия трансверсальности (5): для F (t1 , x )  0 имеем F  0 и  H (t1 )  t1  (t1 )  x t1 T= 0.Так как t1  T задано, то (t1 , x (t ))  t1  T  0 и t1  0 . Ограничений наx (t1 ) не наложено, поэтому вариация x произвольна. Следовательно, (T ) x  0 и(T )  0 .5. Решаем краевую задачу с учетом результатов пп.2,4:x (t )  u  (t ) ,x (0)  0 ; (t )  1 , (T )  0 (при T  1 или T  3 ).Получаем (t )  t  C и (T )  T  C  0 . Поэтому (t )  t  T .Рассмотрим два случая:а) пусть T  1 . Тогда (t )  t  1 .

Так какотрезке времени [0; 1] , то u  (t ) x  (t ) (t )t 1 1 для всех t на22(t ) t  1– оптимальное управление. При этом22t2 t – оптимальная траектория;4 2б) пусть T  3 . Тогда (t )  t  3 . На промежутке времени [0; 1)(t ) t  3 1 и оптимальное управление u  (t )  1 , а на отрезке [1; 3]22(t )t 3(t ) t  3 1 и u  (t ) .

Поэтому на первом участке (при t  [0; 1) )2222оптимальная траектория x  (t ) удовлетворяет условиям9x (t )  1 ,x (0)  0 ,т.е. x  (t )   t , а на втором участкеx (t ) t 3,2x (1)  1 ,t2 3t 1 .т.е. x (t ) 42 410.