tus13 (Практические занятия по теории управления), страница 2

7 Составляем дифференциальное уравнение, описывающее свободное движение(при g (t )  0 ) системы:x  x  zz  F (,  )x  x   F ( x, x ) .  xcydydxy 52(c  1)c  20y521y54x2y52c 13y54c0БAc  311y 0Рис. 8Отсюда получаем уравнение фазовых траекторийdyy  F ( x, y )и уравнениеdxyизоклин:y  F ( x, y )F ( x, y )  c или y  .yc 1Разделим фазовую плоскость на две области: А и Б, в которых функция F (x , y )5 5принимает постоянные значения: ,(рис. 8).

Запишем уравнение изоклин: для2255области А: y ;для области Б: y  .2(c  1)2(c  1)Построим изоклины и фазовые траектории в области Б, а затем симметрично относительно начала координат в области А.7Приближенное построение фазового портрета позволяет обнаружить особую линию – предельный цикл, которому соответствует замкнутая фазовая траектория. Найдемвремя, за которое изображающая точка проходит предельный цикл один раз. Для этогоdyy dпроинтегрируем уравнениефазовых траекторий в области Б и получимdxyобщее решение: x  d ln( y  d )  y   , где  – произвольная постоянная. Найдем значение произвольной постоянной, предполагая, что фазовая траектория начинается в точке(1; y 0 ) :1  d ln ( y 0  d )  y 0      y 0  1  d ln ( y 0  d ) .Следовательно,фазоваятраекторияопределяетсяравенством:y dx  d ln y 0  y  1 .

Найденная фазовая траектория выходит из области Б, переy0  dсекая прямую x  1 в точке (1; y1 ) . Так как траектории в области А симметричны траекториям в области Б относительно начала координат, то для того, чтобы траектория, начинающаяся в точке (1; y 0 ) , была замкнутой, достаточно, чтобы она оканчивалась в области Б в точке (1;  y 0 ) . Поэтому значение y 0 должно удовлетворять уравнениюd  y05d ln 2 y 0  2  0 . Решая приближенно это уравнение при d , получаемd  y02y 0  5,13 .Определим теперь время  прохождения изображающей точки от положения(1; y 0 ) до положения (1;  y 0 ) .

Для этого проинтегрируем уравнение y  y   d приначальном условии y (0)  y 0 . Получим y  ( y 0  d )e t  d . В момент t   должно выd  y0полняться равенство y()   y 0     ln. Подставляя найденное выше значеd  y0ние y 0  5,13 , определяем   1,56 . Следовательно, весь предельный цикл изображающая точка проходит за время 2  3,12 . По фазовому портрету заключаем, что предельный цикл является устойчивым.8.