tus14 (Практические занятия по теории управления), страница 2

линейная часть разомкнутой системыустойчива);2) характеристика нелинейного элемента принадлежит сектору [0; k ] , т.е.F (0)  0 ,0F () k при всех   0 ;3) существует действительное число q такое, что при всех   [0;  ) выполняется неравенство1Re  1  i q  W (i)    0 .kТогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого значения функция(t ) остается ограниченной при t  0 и (t )  0 при t   (т.е.

система будетасимптотически устойчивой, так как из ограниченности (t ) следует, ограниченностьx (t ) , а из стремления (t ) к нулю следует, что x (t )  0 при t   .z kzz  F ()0Рис. 1Заметим, что условие принадлежности характеристики сектору [0; k ] означает,что график функции z  F () лежит между осью абсцисс и прямой z  k (рис. 4). Приэтом конкретный вид функции в формулировке критерия не играет никакой роли.

Можносказать, что рассматривается сразу целый класс систем с различными нелинейными элементами, характеристики которых принадлежат сектору [0; k ] , и критерий определяетабсолютную устойчивость указанного класса. В частности, в данный класс входят илинейные системы, получающиеся заменой нелинейного элемента усилительным звеномс коэффициентом усиления, не превышающим k .Утверждение 2 (необходимые условия устойчивости). Если система с нелинейной характеристикой F () , принадлежащей сектору [0; k ] , асимптотически устойчива, то:101) линейная часть разомкнутой системы – устойчива (т.е. полюсы передаточнойфункции W ( s ) лежат в левой полуплоскости ( Re s  0 ));2) годограф модифицированной частотной характеристики~ (i)  ReW (i)  i Im W (i)W(*)1линейной части системы при   (0;  ) не пересекает луча   ;   действительkной оси.Алгоритм анализа абсолютной устойчивости1.

Найти все полюсы передаточной функции W (s ) линейной части системы ипроверить, имеют ли все из них отрицательные действительные части. Если хотя бы одинполюс не лежит в левой полуплоскости ( Re s  0 ), необходимое условие абсолютной устойчивости (п.1 утверждения 2) не выполняется и система не является абсолютно устойчивой.2. Найти параметр k (лучше наименьший из возможных), удовлетворяющий условию в п.2 утверждения 1.3. Проверить выполнение условия п.3 утверждения 1.Если все три проверенных условия выполняются, то система является абсолютноустойчивой.Для решения задач удобно использовать геометрическую интерпретациювий абсолютной устойчивости :усло-~ (i) , оп1.

Построим годограф модифицированной частотной характеристики Wределяемой выражением (*).2. Построив годограф, получим одну из трех возможных ситуаций:~ (i) пересекает луч   ;  1  действительной оси (рис. 2,а) – ва) годограф Wk этом случае абсолютной устойчивости нет;~ (i) не пересекает луча   ;  1  и можно провести прямую Поб) годограф Wk  1 пова, проходящую через точку   ; 0 и лежащую левее годографа (рис. 2,б), – в этом k случае система абсолютна устойчива;1в) годограф не пересекает луча   ;   действительной оси и провести прямуюkПопова нельзя (рис.

2,в) – в этом случае никакого заключения об абсолютной устойчивости мы сделать не можем.11~ (i)W~ (i)W01k01k01k~ (i)WабвРис. 2Пример 1. Исследовать устойчивость нелинейной системы, структурная схема которой изображена на рис. 3, если нелинейная характеристика имеет следующий вид:1а) для элемента, описываемого соотношением: F ()  (  sin ) ;2   2,   2,б) для элемента с зоной нечувствительности: F ()   0 ,  2    2 ,   2 ,   2 ; 1,   0 ,в) для релейного элемента: F ()   0,   0 ,  1,   0 .gF ()z12s  s 11s 1xРис.

3 1. Находим передаточную функцию W ( s ) линейной части разомкнутой системы, которая представляет собой последовательное соединение колебательного и апериодического звеньев:W (s ) 12(s  s  1) (s  1).Линейная часть системы устойчива, так как корни знаменателя передаточной функции1  i 3W (s ) : s1  1 , s 2,3 имеют отрицательные действительные части.2122. Определим теперь сектор [0; k ] , которому принадлежат характеристики рас1сматриваемых нелинейных элементов.

Для нечетной функции z  (  sin ) имеем21при   0 оценку (  sin )   , поэтому (в случае “а”) можно взять k  1 . Для эле2мента с зоной нечувствительности (случай “б”) величина k также равна 1 . Для релейного элемента (случай “в”) следует положить k    .3. Частотную характеристикуW (i)  W (s )s i 1(1  2  i) (1  i)подставим в неравенство Re  1  i q  W (i)  Re1  22  i (2  2 )(1  2  4 ) (1  2 )1 0:k(1  i q ) [ 1  22  i  (2  2 ) ]242(1     ) (1   )1 0.kВыделяя действительную часть и умножая на положительный знаменатель дроби,получаем1  22  q 2 (2  2 ) 1(1  6 )  0 .kДля неотрицательной переменной    2 полученное неравенство имеет вид1 31  q 2  2 (q  1)  1   0 .kkКритерий Попова будет выполняться, если найдется число q , для которого неравенство окажется справедливым при всех   0 .Запишем неравенство при k  1 (случаи “а” и “б”):3  q 2  2 (q  1)  2  0 .При q  2 многочлен, стоящий в левой части неравенства, будет монотонно возрастатьдля всех   (;  ) .

Поскольку при   0 многочлен положителен, то при   0 онбудет принимать только положительные значения. Таким образом, системы с нелинейностями “а” и “б” будут устойчивыми.Для k    неравенство примет вид q 2  2 (q  1)  1  0 .13Для положительных значений q неравенство не будет выполняться при большихзначениях  . Если же q  0 , то минимальное значение квадратного трехчлена достигаq 1ется при   0 и это значение отрицательно:qq(q  1) 2q2q2  q 12(q  1) 2(q  1) 21 1  0.qqqТаким образом, ни при каких значениях q неравенство не будет справедливым при всех  0 , т.е. критерий Попова для рассматриваемой системы с релейным элементом (случай “в”) не выполняется.Покажем, что в данном случае система неустойчива.

Действительно, необходимоеусловие устойчивости выполняется, если годограф модифицированной частотной характеристики (*)222~ (i)  1  2  i  (2   )W1  61  61при   (0;  ) не пересекает луча   ;   действительной оси. Годограф функцииk1при   2 (рис. 4).пересекает действительную ось в точке 1 при   0 и в точке 3Поэтому рассматриваемая система неустойчива для всех нелинейных элементов, характеристики которых не принадлежат сектору [0; 3] . В частности, система с релейнымэлементом (случай “в”), характеристика которого принадлежит сектору [0;  ) , будетнеустойчивой. При этом, так как годограф W~ (i) пересекает луч (; 0 ] , необходимоеусловие устойчивости не выполняется. 013  1~ (i)W22i3Рис.

4141220~ (i)W2i3130.