tus12 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 12.АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ1. Описание сигналов. Для описания сигналов и систем будем использовать z преобразование. Приведем основные определения.Оригиналом называется последовательность  f k  , k  0,1,  , удовлетворяющаяусловиюf k   Me k , где M и  – положительные постоянные (рис. 1).ff (2)f (0)f (1)01f (4)f (5)f (3)2435kРис.

1Изображением последовательности  f k  , k  0,1,  называется функция F z комплексного переменного z , определяемая равенствомF z   k 0f k zk.Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов,совокупность всех изображений – пространством изображений.аПереход, определяющий изображение F z  по оригиналу  f k  , k  0,1,  ,называется Z -преобразованием:F z   Z  f k  .Оригинал находится по изображению с помощью обратного Z -преобразования:1f k   Z 1[F (z )] F z  z k 1dz , k  0,1,  ,2i Cгде C – контур, внутри которого лежат все особые точки функции F z  .12. Описание систем.

Рассматривается одномерная линейная дискретнаястационарная система, описываемая разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,k  0, 1, 2 ,  ,с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1 ,где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – заданные постоянные коэффициенты; g (k ) – входной сигнал.Передаточной функцией W (z ) линейной стационарной дискретной системыназывается функцияW z  bm z m    b0a n z n    a0.Передаточная функция является функцией комплексного переменного z .При решении задач анализа дискретных систем предполагается, что сигналыпринадлежат пространству оригиналов.

Для нахождения их изображений и решенияобратной задачи используется табл.Таблица№f (k )F (z )№f (k )F (z )11zz 111akk!azz 112z1323(1)kk(z  1)4k2z (z  1)(z  1)22314ezk (k  1)2z(z  1)3k(k  1) (k  m  1)m!z(z  1)m 1sin kz sin 2z  2z cos   15k a k 1z15cos k(z  a) 26C km a kamzz 2  2z cos   1168akz 2  2az cos   a 2zz a17z218(k  1) a k10f (0)  0, f (k ) 1k(1)kf (0)  0, f (k ) kz (z  a cos )a k cos k2z  2a z cos   a 2 a k sin(k  1)z sin  (z  2a cos )z 2  2a z cos   a 2(z  a) 29a z sin a k sin k(z  a ) m  17z (z  cos )ln1z 119lnz 1z20a z sh a k sh kz 2  2a z ch   a 2z (z  a ch )a k ch k2z  2a z ch   a 23.

Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) входной сигнал g (k ), k  0,1,... ;б) одномерная линейная дискретная стационарная динамическая система (рис.6.3), поведение которой описывается разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  , k  0,1,2,  ,где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – заданные коэффициенты; n  m ;в) начальные условия:x 0   x 0 , x 1  x1 ,  , x n  1  x n 1 .Требуется найти выходной сигнал x k  .3АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти изображение входного сигнала:G (z )  Z [ g (k )] .2.

Определить передаточную функциюW z  bm z m    b0a n z n    a0и функцииD z   an z n    a0 ;   b z     g m  1 bDH z   x 0 an z n  an 1 z n 1    a1 z  x1 an z n 1    a2 z    x n 1 an z ;D g z   g 0  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  g 1 bm z m 12При m  0 функция Dg (z)  0 .3. Найти изображение выходного сигнала:X z  D g z . W z   G z  D z D z  D H z X c (z )X вын ( z )4. Найти выходной сигнал, используя обратное Z -преобразование:x (k )  Z 1[ X (z )]  x c (k )  x вын (k ) .Пример 1.

Найти реакцию дискретной динамической системы, описываемойуравнением x k  1  2 x k   2 g k  , на входной сигнал g k   k при x 0   x 0  0 .1. Найдем изображение входного сигнала по формуле 3 из табл. 6.1:G z   Z [ g (k )]  Z k  zz  12.2. Определим передаточную функцию:W z  2.z 2Поскольку x 0  0 и m  0 , то D H (z )  0 и D g (z )  0 .3. Найдем Z -преобразование выходного сигнала:X z  4 z2zzz  2.2z  2 z  12z  1  z  2 z  1mz .4. Найдем выходной сигнал по формулам 1, 3, 7 из табл. :x k   2  2 k  k  1 .Пример 2. Найти реакцию дискретной динамической системы, описываемойуравнением x k  2   2 x k  1  x k   2 g k  , на входной сигнал g k   2 k приx 0   x 1  0 . 1.

Найдем изображение входного сигнала по формуле 7 из табл. : z.z 2G z   Z 2 k 2. Определим передаточную функцию:W z  2z 2  2z  12z  12.Поскольку x 0  x1  0 и m  0 , то D H (z )  0 и D g (z )  0 .3. Найдем Z -преобразование выходного сигнала:X z  2zz  12z.z 24. Найдем обратное Z -преобразование путем деления числителя на знаменатель:X z  2zz  1 z  2 22z32z  4 z  5z  2 2z  2  8z  3  22z  4   .Имеем x 0   x 1  0 , x 2   2 , x 3  8 , x 4   22 ,  . Пример 3. Найти реакцию дискретной динамической системы, описываемойуравнением x k  2   5x k  1  6 x k   g k  , на входной сигнал g k   1 при начальныхусловиях x 0   1 , x 1  2 .1.

Найдем изображение входного сигнала:z.z 1G z   Z 1 2. Определим передаточную функцию:W z  1z 2  5z  6и функциюD H z   x 0 a2 z 2  a1 z  x1 a2 z  1  1  z 2  5z  2  1  z  z 2  3z .5Поскольку m  0 , то D g (z )  0 .3. Найдем Z -преобразование выходного сигнала:X (z ) z 2  3zz 2  5z  6zz 2  5z  6 z  11zzz1zz1z.  z  2 (z  1)(z  2)(z  3) z2 2z1z2 2z3X c (z )X вын ( z )4. Найдем выходной сигнал по формулам 1, 3, 7 из табл. :x (k )  2k xc (k )111 1 2 k   3k    3k .2 2  2 2xвын (k )Пример 4. Найти реакцию дискретной динамической системы, описываемойуравнением x k  2  3x k  1  2 x k   2 g k  1  2 g k  , на входной сигнал1, k  0при начальных условиях x (0)  x (1)  0 .g k   0, k  0 1.

Найдем изображение входного сигнала. По определению получаемG z   1 .2. Определим передаточную функцию:W z  2z  2z 2  3z  22z  12z  1 z  2  z  2и функцииD (z )  z 2  3z  2 ;D g z   g 0 b1 z  2z ,D H (z )  0 .3. Найдем Z -преобразование выходного сигнала:X z  22z.2z  2 z  3z  24. Найдем выходной сигнал.Представим X z  в видеX z   2z 1 z2z2z.z  2 z  2 z 1Отсюда по формулам 1 и 7 из табл. получаемx k   2  2 k 1  2  2 k  2  2  2 k , k  1и x (0)  0 .

Окончательный ответ: x (0)  0 , x (k )  2  2 k , k  1 . 6Пример 5. Найти реакцию дискретной динамической системы, описываемойуравнением x k  2   5 x k  1  6 x k   g k  1  3 g k  , на входной сигнал g k   1 , приначальных условиях x 0   1 , x 1  2 .1. Найдем изображение входного сигнала:G z   Z  1  z.z 12.

Определим передаточную функцию:z 3W z  z 2  5z  61z 2и функцииD z   z 2  5z  6 ,D H z   z 2  3z (см. пример 3),D g z   g 0  b1 z  1  1  z  z .3. Найдем Z -преобразование выходного сигнала:X (z ) z 2  3zz 2 5z61zzz  2 z  1 z 2  5z  6X c (z )X вын ( z )zzzzz.z  2 z  2 z 1 z  2 z  34. Найдем выходной сигнал по формулам 1 и 7 из табл. :kkkx (k )  2k  2123 3  2 k  1  3k .xc (k )xвын (k )Пример 6. Найти реакцию дискретной динамической системы, описываемойуравнением x k  2   5 x k  1  6 x k   g k  2   3 g k  1  2 g k  , на входной сигналg k   1 , при начальных условиях x 0   1 , x 1  2 .1.

Найдем изображение входного сигнала:G z   Z 1 z.z 12. Определим передаточную функцию:W z  z 2  3z  22z  5z  6z  1 z  2  z  2  z  3z 1,z 3D H z   z 2  3z (см. пример 6.3), D z   z 2  5z  6 ,D g z   g 0  b2 z 2  b1 z  g 1 b2 z  z 2  3z  z  z 2  2z .73. Найдем Z -преобразование выходного сигнала:X z  z 2  3zz 2  5z  6z  1  z  z 2  2z z  3 z  1 z 2  5z  6zzzz.z 2 z 3 z 3 z 24. Найдем выходной сигнал: x k   2 k .2.

МНОГОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ1. Описание сигналов. Используется z -преобразование вектор-функции g (k ) ,зависящей от дискретного времени:G (k )  Z [ g (k )] ,гдеg (k ) – r - мерный сигнал; G (k ) – r  мерный вектор его изображений.2. Описание систем. Рассмотрим линейные стационарные многомерные системы,описываемые уравнениями состояния и выхода:x k  1  A x k   B g k  , k  0, 1,  ;x 0   x 0 ;y k   C x k  .Аналогично непрерывным системам вводятся в рассмотрение дискретныепередаточные функции по состоянию и выходу.Передаточной функцией W x z  стационарной линейной многомернойсистемы по состоянию называется функцияWПередаточной функцией Wпо выходу называется функцияWyyxz   zE  A 1 B .z  стационарной линейной многомернойz   C zE  A 1 BCWxсистемыz  .Передаточные функции W x z  и W y z  представляются матрицами размера(n  r ), (m  r ) соответственно, элементы которых являются функциями комплексногопеременного z .83.