tus12 (Практические занятия по теории управления), страница 2

Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы: g 1 k  а) входной сигнал g k      ; g k  rб) многомерная линейная дискретная стационарная система,описывается уравнением состоянияповедение которойx k  1  A x k   B g k и уравнением выходаy k   C x k  ,где x – n -мерный вектор состояния, y – m -мерный вектор выхода; A , B ,C – матрицыразмера n  n  , n  r  , m  n  соответственно;в) начальное условиеx 0   x 0 ,где x 0  x10 ,  , x n0 T – начальное состояние.Требуется найти законы изменения векторов состояния x k  и выхода y k  .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти изображение входного сигнала:G z   Z g k  .2. Найти матрицы zE  A  , C zE  A 1Wxz   zE  A 1 B ,1и передаточные функции:Wyz   C zE  A 1 B .3. Определить изображение законов изменения векторов состояния и выхода:x  GX z   zE  A 1 z x 0  Wz,z X вын ( z )X c (z )y  GY z   C zE  A  z x 0  Wz .z 1Yc ( z )Y вын ( z )4. Найти законы изменения векторов состояния и выхода, используя обратное Z преобразование:9x k   Z 1  X z    x c (k )  x вын (k ) ,y k   Z 1  Y z    yc (k )  y вын (k ) .Пример 7.

Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойдинамической системы: x1 k  1   1  1   x1 k    1     g k  ,    x 2 k  1   2 0   x 2 k    1  x k  y k   1 1  1  x 2 k при входном сигнале g k   3k и начальных условиях x1 0   3 , x 2 0   0 .1. Найдем изображение входного сигнала:zG z   Z g k  .z 3 1  1 1  , B    , C  1 1 ,2.

Найдем передаточные функции. Так как A   2 0   13x 0    , то0zE  A 1z  1 1 z  2C zE  A 1 Wx12z z 2Wy1  z ;z  z  2   2 z  1121z2  z  2z  2z   zE  A 1 B11 z   2 z  11 1 z  2 11 1 ,z 11  1  z   z 2  z  2   2 z  1   11 z 1 1  1    ,z 2  z  2   z  1 z  2   1 1z   C zE  A 1 B111 1    0 .z 1  13. Определим изображение законов изменения векторов состояния и выхода:10X z  1  z zz 2  z  2   2 z  11 1  z  2  z  3   1zY z  1  1  z3 3z z     0  z  2   1  z  3 z  1 z  2    6 3z 2z;1223zzzz6zz  z  1 z  2  z  2  z  3 11 1 zz 133z  .0 z  14.

Найдем законы изменения векторов состояния и выхода: 2 1111 zz  3z    3 z 1 3 z  2 z  2 z  3 X z  111 zz  1   6z    3 z 1 3 z  2 z  2 z  3zzzz z z 1223zzzz.zzzz 2 2z 1z 2 z 2 z 3 zzиzнужно использовать формулы 2 , 7 из табл. 6.1 и, вz 1z 2силу наличия множителя z , формулу. ПолучаемДля дробей z z  z kZ 1  (1)k  (k ) , Z 1   2  (k ) ,z1z2(0)  1, (0)  1 , zzzz   z  z   z  z zz12z2z3.X (z ) zzz2z 1 z  2 z 3Отсюда по формулам Z  f k  1   z  F z   f 0   и 7 из табл. 6.1 имеем  (1)k 1  2 k 1  2 k  3k   (1)k  2 k  3k x (k )  kkk  2  (1)k  2 k  3k  ,2(1)23 y k   3   1k .Пример 8.

Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойдинамической системы:x1 k  1  4 x1 k   x 2 k   g k  ,x 2 k  1  x1 k   2 x 2 k  ,y k    x1 k   x 2 k 11при входном сигнале g k   1 и начальных условиях x1 0  1. Найдем изображение входного сигнала:G z   Z 1 39, x 2 0   .44z.z 1 4  11  , B    , C   1 1 ,2. Найдем передаточные функции.

Так как A  1 2 03 x 0   4  , получаем9 4zE  A 11 z  4 1z21C zE  A  Wx1z  32yz  32  z  3z   zE  A 1 BW11z  32z   C zE  A 1 B11z  32z  2  1  ;1z4z  2 1 z  4  1 1 1 (z  3) 1 1 1 ;z 3 z  2  1  1 1   z  4   0  z  32 1 z  2 ; 1 11 1 1     1 .z  3z 303. Определим изображение законов изменения векторов состояния и выхода:3 z  2 zz  2  1   4 11 z   X z  z  32  1 z  4   9  z  32  1  z  14  z z  2  3z52z4   z  3 z  1  zz  32  9 z  33  4  z  32 z  1 4X c z X вын z 3  4 z9  4 z12z2 32z2 32 15zz22z 4 z  32   z  32 z  1 z  32 z  1 ;z33z4 z  32  z  32 z  11 1 1 zY z  z 33  1  z3zz 4   . 2z3z1z39  z  3 z 1   4Y c z Y вынв z 4.

Найдем законы изменения векторов состояния и выхода.Воспользуемся разложениями:1z  1 z  31z  32 z  11111, 2 z 1 2 z  3111111.  4 z  3 2 z  32 4 z  1Тогда23z15  z 4 (z  3) 24 (z  3) 2 X (z )  29z33z 2 4 (z  3) 24z  3) (X c (z )2 11z1zz1z   z z  1  z z   4z  1 2 z  3 (z  3) 2 2 z  1 z  3 2 (z  3) 2 4;1z1z1z   24z324z1(z3)X вын ( z )Y z  3z1z1z.  2 z  3 2 z 1 2 z  3По формулам 1, 7, 8 из табл.

6.1 и Z  f k  1   z  F z   f 0   получаем153k 3 k 1  k  1 3k 4x k    4339 k  1 3k k 1 k344xc (k )11 1 1 k 1 1 k  1 3k   3k  k 3k 1   32 4 22 4111 3 k  k 3 k 1 424xвын (k )13353111 11 3 k 3k  3k  k 3k  3k  k 3k  3k   3k  3k 444224 23 4911111 9 3k  k 3k   k 3k  3k  k 3k464 4441  k 1 3  k 3k 34 ,11 2  3k  k 3k  3414y k  13 k 1 1 k3   3  3k  .22 22.