tus11 (Практические занятия по теории управления), страница 2

Свободное движение системы xс k   2 k найдено в примере 5 и является решением однородного уравнения x k  2  5 x k  1  6 x k   0 с начальными условиями x 0   1, x 1  2 .2. Найдем вынужденное движение согласно методике:а) общее решение однородного уравнения x k   C1  2 k  C 2  3k найдено в примере 5.5;б) найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого определим параметры правой части g k   1 : r  1 ,   0 , Rq k   1, Pl k   0; q  0 .

Число s  0 , так11 0 как r  cos   i sin    1 не совпадает с корнями 2 и 3 характеристического уравнения,поэтому согласно (9) x н k   1k  A . Подставляя в неоднородное уравнение, имеем11A  5 A  6 A  1 , т.е. A  и x н k   ;22в) составим общее решение неоднородного уравнения:x k   C1  2 k  C 2  3k 1;2г) определим произвольные постоянные C1 и C 2 из нулевых начальных условий:1x 0   C1  C 2   0 ,2x 1  2 C1  3C 2 Отсюда C 2 1 0.2111, C1  1 и x вын k   2 k   3k  .2223.

Найдем выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений:111 1x k   2k   2 k   3k    3k . 2 2  2 2x с (k ) x вын k Пример 7. Найти реакцию дискретной динамической системы, описываемой уравнениемx (k  1)  2 x (k )  2 g (k )8на входной сигнал g (k )  k при x (0)  0. Находим вынужденное движение (поскольку начальные условия нулевые, тосвободное движение отсутствует, т.е. x c (k )  0 ) как решение неоднородного уравненияпри нулевых начальных условиях:x (k  1)  2 x (k )  2k , x (0)  0 .Используем методику нахождения вынужденного движения:а) определим общее решение однородного уравнения x (k  1)  2 x (k )  0 .Характеристическое уравнение   2  0 имеет действительный корень 1  2 , поэтомуобщее решение x (k )  C1 k1  C1 2 k ;б) найдем частное решение неоднородного уравнения методом подбора, анализируя параметры правой части 2 g (k )  2k :   0, Rq (k )  2k , q  1 , r  1 .

Число s  0 ,так как r (cos   i sin )  1 не совпадает с корнем 1  2 , поэтому частное решениеищется в форме:x н (k )  1k  [ a k  b ]  a k  b .Подставляя в неоднородное уравнение, получаем:a (k  1)  b  2a k  2b  2k .akaПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях k , имеемa  b  0,  a  2 или a   2, b   2 . В результате x н (k )  2k  2 ;в) составим общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решенияоднородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:x (k )  C1 2 k  2k  2 ;г) найдем произвольную постоянную C1 из нулевых начальных условий:x (0)  C1 2 0  2  0  2  C1  2  0 , C1  2 .В результате получаем вынужденное движение:x вын (k )  2  2 k  2k  2  2 (2 k  k  1) .

Пример 8. Найти реакцию дискретной динамической системыx (k  2)  2 x (k  1)  x (k )  2 g (k )на входной сигнал g (k )  2 k при x (0)  1 , x (1)  0. 1. Находим свободное движение как решение однородного уравненияx (k  2)  2 x (k  1)  x (k )  0 с начальными условиями x (0)  1 , x (1)  0 :а) составим характеристическое уравнение 2  2  1  (  1) 2  0 и найдем егокорни;9б) поскольку корень 1  1 действительный кратности m  2 , то согласно (7) общее решение однородного уравнения имеет видx 0 (k )  (C1  C 2 k ) k1  C1  C 2 k ;в) определим произвольные постоянные C1 и C 2 из начальных условий:x 0 0   C1  1 ,x 0 1  C1  C 2  0 .Отсюда C1  1 , C 2  1 и свободное движение x c k   1  k .2.

Найдем вынужденное движение как решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями:x (k  2)  2 x (k  1)  x (k )  2  2 k ,x (0)  0 , x (1)  0 :а) общее решение однородного уравнения найдено в п.1:x 0 (k )  C1  C 2 k ;б) найдем частное решение неоднородного уравнения методом подбора. Анализируя параметры правой части 2 g (k )  2  2 k , имеем:   0, Rq (k )  2 , q  0 , r  2 . Числоr (cos   i sin )  2 не совпадает с корнем 1  1 , поэтому s  0 и решение ищется вформе: x н (k )  A  2 k . Подставляя в неоднородное уравнение, получаем:A  2 k  2  2 A  2 k 1  A  2 k  2  2 k .Сокращая на 2 k , имеем A  2 2  4 A  A  2 или A  2 .

В результате x н (k )  2  2 k ;в) составим общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решенияоднородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:x (k )  C1  C 2 k  2  2 k ;г) найдем произвольные постоянные C1 и C 2 из нулевых начальных условий:x (0)  C1  2  0 ,x (1)  C1  C 2  4  0 .Отсюда C1  2 , C 2   C1  4  2 и x вын (k )  2  2k  2  2 k .3.

Найдем выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений:x (k )  x c (k )  x вын (k )  1  k  2  2 k  2  2 k  1  3 k  2  2 k .10.