tus15 (Практические занятия по теории управления), страница 2
Описание файла
Файл "tus15" внутри архива находится в папке "Практические занятия по теории управления". PDF-файл из архива "Практические занятия по теории управления", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория автоматического управления (тау)" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория автоматического управления (тау)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Составляем гамильтониан: H (t , , x, u ) ( x + u ) u 2 .2.Находим максимум гамильтониана по управлению (см. п.2 примера 1):2(t )и 2 H (t, (t ), x(t ), u) 2 0 .H (t, (t ), x(t ), u) (t ) 2u 0 . Отсюда u (t ) 2uu63. Выписываем уравнения системы (6) с учетом результата п.2:x (t ) x (t ) u (t ) x (t ) (t ) (t ), x (0) = 0 ,2H (t , (t ), x (t ), u(t )) (t ) .x4. Проверяем условие трансверсальности в форме (5).
Так как F (t1 , x ) x , тоF x и x H (t1 ) t1 (t1 ) xt1 1 0 . Поскольку t1 1 , то t1 0 . Ограни-чений на x (t1 ) не наложено, поэтому вариация x произвольна. В результате имеем (t1 ) 1 xt1 1 0 и, следовательно, (1) 1 0 .5. Решаем полученную двухточечную краевую задачу:x (t ) x (t ) (t ), x (0) = 0 ,2 (t ) (t ) , (1) 1 .Из второго уравнения с конечным условием имеем (t ) e 1 t . Поэтому оптимальноеe1t(t ) 1 1 t e . Решая первое уравнение системы x (t ) x (t ) суправление u (t ) 222начальным условием x (0) = 0 , последовательно получаем: x 0 (t ) Ce t – общее решениеeоднородного уравнения, x ч (t ) e t – частное решение неоднородного уравнения,4eобщеерешениенеоднородногоуравнения,x (t ) x 0 (t ) x ч (t ) Ce t e t –41eex(0) C 0, C .
Следовательно, оптимальная траектория x (t ) e1t e1t . 444Пример 3. Даны модель объекта управленияx1 (t ) x 2 (t ) , x1 (0) 1 , x1 (2) 0 ,x 2 (t ) u(t ) , x 2 (0) 1 , x 2 (2) 0 ,где x ( x1 , x 2 )T R 2 , u R , t [0; 2] , и функционал1I 22u2(t ) dt min .0Требуется найти оптимальную пару ( x * (), u * ()) , на которой достигается минимумфункционала. Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем1f1 (t , x, u ) x 2 , f 2 (t , x, u ) u , f 0 (t , x, u ) u 2 , F (t1 , x ) 0, 1 (t1 , x (t1 )) t1 2 0 ,272 (t1 , x (t1 )) x1 (2) 0 ,3 (t1 , x (t1 )) x 2 (2) 0 .Решается задача Лагранжа.1.
Составляем гамильтониан: H (t , , x, u ) 1 x 2 2 u 1 2u .22. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения науправление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстремума:H (t , (t ), x (t ), u) 2 (t ) u 0 .uОтсюда u * (t ) 2 (t ) . Найденное управление обеспечивает максимум функцииH (t , (t ), x (t ), u) по управлению, так как удовлетворяются достаточные условия экстремума2H (t , (t ), x (t ), u ) 1 0 . u23.
Выписываем уравнения системы (6):x1 (t ) x 2 (t ) , x1 (0) 1 , x1 (2) 0 ,x 2 (t ) u(t ) 2 (t ) , x 2 (0) 1 , x 2 (2) 0 , 1 (t ) 2 (t ) H (t , (t ), x (t ), u(t )) 0 , x1H (t , (t ), x (t ), u(t )) 1 (t ) . x24. Проверяем условия трансверсальности (5). Так как F (t1 , x ) 0 , а t1 2 ,x1 (2) 0 , x 2 (2) 0 , т.е. заданы, то F 0 , t1 0 , x1 0 , x 2 0 . Следовательно,условия трансверсальности выполняются.5. Решаем полученную в п.3 двухточечную краевую задачу:1 (t ) const C1 ,x 2 (t ) C1 t 22 C 2 t C3 , 2 (t ) C1t C 2 ,x1 (t ) C1 t 36C2 t 22 C3 t C 4 .Из краевых условий находим постоянные C1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 :x1 (0) C 4 1 ,x 2 (0) C 3 1 ,81 3 7 2t t t 1,24x 2 (2) 2 C1 2 C 2 C 3 0 .7и искомая пара ( x * () ( x1* (), x 2 * ())T , u * ()) , где2737x 2 * (t ) t 2 t 1 , u * (t ) 2 (t ) 3 t .
222Отсюда C1 3 , C 2 x1* (t ) 4x1 (2) C1 2 C 2 2 C 3 C 4 0 ,3Пример 4. Даны модель объекта управленияx1 (t ) x 2 (t ),x 2 (t ) x1 (t ) u(t ),3eс краевыми условиями x1 (0) 2, x 2 (0) , x1 (1) , x 2 (1) e 1 и функционал221I u 2 (t ) dt min .0Требуется найти оптимальное программное управление u () и соответствующуютраекторию x () .Здесь x ( x1 , x 2 )T R 2 , u U R, t [0; 1], f 0 (t , x, u ) u 2 , F (t1 , x ) 0,ef1 (t , x, u ) x 2 , f 2 (t , x, u ) x1 u , 1 (t1 , x (t1 )) t1 1 0 , 2 (t1 , x (t1 )) x1 (1) 0 ,213 (t1 , x (t1 )) x 2 (1) e 0 .
Решается задача Лагранжа.1. Составляем гамильтонианH (t , , x, u ) 1 x 2 2 ( x1 u ) u 2 .2. Находим максимум гамильтониана по управлению:H (t , (t ), x (t ), u ) 2 (t ) 2 u 0 .uОтсюда u (t ) 2 (t )2и2 u2H (t , (t ), x (t ), u ) 2 0 .3.
Выписываем уравнения системы (6) с учетом результата п.2:x1 (t ) x 2 (t ),x 2 (t ) x1 (t ) 2 (t )2x1 (0) 2,, x 2 (0) x1 (1) e,23, x 2 (1) e 1 ,2 1 (t ) H (t , (t ), x (t ), u(t )) 2 (t ), x1 2 (t ) H (t , (t ), x (t ), u(t )) 1 (t ). x24. Проверяем условия трансверсальности (5). Так как F (t1 , x ) 0, то F 0 и H (t1 ) t1 1 (t1 ) x1 2 (t1 ) x 2 t1 1 0.9e, x 2 (1) e 1 заданы, то t1 0, x1 0, x 2 0 .2Поэтому условия трансверсальности выполняются.Поскольку значения t1 1, x1 (1) 5. Решаем записанную в п.3 двухточечную краевую задачу. Из двух последних уравнений получаем 1 (t ) 2 (t ) 1 (t ).Общее решение этого уравнения имеет вид1 (t ) C1 e t C 2 e t ,где C1 и C 2 – произвольные постоянные.Тогда из третьего уравнения системы 2 (t ) 1 (t ) C1 e t C 2 e t .Запишем первые два уравнения системы:x1 (t ) x 2 (t ),x 2 (t ) x1 (t ) Отсюда x1 (t ) x 2 (t ) x1 (t ) 2 (t )2 x1 (t ) C1 t C 2 te e .22C1 t C 2 tCCe e или x1 (t ) x1 (t ) 1 e t 2 e t .2222Найдем общее решение полученного неоднородного уравнения:а) общее решение однородного уравнения x1 (t ) x1 (t ) 0 :x10 (t ) C 3 e t C 4 e t ;б) частное решение неоднородного уравнения ищем в видеx1н (t ) A t e t B t e t .x1н (t ) A e t A t e t B e t B t e t ,Тогдаx1н (t ) 2 A e t A t e t 2B e t B t e t .Подставляя в неоднородное уравнение, получаем:2 A e t A t e t 2B e t B t e t A t e t B t e t C1 t C 2 te e .22Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях t , имеем2A 10C12, 2B C22, илиAC14,B C24.В результате x1н (t ) C1Ct e t 2 t e t ;44в) общее решение неоднородного уравненияx1 (t ) x10 (t ) x1н (t ) C 3 e t C 4 e t C14t et C24t e t .Из первого уравнения системы имеемx 2 (t ) x1 (t ) C 3e t C 4 e t C1et 4C14t et C24e t C24t e t .Для нахождения коэффициентов C1 ,...,C 4 используем краевые условия:x1 (0) C 3 C 4 2,x 2 (0) C 3 C 4 C14x1 (1) C 3 e C 4 e 1 x 2 (1) C 3 e C 4 e 1 ПолучаемC1e4C14C14C24eeC24C243,2e 1 e 1 C24e,2e 1 e 1 .C1 2, C 2 4, C 3 C 4 1 .
В результате найдена искомая пара:опти-Tмальная траектория x (t ) x1 (t ), x 2 (t ) , гдеx1 (t )te ett et t e t ,2и оптимальное управление u (t ) 2 (t )2x 2 (t )ett ettt, 2e t e 22 e t 2e t . 11.